Opreste timpul

În teoria probabilității , în special în studiul proceselor stocastice , un timp de oprire, de asemenea , cunoscut sub numele de timp Markov, este un tip specific de „timp aleatoare“, a căror valoare depinde numai de evenimentele care au avut loc înainte sau în aceeași clipă. Acesta poate fi asociat cu o regulă de oprire, care este o regulă pentru a defini timpul de oprire.

Una dintre cele mai multe rezultate de timp de oprire importantă este opțională teorema de oprire a lui Doob .

Definiție

Comparativ cu o secvență de variabile aleatoare $X_{1},X_{2},\ldots$ ${\ X_ displaystyle {1}, X_ {2}, \ ldots}$ ${\ X_ displaystyle {1}, X_ {2}, \ ldots}$ un timp de oprire $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este o variabilă aleatoare cu proprietatea că pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ Evenimentul $\{T=t\}$ ${\ Displaystyle \ {T = t \}}$ ${\ Displaystyle \ {T = t \}}$ depinde doar de variabilele $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{t}$ ${\ X_ displaystyle {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {t}}$ ${\ X_ displaystyle {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {t}}$ .

O definiție mai generală poate fi dată prin filtrări : fie $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ un set ordonat (de ex $I=\mathbb {N}$ ${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$ sau $I=[0,+\infty )$ ${\ Displaystyle I = [0, + \ infty)}$ ${\ Displaystyle I = [0, + \ infty)}$ ) Și ambele $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} )$ ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, {\ mathcal {F}} _ {t} \ mathbb {P})}$ ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, {\ mathcal {F}} _ {t} \ mathbb {P})}$ un spațiu de probabilitate cu filtrare ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ . Apoi , o variabilă aleatoare $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ se numește oprire timp, dacă $\{T\leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}$ ${\ Displaystyle \ {T \ leq t \} \ în {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ Displaystyle \ {T \ leq t \} \ în {\ mathcal {F}} _ {t}}$ pentru fiecare t în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ .

Cu alte cuvinte, puteți decide dacă evenimentul $\{T\leq t\}$ ${\ Displaystyle \ {T \ leq t \}}$ ${\ Displaystyle \ {T \ leq t \}}$ sa întâmplat știind evenimentele din ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ : se spune că $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ Și ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ -măsurabil.

Definiția poate, de asemenea, solicita ca $P\{T<\infty \}=1$ ${\ displaystyle P \ {T <\ infty \} = 1}$ ${\ displaystyle P \ {T <\ infty \} = 1}$ , sau asta $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este aproape sigur terminat, dar, în unele cazuri, această condiție este omisă.

Proprietate

Următoarele fapte sunt echivalente:

$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ acesta este un timp de oprire
eveniment $\{T=t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\forall {t\in I}$ ${\ Displaystyle \ {T = t \} \ în {\ mathcal {F}} _ {t} \ forall {t \ în I}}$ ${\ Displaystyle \ {T = t \} \ în {\ mathcal {F}} _ {t} \ forall {t \ în I}}$
eveniment $\{T>t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\forall {t\in I}$ ${\ Displaystyle \ {T> t \} \ în {\ mathcal {F}} _ {t} \ forall {t \ în I}}$ ${\ Displaystyle \ {T> t \} \ în {\ mathcal {F}} _ {t} \ forall {t \ în I}}$

Demonstrație

(1) implică (3) și (3) implică (1)

evenimentul $\{T>t\}$ ${\ Displaystyle \ {T> t \}}$ ${\ Displaystyle \ {T> t \}}$ este egal cu complementul de $\{T\leq t\}$ ${\ Displaystyle \ {T \ leq t \}}$ ${\ Displaystyle \ {T \ leq t \}}$ pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ aparținând $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , sau $\{T>t\}=\{T\leq t\}^{c},\forall {t\in I}$ ${\ Displaystyle \ {T> t \} = \ {T \ leq t \} ^ {c}, \ forall {t \ în I}}$ ${\ Displaystyle \ {T> t \} = \ {T \ leq t \} ^ {c}, \ forall {t \ în I}}$ .

