Tensiunea internă

Tensiune internă (sau tensiuni interne sau concentrică) este o măsură a celor de contact forțele exercitate între părțile interioare ale unui corp tridimensional continuu în întreaga sa suprafață de separare . Este definită ca forța de contact pe unitate de suprafață, adică este limita raportului dintre forța de acțiune și aria suprafeței pe care acționează:

{\mathbf {t} }=\lim _{\Delta A\rightarrow 0}{\frac {\Delta \mathbf {f} _{c}}{\Delta A}}

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = \ lim _ {\ Delta A \ rightarrow 0} {\ frac {\ Delta \ mathbf {f} _ {c}} {\ Delta A}}}

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = \ lim _ {\ Delta A \ rightarrow 0} {\ frac {\ Delta \ mathbf {f} _ {c}} {\ Delta A}}}

Este o cantitate vectorială și unitatea sa de măsură este pascal (simbol Pa ). În practica tehnică, megapascalul ( MPa ) sau gigapascalul ( GPa ) este cel mai frecvent utilizat.

Conceptul de tensiune se bazează pe conceptul de continuum și joacă un rol fundamental în toate mecanicile continuumului , deoarece caracterizează starea tensiunilor interne ale unui corp și, în consecință, comportamentul materialului care constituie corpul, adică modul în care acesta se deformează. sub acțiunea forțelor aplicate.

fundal

Noțiunea de tensiune internă care acționează prin suprafața de contact a fost introdusă pentru prima dată de matematicianul și fizicianul Leibniz în 1684 și de Jakob Bernoulli în 1691 . În 1713, Antoine Parent (1660-1726), un matematician francez, a recunoscut, deși într-un mod fumat, existența tensiunilor tangențiale interne. Ulterior, în jurul anului 1750 , Daniel Bernoulli și Euler au formulat o teorie completă a fasciculului, introducând ideea de solicitări interne în suprafața plană a unei secțiuni a fasciculului și asociindu-le cu o forță rezultantă și un moment rezultant. În 1752 Euler a asociat ideea componentelor normale ale tensiunii cu conceptul de presiune . Contribuții suplimentare la conceptul de tensiune au fost aduse de fizicianul și inginerul francez Coulomb (1736-1806), care a dat o formalizare precisă a conceptului de tensiune tangențială. Dar marele matematician francez (dar și cu pregătire inginerească) Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a fost cel care, în 1822, a formalizat conceptul de tensiune în contextul unei teorii generale tridimensionale, împreună cu cea a deformării, stabilind legăturile dintre două dimensiuni.

Vectorul tensiunilor

Notatii si simbolologie

Operații pe vectori și tensori sau matrice :

produs scalar între vectori:

{\mathbf {a} }\,\cdot \,{\mathbf {b} }

{\ displaystyle {\ mathbf {a}} \, \ cdot \, {\ mathbf {b}}}

{\ displaystyle {\ mathbf {a}} \, \ cdot \, {\ mathbf {b}}}

tensorul transpus al unui tensor:

\mathbf {A} ^{t}

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {t}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {t}}

tensorul invers al unui tensor:

\mathbf {A} ^{-1}

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {- 1}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {- 1}}

urma unui tensor:

\mathrm {tr} ({\mathbf {A} })

{\ displaystyle \ mathrm {tr} ({\ mathbf {A}})}

{\ displaystyle \ mathrm {tr} ({\ mathbf {A}})}

determinant al unui tensor:

\det({\mathbf {A} })

{\ displaystyle \ det ({\ mathbf {A}})}

{\ displaystyle \ det ({\ mathbf {A}})}

Continuum tridimensional cauchy

Tensiuni interne în continuumul Cauchy

Componentele tensorului de solicitare Cauchy

Pentru un corp ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ într-o configurație ${\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {B}})$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {B}})}$ , tensiunile interne sunt un câmp vector ${\mathbf {t} }(\cdot )$ ${\ displaystyle {\ mathbf {t}} (\ cdot)}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {t}} (\ cdot)}$ definit în configurație ${\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {B}})$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {B}})}$ astfel încât rezultanta forțelor de contact care acționează asupra unei părți generice ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ a corpului se măsoară prin integrala suprafeței de pe limită $\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})$ ${\ displaystyle \ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})}$ ${\ displaystyle \ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})}$

{\mathbf {r} }^{c}({\mathcal {P}})=\int _{\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})}{\mathbf {t} }({\mathbf {x} },\ldots )\,ds

{\ displaystyle {\ mathbf {r}} ^ {c} ({\ mathcal {P}}) = \ int _ {\ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})} {\ mathbf {t}} ({\ mathbf {x}}, \ ldots) \, ds}

