Timpul potrivit

Linia albastră verticală reprezintă un observator inerțial care măsoară un interval de timp t între două evenimente E ₁ și E ₂ . Curba roșie reprezintă un ceas care măsoară timpul τ scurs în cadrul său de referință între aceleași evenimente.

În fizică , timpul adecvat este timpul măsurat într-un cadru de referință care este integral cu fenomenul a cărui durată este măsurată. Prin urmare, este independent de coordonate și este un scalar Lorentz (este invariant sub transformările Lorentz).

Conceptul, introdus în 1908 de Hermann Minkowski ^[1] , este analogul spațiu - timp al lungimii unui arc în spațiul euclidian tridimensional. Permite parametrizarea timpului măsurat de un observator staționar față de un alt observator în mișcare și este definit informal ca timpul scurs între două evenimente măsurate de un ceas care trece prin ambele.

Necesitatea utilizării acestei mărimi a apărut în urma teoriei speciale a relativității , în care măsurarea unui interval de timp într-un sistem de referință în repaus este mai mare decât aceeași măsurare efectuată la un sistem incipient sau într-un sistem de referință accelerat ( dilatarea timpului ) .

Definiție

Luați în considerare un ceas care se mișcă cu viteză constantă și un sistem de referință cartezian ( inerțial ) integral cu acesta. Comparativ cu un al doilea sistem de referință în repaus, într-un timp $d t$ ${\ displaystyle dt}$ $dt$ ceasul urmează o cale a cărei lungime este dată de ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}}}$ , unde este $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ , $d y$ ${\ displaystyle dy}$ $dy$ Și $d z$ ${\ displaystyle dz}$ $dz$ sunt variații infinitezimale ale poziției ceasului în sistemul oprit. Deoarece în relativitatea specială intervalul spațiu-timp care rămâne neschimbat între două sisteme în mișcare relativă uniformă este dat de:

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=c^{2}d\tau ^{2}

{\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = c ^ {2} d \ tau ^ {2} }

{\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = c ^ {2} d \ tau ^ {2} }

unde este $d\tau$ ${\ displaystyle d \ tau}$ ${\ displaystyle d \ tau}$ este intervalul de timp din sistemul în mișcare, intervalul de timp măsurat de ceasul în mișcare este dat de integralul lui $ds/c$ ${\ displaystyle ds / c}$ ${\ displaystyle ds / c}$ de-a lungul liniei sale universale . Această integrală este maximă dacă linia mondială în cauză este o linie dreaptă. Din relația anterioară obținem:

d\tau =dt{\sqrt {1-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{c^{2}dt^{2}}}}}=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}

{\ displaystyle d \ tau = dt {\ sqrt {1 - {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}} {c ^ {2} dt ^ {2}}}} } = dt {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}

{\ displaystyle d \ tau = dt {\ sqrt {1 - {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}} {c ^ {2} dt ^ {2}}}} } = dt {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}

unde este:

v^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}

{\ displaystyle v ^ {2} = {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}} {dt ^ {2}}}}

{\ displaystyle v ^ {2} = {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}} {dt ^ {2}}}}

este viteza sistemului în mișcare. Prin urmare, avem:

d\tau ={\frac {ds}{c}}=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\qquad {\tau }_{2}-{\tau }_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}

{\ displaystyle d \ tau = {\ frac {ds} {c}} = dt {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ qquad {\ tau } _ {2} - {\ tau} _ {1} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} dt {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}

{\ displaystyle d \ tau = {\ frac {ds} {c}} = dt {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ qquad {\ tau } _ {2} - {\ tau} _ {1} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} dt {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}

Momentul potrivit $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ măsurată de ceasul în mișcare este definită pentru o viteză arbitrară după cum urmează: ^[2]

\tau =\int {\frac {dt}{\gamma }}=\int {\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}\,dt=\int {\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}\,dt

{\ displaystyle \ tau = \ int {\ frac {dt} {\ gamma}} = \ int {\ sqrt {1 - {\ frac {v (t) ^ {2}} {c ^ {2}}}} } \, dt = \ int {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left [\ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dz} {dt}} \ right) ^ {2} \ right]}} \, dt }

{\ displaystyle \ tau = \ int {\ frac {dt} {\ gamma}} = \ int {\ sqrt {1 - {\ frac {v (t) ^ {2}} {c ^ {2}}}} } \, dt = \ int {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left [\ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dz} {dt}} \ right) ^ {2} \ right]}} \, dt }

unde este $v(t)$ ${\ displaystyle v (t)}$ $v (t)$ este viteza la momentul respectiv $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , in timp ce $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ sunt coordonatele spațiale .

