Votarea tensorului

Tensorul este un algoritm de vot utilizat în viziunea artificială , care permite deducerea informațiilor despre structurile geometrice descrise de un set de date parțial. Este inspirat de principiile Gestalt privind sistemul vizual al animalelor: individul primește continuu informații parțiale, incorecte sau corupte din zgomot, dar are capacitatea de a distinge zgomotul, pentru a elimina și a reconstrui informațiile lipsă.

Obiective

Se presupune că are un nor de puncte aparținând uneia sau mai multor structuri geometrice din $\Re ^{n}$ ${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$ , De asemenea, presupune că punctele furnizate sunt afectate de aditivul pentru zgomot și conțin un anumit procent de valori aberante .

Scopurile algoritmului constau în:

identifică valori aberante pentru eliminarea lor,
estimarea dimensionalității structurilor geometrice descrise de date,
estimează orientarea structurilor geometrice,
permit o reconstrucție precisă a unor astfel de structuri.

Toate acestea se fac datorită utilizării a două principii fundamentale perceptive ale Gestaltului:

Aproape de: apropierea dintre elementele geometrice (cum ar fi punctele) determină sistemul perceptiv să le grupeze în încercarea de a descrie o singură structură geometrică;
continuare: orientarea structurilor geometrice, despre care avem suficiente informații, este difuzată către entitățile geometrice înconjurătoare.

Reprezentarea orientărilor

Distanța dintre puncte, euclidiană sau de altă natură, poate fi utilizată pentru a exploata principiul proximității. Principiul continuării, pe de altă parte, poate fi exploatat numai dacă este posibil să se reprezinte, printr-o entitate geometrică, dimensionalitatea și orientarea structurilor geometrice din care face parte fiecare punct.

O posibilă alegere, pentru reprezentarea orientării unei structuri geometrice cu dimensiuni în $\Re ^{n}$ ${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$ , Este de a utiliza tensorii de ordinul doi, simetric și pozitiv definit (de acum înainte se va numi pur și simplu tensori). Aceste entități geometrice pot fi reprezentate prin intermediul matricilor pătrate simetrice pozitive definite . Acest tip de matrice identifică un sistem de valori proprii și vectori proprii în care primele sunt întotdeauna non-negative, în timp ce secundele sunt întotdeauna ortogonale una cu cealaltă. Aceste proprietăți ale unui tensor permit să reprezinte, într-un spațiu de dimensionalitate arbitrară, o orientare care este o încredere pentru fiecare dintre direcțiile descrise de valorile proprii. Observați că următoarea matrice de vector propriu:

$X=[e_{1}|e_{2}|\dots |e_{m}]$ ${\ displaystyle X = [e_ {1} | e_ {2} | \ dots | e_ {m}]}$ ${\ displaystyle X = [e_ {1} | e_ {2} | \ dots | e_ {m}]}$

dintre care valorile proprii $e_{1}\dots e_{n}$ ${\ displaystyle e_ {1} \ dots e_ {n}}$ ${\ displaystyle e_ {1} \ dots e_ {n}}$ constituie coloanele, este o matrice de rotație fiind vectori proprii ortonormali între ele.

Deoarece suma matricilor simetrice este încă o matrice simetrică, adăugarea a două tensori element cu element obține din nou un tensor de același tip, care reprezintă încă o dată orientări și confidențe. Analiza combinației liniare a acestor entități arată cum tensorii de acest tip se dovedesc înclinați în mod natural pentru a fi utilizați pentru gestionarea orientărilor. În special, tensorul T poate fi obținut din matricea vectorilor proprii X și din matricea diagonală a valorilor proprii $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ , în care valorile proprii sunt raportate în ordine ne-crescătoare și vectorii proprii sunt ordonați în consecință. În special, se aplică următoarea defalcare:

$T=X\Lambda X^{T}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}e_{i}e_{i}^{T}=\sum _{i=1}^{n-1}\left((\lambda _{i}-\lambda _{i+1}\sum _{j=1}^{i}e_{j}e_{j}^{T})\right)+\lambda _{n}e_{n}e_{n}^{T}$ ${\ displaystyle T = X \ Lambda X ^ {T} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} e_ {i} e_ {i} ^ {T} = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} \ left ((\ lambda _ {i} - \ lambda _ {i + 1} \ sum _ {j = 1} ^ {i} e_ {j} e_ {j} ^ { T}) \ right) + \ lambda _ {n} e_ {n} e_ {n} ^ {T}}$ ${\ displaystyle T = X \ Lambda X ^ {T} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} e_ {i} e_ {i} ^ {T} = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} \ left ((\ lambda _ {i} - \ lambda _ {i + 1} \ sum _ {j = 1} ^ {i} e_ {j} e_ {j} ^ { T}) \ right) + \ lambda _ {n} e_ {n} e_ {n} ^ {T}}$

Ultima expresie a egalității reprezintă descompunerea unui tensor în alți tensori de același tip în care sunt prezenți $1,2,\dots ,n$ ${\ displaystyle 1,2, \ dots, n}$ ${\ displaystyle 1,2, \ dots, n}$ valori proprii diferite de zero, acestea sunt tensori elementari obținuți din compoziția soarelui $1,2,\dots ,n$ ${\ displaystyle 1,2, \ dots, n}$ ${\ displaystyle 1,2, \ dots, n}$ direcții de interes la fel de ponderate.