{\ displaystyle {\ mathbf {r}} ^ {c} ({\ mathcal {P}}) = \ int _ {\ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})} {\ mathbf {t}} ({\ mathbf {x}}, \ ldots) \, ds}

Tensiunile sunt, în general, o funcție, precum și a punctului ${\mathbf {x} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ , de asemenea, a formei suprafeței de contact $\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})$ ${\ displaystyle \ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})}$ ${\ displaystyle \ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})}$

{\mathbf {t} }={\mathbf {t} }\left({\mathbf {x} },\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})\right)

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ mathbf {t}} \ left ({\ mathbf {x}}, \ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}}) \ right )}}

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ mathbf {t}} \ left ({\ mathbf {x}}, \ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}}) \ right )}}

Cu toate acestea, în mecanica clasică este admisă validitatea postulatului lui Cauchy , care definește dependența de $\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})$ ${\ displaystyle \ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})}$ ${\ displaystyle \ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})}$ numai prin normal ${\mathbf {n} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$ la suprafață $\partial {\boldsymbol {\chi }}({\mathcal {P}})$ ${\ displaystyle \ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})}$ ${\ displaystyle \ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})}$ trecând prin ${\mathbf {x} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ , adică acceptarea simplificării:

{\mathbf {t} }={\mathbf {t} }\left({\mathbf {x} },{\mathbf {n} }\right)

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ mathbf {t}} \ left ({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {n}} \ right)}

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ mathbf {t}} \ left ({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {n}} \ right)}

Cu alte cuvinte, pe baza postulatului lui Cauchy, la diferite suprafețe care trec prin punct ${\mathbf {x} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ , caracterizat local prin aceeași normalitate, se asociază aceeași valoare vector tensiune.

Tensiuni normale și tangențiale

Vectorul de tensiune ${\mathbf {t} }={\mathbf {t} }\left({\mathbf {x} },{\mathbf {n} }\right)$ ${\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ mathbf {t}} \ left ({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {n}} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ mathbf {t}} \ left ({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {n}} \ right)}$ acționând la un punct intern ${\mathbf {x} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ și pe minciuna normală ${\mathbf {n} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$ , poate fi reprezentat prin intermediul componentelor dintr-o bază vectorică ortonormală generică $\left\{{\bar {1}}_{1},{\bar {1}}_{2},{\bar {1}}_{3}\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {2}, {\ bar {1}} _ {3} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {2}, {\ bar {1}} _ {3} \ right \}}$

{\mathbf {t} }=\sigma _{1}{\bar {1}}_{1}+\sigma _{2}{\bar {1}}_{2}+\sigma _{3}{\bar {1}}_{3}

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = \ sigma _ {1} {\ bar {1}} _ {1} + \ sigma _ {2} {\ bar {1}} _ {2} + \ sigma _ {3} {\ bar {1}} _ {3}}

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = \ sigma _ {1} {\ bar {1}} _ {1} + \ sigma _ {2} {\ bar {1}} _ {2} + \ sigma _ {3} {\ bar {1}} _ {3}}

Vectorul de tensiune nu este neapărat ortogonal față de planul pe care acționează. Interesant din punct de vedere tehnic este descompunerea vectorului de tensiune în componentă de-a lungul direcției normale ${\mathbf {n} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$ la poziția și în componenta conținută în planul poziției

{\mathbf {t} }={\boldsymbol {\sigma }}+{\boldsymbol {\tau }}\;\;\;,\;\;\;{\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{n}{\mathbf {n} }\;\;\;,\;\;\;{\boldsymbol {\tau }}=\tau _{m}{\mathbf {m} }

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ boldsymbol {\ sigma}} + {\ boldsymbol {\ tau}} \; \; \ ;, \; \; \; {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ sigma _ {n} {\ mathbf {n}} \; \; \ ;, \; \; \; {\ boldsymbol {\ tau}} = \ tau _ {m} {\ mathbf {m}}}

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ boldsymbol {\ sigma}} + {\ boldsymbol {\ tau}} \; \; \ ;, \; \; \; {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ sigma _ {n} {\ mathbf {n}} \; \; \ ;, \; \; \; {\ boldsymbol {\ tau}} = \ tau _ {m} {\ mathbf {m}}}

Se numește tensiune normală $\sigma _{n}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {n}}$ $\ sigma _ {n}$ componenta vectorului de tensiune ${\mathbf {t} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {t}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {t}}}$ de-a lungul direcției normale ${\mathbf {n} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$

\sigma _{n}={\mathbf {t} }\,\cdot \,{\mathbf {n} }

{\ displaystyle \ sigma _ {n} = {\ mathbf {t}} \, \ cdot \, {\ mathbf {n}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {n} = {\ mathbf {t}} \, \ cdot \, {\ mathbf {n}}}