Dacă timpul și coordonatele spațiale sunt parametrizate de $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , poti sa scrii:

\tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda

{\ displaystyle \ tau = \ int {\ sqrt {\ left ({\ frac {dt} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left [\ left ({\ frac {dx} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dy} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dz} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} \ right]}} \, d \ lambda}

{\ displaystyle \ tau = \ int {\ sqrt {\ left ({\ frac {dt} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left [\ left ({\ frac {dx} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dy} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dz} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} \ right]}} \, d \ lambda}

În mod diferențial, această expresie devine o integrală de linie :

\tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-{dx^{2} \over c^{2}}-{dy^{2} \over c^{2}}-{dz^{2} \over c^{2}}}}

{\ displaystyle \ tau = \ int _ {P} {\ sqrt {dt ^ {2} - {dx ^ {2} \ over c ^ {2}} - {dy ^ {2} \ over c ^ {2} } - {dz ^ {2} \ peste c ^ {2}}}}}

{\ displaystyle \ tau = \ int _ {P} {\ sqrt {dt ^ {2} - {dx ^ {2} \ over c ^ {2}} - {dy ^ {2} \ over c ^ {2} } - {dz ^ {2} \ peste c ^ {2}}}}}

unde este $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este calea urmată de ceas în sistemul de referință.

Cantitatea $ds=cd\tau$ ${\ displaystyle ds = cd \ tau}$ ${\ displaystyle ds = cd \ tau}$ este astfel invariant în urma unei transformări Lorentz . O cantitate care se păstrează în acest fel se numește invariant Lorentz și setul de transformări care rămân neschimbate $ds^{2}$ ${\ displaystyle ds ^ {2}}$ $ds ^ 2$ este grupul Lorentz . ^[3]

Relativitatea generală

Teoria relativității generale permite generalizarea rezultatelor relativității speciale folosind formalismul tensorial . Luați în considerare un spațiu-timp descris de o varietate pseudo-riemanniană , caracterizat printr-un tensor metric $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ , în care este definit un sistem de coordonate $x^{\mu }$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$ $x ^ {\ mu}$ . Intervalul $d s$ ${\ displaystyle ds}$ $ds$ între două evenimente îndepărtate $dx^{\mu }$ ${\ displaystyle dx ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle dx ^ {\ mu}}$ este dat de:

ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }

{\ displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu}}

{\ displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu}}

unde este $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ poate fi de gen spațial , de lumină sau de timp în funcție de ce $s^{2}$ ${\ displaystyle s ^ {2}}$ ${\ displaystyle s ^ {2}}$ este respectiv mai mic decât, egal sau mai mare decât zero. În primul caz, intervalul nu poate fi traversat, deoarece ar necesita o viteză mai mare decât viteza luminii $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , în al doilea caz, viteza necesară este exact $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ iar conversia la timpul potrivit este banală, în al treilea caz este permisă traversarea obiectelor masive. Având în vedere rădăcina pătrată a ambilor membri ai elementului de linie, avem acel moment adecvat $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ măsurată de ceasul care se mișcă de-a lungul unei căi de timp amabil $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este dat de integralul de linie:

\tau =\int _{P}\,d\tau

{\ displaystyle \ tau = \ int _ {P} \, d \ tau}

{\ displaystyle \ tau = \ int _ {P} \, d \ tau}

unde este:

d\tau ={\sqrt {dx_{\mu }\;dx^{\mu }}}={\sqrt {g_{\mu \nu }\;dx^{\mu }\;dx^{\nu }}}

{\ displaystyle d \ tau = {\ sqrt {dx _ {\ mu} \; dx ^ {\ mu}}} = {\ sqrt {g _ {\ mu \ nu} \; dx ^ {\ mu} \; dx ^ {\ nu}}}}

{\ displaystyle d \ tau = {\ sqrt {dx _ {\ mu} \; dx ^ {\ mu}}} = {\ sqrt {g _ {\ mu \ nu} \; dx ^ {\ mu} \; dx ^ {\ nu}}}}

în care a fost folosită notația lui Einstein .