(1) implică (2)

De cand $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un timp de oprire avem că $\{T=t\}={\begin{cases}\{T\leq t\}{\text{ se }}t=\min {(I)}\\\{T\leq t\}-\{T\leq t-1\}{\text{ altrimenti}}\end{cases}}$ ${\ Displaystyle \ {T = t \} = {\ begin {cazuri} \ {T \ leq t \} {\ text {se}} t = \ min {(I)} \\\ {T \ leq t \ } - \ {T \ leq t-1 \} {\ text {altfel}} \ end {cazuri}}}$ ${\ Displaystyle \ {T = t \} = {\ begin {cazuri} \ {T \ leq t \} {\ text {se}} t = \ min {(I)} \\\ {T \ leq t \ } - \ {T \ leq t-1 \} {\ text {altfel}} \ end {cazuri}}}$

(2) implică (1)

evenimentul $\{T\leq t\}$ ${\ Displaystyle \ {T \ leq t \}}$ ${\ Displaystyle \ {T \ leq t \}}$ ea poate fi văzută ca unirea tuturor evenimentelor $\{T=s\}$ ${\ Displaystyle \ {T = s \}}$ ${\ Displaystyle \ {T = s \}}$ pentru fiecare $s\leq t$ ${\ displaystyle s \ leq t}$ ${\ Displaystyle s \ leq t}$ , sau $\{T\leq t\}=\bigcup _{s\in I,s\leq t}\{T=s\}$ ${\ Displaystyle \ {T \ leq t \} = \ bigcup _ {s \ in I, s \ lechiv t} \ {T = s \}}$ ${\ Displaystyle \ {T \ leq t \} = \ bigcup _ {s \ in I, s \ lechiv t} \ {T = s \}}$ . Având în vedere că $\{T=s\}$ ${\ Displaystyle \ {T = s \}}$ ${\ Displaystyle \ {T = s \}}$ aparține lui ${\mathcal {F}}_{s}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {s}}$ $\ mathcal {F} _s$ Și ${\mathcal {F}}_{s}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {s}}$ $\ mathcal {F} _s$ aparține lui ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ , la fel de $s\leq t$ ${\ displaystyle s \ leq t}$ ${\ Displaystyle s \ leq t}$ , Se poate deduce că toate uniunea de evenimente face parte din ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ .

instant aleatorie

De sine $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un timp de oprire în ceea ce privește filtrarea ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F_{t}}})_{t\in I}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F_ {t}}}) _ {t \ în I}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F_ {t}}}) _ {t \ în I}}$ puteți defini evenimentul $\{T=+\infty \}$ ${\ Displaystyle \ {T = + \ infty \}}$ ${\ Displaystyle \ {T = + \ infty \}}$ ca intersecția tuturor evenimentelor $\{T>t\}$ ${\ Displaystyle \ {T> t \}}$ ${\ Displaystyle \ {T> t \}}$ , pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , sau $\{T=t\}=\bigcap _{t\in I}\{T>t\}$ ${\ Displaystyle \ {T = t \} = \ bigcap _ {t \ în I} \ {T> t \}}$ ${\ Displaystyle \ {T = t \} = \ bigcap _ {t \ în I} \ {T> t \}}$ . Pentru proprietatea (1) din timpii de oprire avem că evenimentul $\{T>t\}$ ${\ Displaystyle \ {T> t \}}$ ${\ Displaystyle \ {T> t \}}$ aparține lui ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ și , prin urmare, intersecția cu privire la toate $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ aparține SAU logic pe toate filtrare , și anume $\bigvee _{t\in I}{\mathcal {F}}_{t}$ ${\ Displaystyle \ bigvee _ {t \ în I} {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ Displaystyle \ bigvee _ {t \ în I} {\ mathcal {F}} _ {t}}$ , data din $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ - algebra generată de unirea de filtrare . Prin urmare, tribul este definit ${\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma {\Bigl (}\bigcup _{t\in I}{\mathcal {F}}_{t}{\Bigr )}=\bigvee _{t\in I}{\mathcal {F}}_{t}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma {\ Bigl (} \ bigcup _ {t \ în I} {\ mathcal {F}} _ {t} {\ Bigr)} = \ bigvee _ {t \ în I} {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma {\ Bigl (} \ bigcup _ {t \ în I} {\ mathcal {F}} _ {t} {\ Bigr)} = \ bigvee _ {t \ în I} {\ mathcal {F}} _ {t}}$ cu $I=\mathbb {N}$ ${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$ .