Se numește tensiune tangențială $\tau _{m}$ ${\ displaystyle \ tau _ {m}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {m}}$ componenta vectorului de tensiune ${\mathbf {t} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {t}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {t}}}$ de-a lungul unei direcții ${\mathbf {m} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {m}}}$ cuprins în planul normal ${\mathbf {n} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$

\tau _{m}={\mathbf {t} }\,\cdot \,{\mathbf {m} }

{\ displaystyle \ tau _ {m} = {\ mathbf {t}} \, \ cdot \, {\ mathbf {m}}}

{\ displaystyle \ tau _ {m} = {\ mathbf {t}} \, \ cdot \, {\ mathbf {m}}}

Tensorul de stres Cauchy

Caracterizări importante ale stării de stres într-un punct derivă ca corolarii legilor lui Euler , cele două ecuații de echilibru care trebuie îndeplinite în timpul mișcării unui corp continuu. Prima lege a lui Euler (conservarea impulsului) duce la teorema lui Cauchy .

Starea de stres la un punct este definit de cunoașterea tuturor vectorilor de tensiune $\mathbf {t} ^{(\mathbf {n} )}$ ${\ displaystyle \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {n})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {n})}}$ asociat cu toate planurile (de număr infinit) care trec prin acel punct. În special, starea de tensiune pe trei planuri paralele cu planurile coordonate va fi reprezentată de cei trei vectori

\ \mathbf {t} ^{(\mathbf {e} _{1})}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3}

{\ displaystyle \ \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {1})} = \ sigma _ {11} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {12} \ mathbf {e } _ {2} + \ sigma _ {13} \ mathbf {e} _ {3}}

{\ displaystyle \ \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {1})} = \ sigma _ {11} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {12} \ mathbf {e } _ {2} + \ sigma _ {13} \ mathbf {e} _ {3}}

\ \mathbf {t} ^{(\mathbf {e} _{2})}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3}

{\ displaystyle \ \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {2})} = \ sigma _ {21} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {22} \ mathbf {e } _ {2} + \ sigma _ {23} \ mathbf {e} _ {3}}

{\ displaystyle \ \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {2})} = \ sigma _ {21} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {22} \ mathbf {e } _ {2} + \ sigma _ {23} \ mathbf {e} _ {3}}

\ \mathbf {t} ^{(\mathbf {e} _{3})}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3}

{\ displaystyle \ \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {3})} = \ sigma _ {31} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {32} \ mathbf {e } _ {2} + \ sigma _ {33} \ mathbf {e} _ {3}}

{\ displaystyle \ \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {3})} = \ sigma _ {31} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {32} \ mathbf {e } _ {2} + \ sigma _ {33} \ mathbf {e} _ {3}}

și deci din cele nouă componente scalare $\left\{\sigma _{11},\sigma _{12},\ldots ,\sigma _{33}\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ sigma _ {11}, \ sigma _ {12}, \ ldots, \ sigma _ {33} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ sigma _ {11}, \ sigma _ {12}, \ ldots, \ sigma _ {33} \ right \}}$ , din care

\ \sigma _{11}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {11}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {11}}

,

\ \sigma _{22}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {22}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {22}}

, Și :

\ \sigma _{33}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {33}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {33}}

sunt tensiuni normale, e

\ \sigma _{12}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {12}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {12}}

,

\ \sigma _{13}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {13}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {13}}

,

\ \sigma _{21}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {21}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {21}}

,

\ \sigma _{23}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {23}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {23}}

,

\ \sigma _{31}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {31}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {31}}

, Și

\ \sigma _{32}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {32}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {32}}

sunt solicitări tangențiale, adesea indicate cu

\ \tau _{12}

{\ displaystyle \ \ tau _ {12}}

{\ displaystyle \ \ tau _ {12}}

,

\ \tau _{13}

{\ displaystyle \ \ tau _ {13}}

{\ displaystyle \ \ tau _ {13}}

,

\ \tau _{21}

{\ displaystyle \ \ tau _ {21}}

{\ displaystyle \ \ tau _ {21}}

,

\ \tau _{23}

{\ displaystyle \ \ tau _ {23}}

{\ displaystyle \ \ tau _ {23}}

,

\ \tau _{31}

{\ displaystyle \ \ tau _ {31}}

{\ displaystyle \ \ tau _ {31}}

, Și

\ \tau _{32}

{\ displaystyle \ \ tau _ {32}}

{\ displaystyle \ \ tau _ {32}}

.