Exemplu

Același subiect în detaliu: cu patru trepte .

În spațiul-timp Minkowski , evoluția coordonatelor spațiale ale unui obiect în timp este descrisă printr-o curbă, care este parametrizată de timpul adecvat. Viteza patru este vectorul ale cărui componente sunt variația coordonatelor spațiale și temporale în raport cu timpul adecvat. Mai mult, norma sa este de obicei setată egală cu viteza luminii c și schimbă doar direcția.

În mecanica clasică traiectoria unui obiect este descrisă în trei dimensiuni prin coordonatele sale $x^{i}(t)$ ${\ displaystyle x ^ {i} (t)}$ ${\ displaystyle x ^ {i} (t)}$ , cu $i\in \{1,2,3\}$ ${\ displaystyle i \ in \ {1,2,3 \}}$ ${\ displaystyle i \ in \ {1,2,3 \}}$ , exprimată în funcție de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ :

\mathbf {x} =x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {i} (t) = {\ begin {bmatrix} x ^ {1} (t) \\ x ^ {2} (t) \\ x ^ {3} ( t) \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {i} (t) = {\ begin {bmatrix} x ^ {1} (t) \\ x ^ {2} (t) \\ x ^ {3} ( t) \\\ end {bmatrix}}}

unde este $x^{i}(t)$ ${\ displaystyle x ^ {i} (t)}$ ${\ displaystyle x ^ {i} (t)}$ este a i-a componentă a poziției la timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Componentele vitezei ${\mathbf {u} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {u}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {u}}}$ în sens $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ tangente la traiectorie sunt:

{\mathbf {u} }=(u^{1},u^{2},u^{3})={\mathrm {d} \mathbf {x}  \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d} x^{i} \over \mathrm {d} t}=\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)

{\ displaystyle {\ mathbf {u}} = (u ^ {1}, u ^ {2}, u ^ {3}) = {\ mathrm {d} \ mathbf {x} \ over \ mathrm {d} t } = {\ mathrm {d} x ^ {i} \ over \ mathrm {d} t} = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x ^ {1}} {\ mathrm {d} t}} \;, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {2}} {\ mathrm {d} t}} \;, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {3}} {\ mathrm {d } t}} \ dreapta)}

{\ displaystyle {\ mathbf {u}} = (u ^ {1}, u ^ {2}, u ^ {3}) = {\ mathrm {d} \ mathbf {x} \ over \ mathrm {d} t } = {\ mathrm {d} x ^ {i} \ over \ mathrm {d} t} = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x ^ {1}} {\ mathrm {d} t}} \;, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {2}} {\ mathrm {d} t}} \;, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {3}} {\ mathrm {d } t}} \ dreapta)}

unde sunt evaluate instrumentele derivate $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

În spațiul-timp Minkowski coordonatele sunt $x^{\mu }(\tau )$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} (\ tau)}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} (\ tau)}$ , cu $\mu \in \{0,1,2,3\}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ {0,1,2,3 \}}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ {0,1,2,3 \}}$ , in care $x^{0}$ ${\ displaystyle x ^ {0}}$ ${\ displaystyle x ^ {0}}$ este componenta de timp înmulțită cu c . În plus, parametrizarea are loc în funcție de timpul adecvat $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ :

x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle x ^ {\ mu} (\ tau) = {\ begin {bmatrix} x ^ {0} (\ tau) \\ x ^ {1} (\ tau) \\ x ^ {2} (\ tau ) \\ x ^ {3} (\ tau) \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} ct \\ x ^ {1} (t) \\ x ^ {2} (t) \\ x ^ {3} (t) \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle x ^ {\ mu} (\ tau) = {\ begin {bmatrix} x ^ {0} (\ tau) \\ x ^ {1} (\ tau) \\ x ^ {2} (\ tau ) \\ x ^ {3} (\ tau) \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} ct \\ x ^ {1} (t) \\ x ^ {2} (t) \\ x ^ {3} (t) \\\ end {bmatrix}}}

Având în vedere fenomenul numit dilatare a timpului :

t=\gamma \tau \,

{\ displaystyle t = \ gamma \ tau \,}

{\ displaystyle t = \ gamma \ tau \,}

patru viteze relativ la $\mathbf {x} (\tau )$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (\ tau)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (\ tau)}$ este definit ca:

U^{\mu }={\frac {\mathrm {d} x^{\mu }(\tau )}{\mathrm {d} \tau }}

{\ displaystyle U ^ {\ mu} = {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu} (\ tau)} {\ mathrm {d} \ tau}}}

{\ displaystyle U ^ {\ mu} = {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu} (\ tau)} {\ mathrm {d} \ tau}}}

Notă

^ Hermann Minkowski , Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern , în Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen , Göttingen, 1908, pp. 53–111. Adus la 18 ianuarie 2013 (arhivat din original la 8 iulie 2012) .
^ Jackson , pagina 528 .
^ Jackson , pagina 527 .

Bibliografie

(EN) Albert Einstein , Relativity: The Special and the General Theory , New York, Three Rivers Press, 1995, ISBN 0-517-88441-0 .
( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
Callender, Craig & Edney, Ralph, Introducing Time , Icon, 2001, ISBN 1-84046-592-1 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Textul teoriei relativității a lui Einstein , la bartleby.com .
(EN) Project Beyond Einstein NASA pe universe.nasa.gov.
NIST Transfer bidirecțional de timp pentru sateliți , la tf.nist.gov . Adus la 3 octombrie 2008 (arhivat din original la 29 mai 2017) .
Applet demonstrativ de dilatare a timpului , la walter-fendt.de . Adus la 3 octombrie 2008 (arhivat din original la 19 decembrie 2008) .
Laboratorul Național de Fizică din Marea Britanie raportează replicarea experimentului Hefele-Keating ( PDF ), la npl.co.uk. Adus la 3 octombrie 2008 (arhivat din original la 30 octombrie 2008) .

Portalul relativității : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de relativitate

[1] Hermann Minkowski , Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern , în Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen , Göttingen, 1908, pp. 53–111. Adus la 18 ianuarie 2013 (arhivat din original la 8 iulie 2012) .

[2] Jackson , pagina 528 .

[3] Jackson , pagina 527 .

[1]

[2]

[3]

V · D · M Vreme
Principalele concepte	Timp · Eternitate · Nemurire Timp profund · Istorie · Trecut · Prezent · Viitor · Futurologie
Măsurători și standarde	Cronometru · UTC · UT · TAI · Secundă · Minut · acum · Timp sideral · Timp solar · Timp Ceas · Clockwork · Istoria cronometrie · Astrarium · Marine Cronometrul · Sundial · Hourglass ( apă) · Ceas Tămâie Calendar · Ziua · Săptămâna · Luna · An · An tropical · Iulian · Gregorian · Islamic Intercalare · Al doilea bisect · An bisect
Cronologie	Istoric astronomic · timp geologic · istoria geologică · geocronologie · Datând arheologice Era calendaristică · Anul domniei · Cronică · Periodizare
Religia și mitologia	Decani · Aeon · Kairós · Kāla · Kālacakratantra · Timpul Tatălui · Profeție · Roata timpului · zeitgeist · Timpul viselor
Filozofie	Cauzalitate · Endurantism · Eternism · Întoarcere eternă · Eveniment · Finitism în timp · Irealitatea timpului Quadridimensionalism · Perdurantismo · Prezentism · părți temporale · Sincronicitate · Vechi timp
Științe fizice	Timpul în fizică · Spațiul- timp · Timpul absolut · Simetria timpului Săgeată de timp · cronon · a patra dimensiune · Timp de Planck · timp Planck · Timp de domeniu · dimensiuni de timp multiple Teoria relativității · Timp de dilatare · gravitaționale dilatarea timpului · Coordonat timp · timpul potrivit
Biologie	Cronobiologie · Ritmuri circadiene
Psihologie	Cronometrie mentală · Timp de reacție · Simțul timpului · Prezent specific
Sociologie și antropologie	Cronică · Futurologie · Fundația Long Now · Disciplina timpului · Cercetări privind utilizarea timpului
Științe economice	Ora newtoniană în economie · Valoarea timpului banilor · Timpul bancar · Banca timpului · Ora de vară
subiecte asemănătoare	Spațiu · Durată · Capsulă de timp · Călătorie în timp · Măsurare (muzică) · Timpul sistemului · Timp metric · Timp hexazecimal · Carpe diem · Tempus fugit