Ideea descrisă de această descompunere este următoarea: imaginați-vă că un tensor reprezintă, în spațiu $\Re ^{n}$ ${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$ , Hiper- elipsoid a cărui vectori proprii înmulțit cu valorile proprii sale reprezintă axele sale, descompunerea prezentată reprezintă orice hiper-elipsoidală de acest tip ca o sumă de elipsoide generice în care unele dimensiuni sunt complet aplatizate și altele sunt descrise de la axele a căror normă este identic. De exemplu, în spațiul tridimensional un elipsoid poate fi descompus ca suma unei sfere, a unui disc circular și plat și a unui elipsoid complet aplatizat în două direcții (un fel de pin). În special, tensorul cu bilă se numește tensor cu bilă, tensorul cu disc se numește placă tensor, în timp ce acul se numește stick tensor.

Este ușor de înțeles că această descompunere permite să distingem în $\Re ^{n}$ ${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$ diferite tipuri de orientare pentru diferite tipuri de structuri geometrice. În votul tensorului, fiecare tensor reprezintă normele la structura care se presupune că traversează punctul în care este plasat: de exemplu, în spațiul tridimensional un tensor de tip stick reprezintă normalul la o suprafață, în timp ce tensorul plăcii reprezintă planul normal la o curbă. Valori $(\lambda _{i}-\lambda _{i+1})$ ${\ displaystyle (\ lambda _ {i} - \ lambda _ {i + 1})}$ ${\ displaystyle (\ lambda _ {i} - \ lambda _ {i + 1})}$ Și $\lambda _{n}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n}}$ Se spune că sunt sănătate și constituie greutățile tensorilor elementari în combinația liniară care vă permite să generați elipsoidul (adică acest tensor în punct).

Calculul orientărilor

Având în vedere un nor de puncte, inițial nu există cunoștințe despre orientările structurilor geometrice pe care le descriu și nici despre dimensionalitatea lor; Din acest motiv, inițial codificați în fiecare punct al tensorului de bilă cu sensibilitate unitară, aceste obiecte sunt descrise de matricea identității . Fiecare tensor prezent în spațiu generează în jurul său un câmp tensorial care descrie orientarea care ar avea o curbă de potrivire prin tensor și pentru fiecare punct al câmpului. Ideea este de a construi câmpurile tensorale, menționat câmpul de vot, astfel încât să descrie orientările curbelor percepționale cele mai adecvate la poziția diferitelor puncte, în special doriți să reprezentați orientările curbelor netede (adică clasa ${\mathcal {C}}^{2}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}$ ) cu curbură constantă.

Cea mai bună alegere sunt arcurile de circumferință , fiind aceste curbe de clasă ${\mathcal {C}}^{2}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}$ și cu curbură constantă. În cazul unui tensor de bilă, în care nu există constrângeri de orientare, arcul de circumferință cu curbură minimă care traversează tensorul și punctul său generic p al câmpului generat este un segment , adică un arc de circumferință cu rază infinită și zero curbură. Tensorul codificat în fiecare punct de un tensor cu bilă este un tensor care definește orientarea acestei curbe, în special să fiu matricea de identitate în $\Re ^{n}$ ${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$ și să fie p punctul de interes, imaginați-vă că lucrăm în sistemul de referință al tensorului de vot, orientarea X căutată poate fi obținută pur și simplu prin strângerea tensorului de bilă de-a lungul unei direcții adecvate până când valoarea proprie în acea direcție este nulă, în special:

$T_{p}=I-{\tilde {p}}{\tilde {p}}^{T}$ ${\ displaystyle T_ {p} = I - {\ tilde {p}} {\ tilde {p}} ^ {T}}$ ${\ displaystyle T_ {p} = I - {\ tilde {p}} {\ tilde {p}} ^ {T}}$

unde este ${\tilde {p}}={\frac {p}{\|p\|}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {p}} = {\ frac {p} {\ | p \ |}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {p}} = {\ frac {p} {\ | p \ |}}}$ reprezintă vectorul unitar în direcția lui p. Construcția câmpului de vot al unui tensor de bază, dar nu al unei bile, este mai complexă: de fapt, în acest caz, orientarea trebuie calculată pentru un arc de circumferință nedegenerat.

În $\Re ^{2}$ ${\ displaystyle \ Re ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ Re ^ {2}}$ singurul tensor fără bilă este tensorul stick, din care o singură valoare proprie este diferită de zero: reprezintă normalul curbei care trece prin tensorul care generează orientarea, care se presupune că este o elipsă centrată la origine, aplatizat complet de-a lungul axei ordonate și trecând prin punctul p de interes. Este ușor de arătat că vectorul normal al circumferinței osculante este următorul:

$v(p)={\begin{pmatrix}-\sin(2\theta )\\\cos(2\theta )\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle v (p) = {\ begin {pmatrix} - \ sin (2 \ theta) \\\ cos (2 \ theta) \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle v (p) = {\ begin {pmatrix} - \ sin (2 \ theta) \\\ cos (2 \ theta) \ end {pmatrix}}}$

unde este $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este unghiul dintre direcția singurului vector propriu raportat la o valoare proprie diferită de zero și punctul p. Având în vedere acest vector, orientarea dorită este:

$T_{p}=v(p)v(p)^{T}$ ${\ displaystyle T_ {p} = v (p) v (p) ^ {T}}$ ${\ displaystyle T_ {p} = v (p) v (p) ^ {T}}$

În $\Re ^{n}$ ${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$ un tensor elementar T, poziționat la origine și orientat ca axele, este caracterizat de un set de dimensiuni în care valorile proprii sunt zero și de un set de dimensiuni în care valorile proprii, toate egale, sunt diferite de zero. Prima va fi denumită aici sub formă de tablete de dimensiuni și a doua necomprimată.

Portalul de matematică

Portalul Neuroștiințe