Setul celor nouă componente scalare $\left\{\sigma _{11},\sigma _{12},\ldots ,\sigma _{33}\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ sigma _ {11}, \ sigma _ {12}, \ ldots, \ sigma _ {33} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ sigma _ {11}, \ sigma _ {12}, \ ldots, \ sigma _ {33} \ right \}}$ reprezintă componentele matricei de reprezentare, în bază $\left\{{\bar {1}}_{1},{\bar {1}}_{2},{\bar {1}}_{3}\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {2}, {\ bar {1}} _ {3} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {2}, {\ bar {1}} _ {3} \ right \}}$ , de un tensor de ordinul doi $\mathbf {T}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ (altfel indicat cu simbolul tensorului ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${{\ boldsymbol \ sigma}}$ ) numit tensorul de stres Cauchy . Mai jos sunt toate cele mai comune convenții tipografice utilizate pentru a-i reprezenta componentele:

\ [{\mathbf {T} }]\equiv \left[{\begin{matrix}\mathbf {t} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {t} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {t} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\tau _{12}&\tau _{13}\\\tau _{21}&\sigma _{22}&\tau _{23}\\\tau _{31}&\tau _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]\;\;,\;\;{\sigma }_{ij}=\left({\mathbf {T} }\,{\mathbf {e} }_{i}\right)\,\cdot \,{\mathbf {e} }_{j}

{\ displaystyle \ [{\ mathbf {T}}] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {1})} \\\ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {2})} \\\ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {3})} \\\ end {matrix}} \ right] = \ left [ {\ begin {matrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23} \\ \ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma _ {11} & \ tau _ {12} & \ tau _ {13} \\\ tau _ {21} & \ sigma _ {22} & \ tau _ {23} \\\ tau _ {31} & \ tau _ {32} & \ sigma _ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma _ {xx} & \ sigma _ {xy} & \ sigma _ {xz} \\ \ sigma _ {yx} & \ sigma _ {yy} & \ sigma _ {yz} \\\ sigma _ {zx} & \ sigma _ {zy} & \ sigma _ {zz} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma _ {x} & \ tau _ {xy} & \ tau _ {xz} \\\ tau _ {yx} & \ sigma _ {y} & \ tau _ {yz} \\\ tau _ {zx} & \ tau _ {zy} & \ sigma _ {z} \\\ end {matrix}} \ right] \; \ ;, \; \; {\ sigma} _ {ij} = \ left ({\ mathbf {T}} \, {\ mathbf {e}} _ {i} \ right) \, \ cdot \, {\ mathbf {e}} _ {j} }

{\ displaystyle \ [{\ mathbf {T}}] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {1})} \\\ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {2})} \\\ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {3})} \\\ end {matrix}} \ right] = \ left [ {\ begin {matrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23} \\ \ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma _ {11} & \ tau _ {12} & \ tau _ {13} \\\ tau _ {21} & \ sigma _ {22} & \ tau _ {23} \\\ tau _ {31} & \ tau _ {32} & \ sigma _ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma _ {xx} & \ sigma _ {xy} & \ sigma _ {xz} \\ \ sigma _ {yx} & \ sigma _ {yy} & \ sigma _ {yz} \\\ sigma _ {zx} & \ sigma _ {zy} & \ sigma _ {zz} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma _ {x} & \ tau _ {xy} & \ tau _ {xz} \\\ tau _ {yx} & \ sigma _ {y} & \ tau _ {yz} \\\ tau _ {zx} & \ tau _ {zy} & \ sigma _ {z} \\\ end {matrix}} \ right] \; \ ;, \; \; {\ sigma} _ {ij} = \ left ({\ mathbf {T}} \, {\ mathbf {e}} _ {i} \ right) \, \ cdot \, {\ mathbf {e}} _ {j} }

Teorema lui Cauchy afirmă că cunoașterea stării de tensiune pe trei poziții ortogonale distincte, adică cele nouă componente $\left\{\sigma _{11},\sigma _{12},\ldots ,\sigma _{33}\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ sigma _ {11}, \ sigma _ {12}, \ ldots, \ sigma _ {33} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ sigma _ {11}, \ sigma _ {12}, \ ldots, \ sigma _ {33} \ right \}}$ , este suficient pentru a determina tensiunile pe orice altă poziție care trece prin punct.