Trib este definit ${\mathcal {F}}_{T}=\{A\in {\mathcal {F}}_{\infty }:A\cap \{T=t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\forall {t\in I}\}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T} = \ {A \ în {\ mathcal {F}} _ {\ infty}: A \ cap \ {T = t \} \ în {\ mathcal {F }} _ {t} \ forall {t \ în I} \}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T} = \ {A \ în {\ mathcal {F}} _ {\ infty}: A \ cap \ {T = t \} \ în {\ mathcal {F }} _ {t} \ forall {t \ în I} \}}$ , Ceea ce reprezintă informațiile disponibile în orice moment $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . De sine $(X_{t})_{t\in I}$ ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ este un adevărat proces stocastic și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ o discretă variabilă aleatoare din spațiu $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ la valori în $I\cup \{+\infty \}$ ${\ Displaystyle I \ cup \ {+ \ infty \}}$ ${\ Displaystyle I \ cup \ {+ \ infty \}}$ este posibil să se definească reale variabila aleatoare $X_{T}$ ${\ X_ displaystyle {T}}$ ${\ X_ displaystyle {T}}$ , Care presupune valoarea procesului în momentul random $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , Ca suma tuturor $X_{t}$ ${\ displaystyle X_ {t}}$ $X_t$ cand $\{T=t\}$ ${\ Displaystyle \ {T = t \}}$ ${\ Displaystyle \ {T = t \}}$ plus o valoare $x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in \ mathbb {R}$ cand $\{T=+\infty \}$ ${\ Displaystyle \ {T = + \ infty \}}$ ${\ Displaystyle \ {T = + \ infty \}}$ , sau $X_{T}=\sum _{t\in I}X_{t}\mathrm {I} _{\{T=t\}}+x\mathrm {I} _{\{T=+\infty \}}$ ${\ X_ displaystyle {T} = \ sum _ {t \ în I} X_ {t} \ mathrm {I} _ {\ {T = t \}} + x \ mathrm {I} _ {\ {T = + \ infty \}}}$ ${\ X_ displaystyle {T} = \ sum _ {t \ în I} X_ {t} \ mathrm {I} _ {\ {T = t \}} + x \ mathrm {I} _ {\ {T = + \ infty \}}}$ , unde este $\mathrm {I} _{E}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {I} _ {E}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {I} _ {E}}$ este evenimentul funcția de indicator $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

Criteriul de masurabilitate la un moment aleator

În cazul în care procesul de $(X_{t})_{t\in I}$ ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ este adaptat pentru filtrare ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F_{t}}})_{t\in I}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F_ {t}}}) _ {t \ în I}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F_ {t}}}) _ {t \ în I}}$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un timp de oprire în ceea ce privește ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ , Atunci valoarea procesului în momentul random $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ Și ${\mathcal {F}}_{T}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}$ - măsurabilă . Cu alte cuvinte, variabila aleatoare $X_{T}$ ${\ X_ displaystyle {T}}$ ${\ X_ displaystyle {T}}$ este măsurabilă în raport cu tribul ${\mathcal {F}}_{T}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}$ .

Demonstrație

Prin definiție a valorii la un moment aleatoriu avem că $X_{T}=\sum _{t\in I}X_{t}\mathrm {I} _{\{T=t\}}+x\mathrm {I} _{\{T=+\infty \}}$ ${\ X_ displaystyle {T} = \ sum _ {t \ în I} X_ {t} \ mathrm {I} _ {\ {T = t \}} + x \ mathrm {I} _ {\ {T = + \ infty \}}}$ ${\ X_ displaystyle {T} = \ sum _ {t \ în I} X_ {t} \ mathrm {I} _ {\ {T = t \}} + x \ mathrm {I} _ {\ {T = + \ infty \}}}$ . De cand $(X_{t})_{t}$ ${\ Displaystyle (X_ {t}) _ {t}}$ ${\ Displaystyle (X_ {t}) _ {t}}$ este adaptat în raport cu ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ aveți că fiecare $X_{t}$ ${\ displaystyle X_ {t}}$ $X_t$ Și ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ - măsurabilă . Fiind $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ un timp de oprire este , de asemenea, funcția care indică eveniment $\{T=t\}$ ${\ Displaystyle \ {T = t \}}$ ${\ Displaystyle \ {T = t \}}$ Și ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ - măsurabile , în timp ce evenimentul funcția de indicator $\{T=+\infty \}$ ${\ Displaystyle \ {T = + \ infty \}}$ ${\ Displaystyle \ {T = + \ infty \}}$ este măsurabilă în raport cu tribul ${\mathcal {F}}_{\infty }$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}$ . Prin urmare, întreaga sumă este măsurabilă în ceea ce privește ${\mathcal {F}}_{\infty }$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}$ și deci pentru fiecare $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\Rightarrow \{X_{T}\in B\}\in {\mathcal {F}}_{\infty }$ ${\ B displaystyle \ în {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}) \ rightarrow \ {X_ {T} \ în B \} \ în {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}$ ${\ B displaystyle \ în {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}) \ rightarrow \ {X_ {T} \ în B \} \ în {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}$ . Cu alte cuvinte, pentru fiecare Borelian ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$ a liniei reale, evenimentul care valoarea procesului oprit la timp aleator $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ apartine ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$ este măsurabilă în raport cu ${\mathcal {F}}_{\infty }$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}$ .