În termeni mai formali, teorema lui Cauchy afirmă că există un tensor ${\mathbf {T} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$ , numit tensorul tensiunilor , astfel încât să se mențină următoarea reprezentare liniară

\mathbf {t} ^{(\mathbf {n} )}\,={\mathbf {T} }\,{\mathbf {n} }

{\ displaystyle \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {n})} \, = {\ mathbf {T}} \, {\ mathbf {n}}}

{\ displaystyle \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {n})} \, = {\ mathbf {T}} \, {\ mathbf {n}}}

Respectarea celei de-a doua legi a lui Euler (conservarea momentului de impuls) duce la necesitatea ca tensorul de stres Cauchy să fie un tensor simetric

{\mathbf {T} }^{t}={\mathbf {T} }\;\;,\;\;\sigma _{ij}=\sigma _{ji}

{\ displaystyle {\ mathbf {T}} ^ {t} = {\ mathbf {T}} \; \ ;, \; \; \ sigma _ {ij} = \ sigma _ {ji}}

{\ displaystyle {\ mathbf {T}} ^ {t} = {\ mathbf {T}} \; \ ;, \; \; \ sigma _ {ij} = \ sigma _ {ji}}

Prin urmare, este reprezentat de doar șase componente scalare independente.

Tensiuni principale, direcții principale și invariante ale stării de stres

Stresul principal într-un punct este valoarea stresului pe o poziție față de care starea de stres are numai componente normale și nu are componente tangențiale. Direcția normală spre culcat se numește direcția principală de tensiune .

Principala problemă de stres constă în găsirea pozițiilor față de care starea de stres are numai componente normale, adică de tip

{\mathbf {t} }={\mathbf {T} }\,{\mathbf {n} }=\sigma _{n}\,{\mathbf {n} }

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ mathbf {T}} \, {\ mathbf {n}} = \ sigma _ {n} \, {\ mathbf {n}}}

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ mathbf {T}} \, {\ mathbf {n}} = \ sigma _ {n} \, {\ mathbf {n}}}

astfel încât să fie identic $\tau _{m}=0,\;\forall {\mathbf {m} }$ ${\ displaystyle \ tau _ {m} = 0, \; \ forall {\ mathbf {m}}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {m} = 0, \; \ forall {\ mathbf {m}}}$ .

Din punct de vedere algebric, problema afirmată corespunde unei probleme cu valoarea proprie , adică o căutare a vectorilor proprii ${\mathbf {n} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$ și valori proprii $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ a tensorului ${\mathbf {T} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$ .

Plasat sub forma ( ${\mathbf {I} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {I}}}$ este tensorul identității)

({\mathbf {T} }-\lambda {\mathbf {I} })\,{\mathbf {n} }=0

{\ displaystyle ({\ mathbf {T}} - \ lambda {\ mathbf {I}}) \, {\ mathbf {n}} = 0}

{\ displaystyle ({\ mathbf {T}} - \ lambda {\ mathbf {I}}) \, {\ mathbf {n}} = 0}

problema este echivalentă cu căutarea spațiului nul ( nucleul ) operatorului $({\mathbf {T} }-\lambda \,{\mathbf {I} })$ ${\ displaystyle ({\ mathbf {T}} - \ lambda \, {\ mathbf {I}})}$ ${\ displaystyle ({\ mathbf {T}} - \ lambda \, {\ mathbf {I}})}$ , definit de condiția relativă de singularitate ( ecuația caracteristică a operatorului ${\mathbf {T} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$ )

{\mbox{det}}\left({\mathbf {T} }-\lambda \,{\mathbf {I} }\right)={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\lambda \\\end{vmatrix}}=0

{\ displaystyle {\ mbox {det}} \ left ({\ mathbf {T}} - \ lambda \, {\ mathbf {I}} \ right) = {\ begin {vmatrix} \ sigma _ {11} - \ lambda & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} - \ lambda & \ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} - \ lambda \\\ end {vmatrix}} = 0}

{\ displaystyle {\ mbox {det}} \ left ({\ mathbf {T}} - \ lambda \, {\ mathbf {I}} \ right) = {\ begin {vmatrix} \ sigma _ {11} - \ lambda & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} - \ lambda & \ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} - \ lambda \\\ end {vmatrix}} = 0}

Aceasta ia expresia unei ecuații algebrice de gradul III

-\lambda ^{3}+\lambda ^{2}I_{1}-\lambda I_{2}+I_{3}=0\!

{\ displaystyle - \ lambda ^ {3} + \ lambda ^ {2} I_ {1} - \ lambda I_ {2} + I_ {3} = 0 \!}

{\ displaystyle - \ lambda ^ {3} + \ lambda ^ {2} I_ {1} - \ lambda I_ {2} + I_ {3} = 0 \!}

unde coeficienții $(I_{1},I_{2},I_{3}\!)$ ${\ displaystyle (I_ {1}, I_ {2}, I_ {3} \!)}$ ${\ displaystyle (I_ {1}, I_ {2}, I_ {3} \!)}$ sunt invarianții tensorului ${\mathbf {T} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$ și sunt definite de

{\begin{aligned}I_{1}&={\mbox{tr}}\,{\mathbf {T} }=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\I_{2}&={\frac {1}{2}}\left(({\mbox{tr}}\,{\mathbf {T} })^{2}-{\mbox{tr}}\,({\mathbf {T} }^{2})\right)=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{13}^{2}\\I_{3}&={\mbox{det}}\,{\mathbf {T} }=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{13}^{2}\sigma _{22}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} & = {\ mbox {tr}} \, {\ mathbf {T}} = \ sigma _ {11} + \ sigma _ {22} + \ sigma _ { 33} \\ I_ {2} & = {\ frac {1} {2}} \ left (({\ mbox {tr}} \, {\ mathbf {T}}) ^ {2} - {\ mbox { tr}} \, ({\ mathbf {T}} ^ {2}) \ right) = \ sigma _ {11} \ sigma _ {22} + \ sigma _ {22} \ sigma _ {33} + \ sigma _ {11} \ sigma _ {33} - \ sigma _ {12} ^ {2} - \ sigma _ {23} ^ {2} - \ sigma _ {13} ^ {2} \\ I_ {3} & = {\ mbox {det}} \, {\ mathbf {T}} = \ sigma _ {11} \ sigma _ {22} \ sigma _ {33} +2 \ sigma _ {12} \ sigma _ {23} \ sigma _ {31} - \ sigma _ {12} ^ {2} \ sigma _ {33} - \ sigma _ {23} ^ {2} \ sigma _ {11} - \ sigma _ {13} ^ {2 } \ sigma _ {22} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} & = {\ mbox {tr}} \, {\ mathbf {T}} = \ sigma _ {11} + \ sigma _ {22} + \ sigma _ { 33} \\ I_ {2} & = {\ frac {1} {2}} \ left (({\ mbox {tr}} \, {\ mathbf {T}}) ^ {2} - {\ mbox { tr}} \, ({\ mathbf {T}} ^ {2}) \ right) = \ sigma _ {11} \ sigma _ {22} + \ sigma _ {22} \ sigma _ {33} + \ sigma _ {11} \ sigma _ {33} - \ sigma _ {12} ^ {2} - \ sigma _ {23} ^ {2} - \ sigma _ {13} ^ {2} \\ I_ {3} & = {\ mbox {det}} \, {\ mathbf {T}} = \ sigma _ {11} \ sigma _ {22} \ sigma _ {33} +2 \ sigma _ {12} \ sigma _ {23} \ sigma _ {31} - \ sigma _ {12} ^ {2} \ sigma _ {33} - \ sigma _ {23} ^ {2} \ sigma _ {11} - \ sigma _ {13} ^ {2 } \ sigma _ {22} \ end {align}}}

Fiind tensorul ${\mathbf {T} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$ simetric, o teoremă a algebrei asigură că ecuația caracteristică admite trei rădăcini reale $(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}\!)$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3} \!)}$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3} \!)}$ și, în plus, că cei trei vectori proprii asociați $({\mathbf {n} }_{1},{\mathbf {n} }_{2},{\mathbf {n} }_{3})$ ${\ displaystyle ({\ mathbf {n}} _ {1}, {\ mathbf {n}} _ {2}, {\ mathbf {n}} _ {3})}$ ${\ displaystyle ({\ mathbf {n}} _ {1}, {\ mathbf {n}} _ {2}, {\ mathbf {n}} _ {3})}$ sunt ortonormale între ele:

{\mathbf {n} }_{i}\,\cdot \,{\mathbf {n} }_{j}=\delta _{ij}

{\ displaystyle {\ mathbf {n}} _ {i} \, \ cdot \, {\ mathbf {n}} _ {j} = \ delta _ {ij}}

{\ displaystyle {\ mathbf {n}} _ {i} \, \ cdot \, {\ mathbf {n}} _ {j} = \ delta _ {ij}}

unde cu $\delta _{ij}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta_ {ij}$ este indicat simbolul Kronecker .

În concluzie, pentru fiecare punct există trei poziții ortogonale, numite planuri de tensiune principale , cu vectori normali $({\mathbf {n} }_{1},{\mathbf {n} }_{2},{\mathbf {n} }_{3})$ ${\ displaystyle ({\ mathbf {n}} _ {1}, {\ mathbf {n}} _ {2}, {\ mathbf {n}} _ {3})}$ ${\ displaystyle ({\ mathbf {n}} _ {1}, {\ mathbf {n}} _ {2}, {\ mathbf {n}} _ {3})}$ ( principalele direcții de tensiune ), cu privire la care vectorul de tensiune are numai componente normale $(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3})}$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3})}$ ( principalele tensiuni ) și nu are componente tangențiale. Se arată că eforturile principale reprezintă valorile maxime (și minime) obținute din starea de efort într-un punct, deoarece poziția care trece prin el variază.