evenimentul $\{X_{T}\in B\}\cap \{T=t\}$ ${\ Displaystyle \ {X_ {T} \ în B \} \ cap \ {T = t \}}$ ${\ Displaystyle \ {X_ {T} \ în B \} \ cap \ {T = t \}}$ este egală cu evenimentul $\{X_{t}\in B\}\cap \{T=t\}$ ${\ Displaystyle \ {X_ {t} \ în B \} \ cap \ {T = t \}}$ ${\ Displaystyle \ {X_ {t} \ în B \} \ cap \ {T = t \}}$ , la fel de $T=t$ ${\ displaystyle T = t}$ ${\ displaystyle T = t}$ . având ca $\{X_{t}\in B\}\in {\mathcal {F}}_{t}$ ${\ Displaystyle \ {X_ {t} \ în B \} \ în {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ Displaystyle \ {X_ {t} \ în B \} \ în {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ca procesul $(X_{t})_{t\in I}$ ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ este adaptată în ceea ce privește filtrarea e $\{T=t\}\in {\mathcal {F}}_{t}$ ${\ Displaystyle \ {T = t \} \ în {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ Displaystyle \ {T = t \} \ în {\ mathcal {F}} _ {t}}$ în când $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un timp de oprire în ceea ce privește filtrarea , intersecția eveniment este de asemenea ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ - măsurabilă .

Prin urmare $\{X_{t}\in B\}\cap \{T=t\}\in {\mathcal {F}}_{t}\Longrightarrow \{X_{T}\in B\}\in {\mathcal {F}}_{T}$ ${\ Displaystyle \ {X_ {t} \ în B \} \ cap \ {T = t \} \ în {\ mathcal {F}} _ {t} \ Longrightarrow \ {X_ {T} \ în B \} \ în {\ mathcal {F}} _ {T}}$ ${\ Displaystyle \ {X_ {t} \ în B \} \ cap \ {T = t \} \ în {\ mathcal {F}} _ {t} \ Longrightarrow \ {X_ {T} \ în B \} \ în {\ mathcal {F}} _ {T}}$ , sau $X_{T}$ ${\ X_ displaystyle {T}}$ ${\ X_ displaystyle {T}}$ Și ${\mathcal {F}}_{T}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}$ - măsurabilă .

Proces stochastic oprit la un moment aleator

De sine $X=(X_{t})_{t\in I}$ ${\ Displaystyle X = (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ ${\ Displaystyle X = (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ este un adevărat proces stocastic adaptat la o filtrare ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F_{t}}})_{t\in I}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F_ {t}}}) _ {t \ în I}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F_ {t}}}) _ {t \ în I}}$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un timp de oprire în ceea ce privește ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ , Procesul sa oprit la momentul numit $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , Procedeul definit după cum urmează: $X^{|T}=(X_{T\land t})_{t\in I}$ ${\ Displaystyle X ^ {| T} = (X_ {T \ t teren}) _ {t \ în I}}$ ${\ Displaystyle X ^ {| T} = (X_ {T \ t teren}) _ {t \ în I}}$ , unde este $X_{T\land t}={\begin{cases}X_{t}{\text{ se }}T>t\\X_{T}{\text{ se }}T\leq t\end{cases}}$ ${\ X_ displaystyle {T \ teren t} = {\ begin {cazuri} X_ {t} {\ text {se}} T> t \\ X_ {T} {\ text {se}} T \ leq t \ end {cazuri}}}$ ${\ X_ displaystyle {T \ teren t} = {\ begin {cazuri} X_ {t} {\ text {se}} T> t \\ X_ {T} {\ text {se}} T \ leq t \ end {cazuri}}}$

Prin urmare, procesul sa oprit la un moment aleatoriu presupune aceleași valori ca și procesul stocastic inițial, pentru toate momentele de mai puțin decât timpul de oprire, în timp ce pentru o mai mare este momente egală cu valoarea procesului la timpul de oprire.