Reprezentarea spectrală a tensorului de solicitare ${\mathbf {T} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$ , adică reprezentarea tensorului într-o bază formată din cele trei direcții principale de tensiune, este dată de matricea diagonală

[{\mathbf {T} }]\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle [{\ mathbf {T}}] \ equiv {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {1} & 0 & 0 \\ 0 & \ sigma _ {2} & 0 \\ 0 & 0 & \ sigma _ {3} \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle [{\ mathbf {T}}] \ equiv {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {1} & 0 & 0 \\ 0 & \ sigma _ {2} & 0 \\ 0 & 0 & \ sigma _ {3} \\\ end {bmatrix}}}

În reprezentarea spectrală, invarianții stării de solicitare desenează următoarea expresie:

\ {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle \ {\ begin {align} I_ {1} & = \ sigma _ {1} + \ sigma _ {2} + \ sigma _ {3} \\ I_ {2} & = \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} + \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} + \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} \\ I_ {3} & = \ sigma _ {1} \ sigma _ { 2} \ sigma _ {3} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle \ {\ begin {align} I_ {1} & = \ sigma _ {1} + \ sigma _ {2} + \ sigma _ {3} \\ I_ {2} & = \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} + \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} + \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} \\ I_ {3} & = \ sigma _ {1} \ sigma _ { 2} \ sigma _ {3} \\\ end {align}}}

Partea sferică și deviatică a tensorului de tensiune

Ca orice tensor, tensorul de stres Cauchy $\mathbf {T}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ poate fi descompus într-o parte sferică și o parte deviatică

\mathbf {T} ={\bar {\sigma }}\,{\mathbf {I} }+\mathbf {T} ^{dev}\;\;,\;\;[{\mathbf {T} }]\equiv \left[{\begin{matrix}{\bar {\sigma }}&0&0\\0&{\bar {\sigma }}&0\\0&0&{\bar {\sigma }}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}-{\bar {\sigma }}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-{\bar {\sigma }}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-{\bar {\sigma }}\\\end{matrix}}\right]

{\ displaystyle \ mathbf {T} = {\ bar {\ sigma}} \, {\ mathbf {I}} + \ mathbf {T} ^ {dev} \; \ ;, \; \; [{\ mathbf { T}}] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} {\ bar {\ sigma}} & 0 & 0 \\ 0 & {\ bar {\ sigma}} & 0 \\ 0 & 0 & {\ bar {\ sigma}} \\\ end {matrix}} \ right] + \ left [{\ begin {matrix} \ sigma _ {11} - {\ bar {\ sigma}} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} - {\ bar {\ sigma}} & \ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32 } & \ sigma _ {33} - {\ bar {\ sigma}} \\\ end {matrix}} \ right]}

{\ displaystyle \ mathbf {T} = {\ bar {\ sigma}} \, {\ mathbf {I}} + \ mathbf {T} ^ {dev} \; \ ;, \; \; [{\ mathbf { T}}] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} {\ bar {\ sigma}} & 0 & 0 \\ 0 & {\ bar {\ sigma}} & 0 \\ 0 & 0 & {\ bar {\ sigma}} \\\ end {matrix}} \ right] + \ left [{\ begin {matrix} \ sigma _ {11} - {\ bar {\ sigma}} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} - {\ bar {\ sigma}} & \ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32 } & \ sigma _ {33} - {\ bar {\ sigma}} \\\ end {matrix}} \ right]}

unde este ${\bar {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}}}$ este tensiunea medie

{\bar {\sigma }}={\frac {1}{3}}{\mbox{tr}}{\bigl (}{\mathbf {T} }{\bigr )}={\frac {1}{3}}(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})

{\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} = {\ frac {1} {3}} {\ mbox {tr}} {\ bigl (} {\ mathbf {T}} {\ bigr)} = {\ frac {1} {3}} (\ sigma _ {11} + \ sigma _ {22} + \ sigma _ {33})}

{\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} = {\ frac {1} {3}} {\ mbox {tr}} {\ bigl (} {\ mathbf {T}} {\ bigr)} = {\ frac {1} {3}} (\ sigma _ {11} + \ sigma _ {22} + \ sigma _ {33})}

Partea sferică ${\bar {\sigma }}\,{\mathbf {I} }$ ${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} \, {\ mathbf {I}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} \, {\ mathbf {I}}}$ al tensorului de tensiune este reprezentativ pentru o stare hidrostatică de tensiune.

Stare plană de tensiune

Când valoarea uneia dintre tensiunile principale este zero, componentele tensiunii din planul principal relativ sunt zero și vorbim despre o stare de tensiune plană . Assunta ${\mathbf {e} }_{3}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {3}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {3}}$ ca direcție principală, vectorul de solicitare are următoarea reprezentare într-o bază de vectori ortonormali $\left\{{\bar {1}}_{1},{\bar {1}}_{2},{\bar {1}}_{3}\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {2}, {\ bar {1}} _ {3} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {2}, {\ bar {1}} _ {3} \ right \}}$

\ [{\mathbf {T} }]\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ [{\ mathbf {T}}] \ equiv {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & 0 \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ [{\ mathbf {T}}] \ equiv {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & 0 \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}

.

O stare de solicitare plană caracterizează de obicei starea de solicitare a unui corp în care una dintre dimensiuni este foarte mică în comparație cu celelalte două (o coajă , de exemplu).

Cercurile de tensiuni ale lui Mohr

Același subiect în detaliu: cercul lui Mohr .

Cercul lui Mohr este o reprezentare grafică a stării de solicitare într-un punct, propusă în 1892 de Mohr . Este deosebit de semnificativ în cazul unei stări plane de tensiuni și permite determinarea într-un mod simplu a tensiunilor principale, a tensiunilor tangențiale maxime și a planurilor de tensiune principale.

Tensorii tensiunilor Piola-Kirchhoff

Același subiect în detaliu: Cauchy continuum § Ecuații de mișcare în formă Lagrangiană și tensori nominali de tensiune .

Descrierea stării de tensiune este exprimată în mod natural în forma euleriană cu referire la configurația curentă și folosind tensorul Cauchy. În cazul deplasărilor și deformărilor finite, starea de solicitare poate fi exprimată și într-o formulare lagrangiană, adică referindu-se la configurația de referință inițială, utilizând tensorii nominali de tensiune Piola - Kirchhoff , a căror semnificație este pur matematică.

În ipoteza micilor deplasări și rotații , tensorii nominali de tensiune și tensorul Cauchy coincid: în acest caz este obișnuit să se utilizeze simbolul ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${{\ boldsymbol \ sigma}}$ pentru a indica tensorul tensiunilor.

Observare asupra conceptului de tensiune

Existența tensiunilor se afirmă axiomatic. Problematică este justificarea acestei presupuneri cu argumente de natură fizică, prin verificarea acesteia cu date experimentale: deoarece se referă la punctele interne ale corpului, este imposibil să se efectueze tăieturi și apoi să se măsoare valoarea tensiunii pe suprafața tăiată , deoarece operația de tăiere ar modifica dramatic starea de solicitare care se intenționează a fi măsurată. În concluzie, putem afirma doar că „definiția tensiunilor reprezintă o ipoteză rezonabilă asupra naturii continuumului și că justificarea acestui construct sau model mental se regăsește în valoarea sa metodologică, adică [...] din rezultatele profitabile la care se ajunge cu metoda bazată pe ea "(Baldacci, 1984)

Notă

Bibliografie

R. Baldacci, Știința construcției, vol. I, Utet, Torino, 1984. ISBN 8802038376
P. Morelli, Construcții de mașini, MacGraw-Hill, ISBN 9781307534863

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu tensiune internă

linkuri externe

( EN ) Tensiunea internă , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Analiza stresului, Wolfram Research , la documents.wolfram.com . Adus la 20 februarie 2008 (arhivat din original la 3 septembrie 2006) .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 56190 · NDL ( EN , JA ) 00568941

Portale Ingegneria : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di ingegneria

V · D · M Mecanica clasică și mecanica continuumului
Cantități intensive	Densitate · Viteză macroscopică · Câmp mediu · Tensiune internă · Temperatură · Deformare · Densitate termică
Cantități mari	Masă · Debit · Moment · Forță externă · Energie internă · Căldură · Disipare · Lucrare termodinamică
Bilanțe contabile	Conservarea masei · Echilibrul impulsului · Echilibrul energiei interne
Approssimazioni	Equazioni di Eulero · Equazioni di Navier-Stokes · Equazioni di Burnett
Leggi	Legge di Pascal · Legge di Newton · Legge di Fourier · Legge di Stokes · Legge di Hooke
Meccanica dei solidi	Solido · Teoria dell'elasticità · Teoria della plasticità · Reologia · Viscoelasticità
Meccanica dei fluidi	Fluido · Fluidostatica · Fluidodinamica · Viscosità · Fluido newtoniano · Fluido non newtoniano