Exemplu

Având în vedere un proces $X=(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},X_{6},\ldots ,X_{n},X_{n+1},X_{n+2},\ldots )$ ${\ Displaystyle X = (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, X_ {4}, X_ {5}, X_ {6}, \ ldots, X_ {n}, X_ {n + 1} , X_ {n + 2}, \ ldots)}$ ${\ Displaystyle X = (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, X_ {4}, X_ {5}, X_ {6}, \ ldots, X_ {n}, X_ {n + 1} , X_ {n + 2}, \ ldots)}$ și un timp de oprire $T=5$ ${\ Displaystyle T = 5}$ ${\ Displaystyle T = 5}$ , Procesul legat oprit $X^{|T}$ ${\ Displaystyle X ^ {| T}}$ ${\ Displaystyle X ^ {| T}}$ este definit de valorile variabilelor aleatoare ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în momentele de $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ , În timp ce din momentul $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ începând presupune întotdeauna valoarea $X_{5}$ ${\ X_ displaystyle {5}}$ ${\ X_ displaystyle {5}}$ .

$X^{|T}=(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},X_{5},X_{5},\ldots ,X_{5},X_{5},\ldots )$ ${\ Displaystyle X ^ {| T} = (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, X_ {4}, X_ {5}, X_ {5}, X_ {5}, \ ldots, X_ {5}, X_ {5}, \ ldots)}$ ${\ displaystyle X ^ {| T} = (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, X_ {4}, X_ {5}, X_ {5}, X_ {5}, \ ldots, X_ {5}, X_ {5}, \ ldots)}$

Masurabilitate unui proces oprit

De cand $X^{|T}$ ${\ Displaystyle X ^ {| T}}$ ${\ Displaystyle X ^ {| T}}$ este un proces derivat din $X=(X_{t})_{t\in I}$ ${\ Displaystyle X = (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ ${\ Displaystyle X = (X_ {t}) _ {t \ în I}}$ Și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este adaptată în ceea ce privește filtrarea ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F_{t}}})_{t\in I}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F_ {t}}}) _ {t \ în I}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = ({\ mathcal {F_ {t}}}) _ {t \ în I}}$ , de asemenea $X^{|T}$ ${\ Displaystyle X ^ {| T}}$ ${\ Displaystyle X ^ {| T}}$ este măsurabilă în raport cu ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ . Intr-adevar $X_{T\land t}$ ${\ X_ displaystyle {T \ t teren}}$ ${\ X_ displaystyle {T \ t teren}}$ sunt măsurabile în ceea ce privește ${\mathcal {F}}_{T\land t}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T \ t teren}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T \ t teren}}$ , pentru fiecare $t\in I$ ${\ displaystyle t \ in I}$ $t \ in I$ și tribul ${\mathcal {F}}_{T\land t}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T \ t teren}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T \ t teren}}$ este mai mică sau cel mult egală cu cea a ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ in aceea $T\land t\leq t$ ${\ Displaystyle T \ teren t \ leq t}$ ${\ Displaystyle T \ teren t \ leq t}$ . apoi, de asemenea, $X^{|T}$ ${\ Displaystyle X ^ {| T}}$ ${\ Displaystyle X ^ {| T}}$ este adaptat în raport cu ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ .

Exemple

Dacă luăm în considerare cazul a două persoane care joacă capete și cozi , castiga sau pierde 1 euro (simetric mers aleator pe $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ ) Și cu un capital finit, pot fi definite următoarele reguli de oprire:

Oprire după un joc sau un anumit număr de jocuri, sau doar în cazul în $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ este un timp determinist, este o regulă de oprire.
Oprirea atunci când oricare dintre voi rămâne fără bani, este o regulă de oprire.
Oprirea când se atinge câștigul maxim nu este o regulă de oprire, așa cum se presupune că știți, de asemenea, pariurile ulterioare.
Oprirea când se dublează capitalul unei persoane, în cazul în care o cere ca timpul de oprire este aproape sigur de peste, nu este o regulă de oprire, deoarece există o probabilitate pozitivă că acest lucru nu se va întâmpla.

Bibliografie

David Williams, Probabilitate cu Martingales, Cambridge matematică Texte, 1991, ISBN 978-0-521-40605-5 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică