tensor curbura Ricci

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În geometria diferențială tensorul Ricci este un tensor care măsoară curbura unui colector riemanniene . Acesta se obține prin contractarea doi indici ai tensorului Riemann . Tensorul Ricci, care își datorează numele Gregorio Ricci Curbastro , este un ingredient al ecuației câmpului lui Einstein și de aceea este important pentru formularea relativității generale .

Tensorul Ricci este un tensor simetric de tip (0,2), ca tensorul metric . Măsurile tensoriali modul în care volumul variază local în raport cu volumul obișnuit al unui spațiu euclidian .

Definiție

Este un colector Riemanniană sau mai general colector derivabile dotat cu o conexiune .

Definiția ca o contracție

Tensorul Ricci este câmpul tensorial definit prin contractarea doi indici ai tensorului Riemann , după cum urmează:

Aceasta este singura contracție care poate da un tensor nenulă (alte posibilități de a da un tensor nul din cauza simetriile tensorului Riemann). Pentru a-l distinge de tensorului Riemann, în notația fără indici este, uneori, notată cu simbolul .

Cu simbolurile Christoffel

În ceea ce privește simbolurile Christoffel , tensorul curbura Ricci are următoarea formă:

proprietăţi algebrice

tensor Symmetrical

Tensorul Ricci a unui riemanniene , pseudoriemannian sau o conexiune mai generală , fără torsiune este un tensor simetric :

Simetria este o consecință a identității timpurie a lui Bianchi .

Tensorul Ricci a unui (pseudo-) colectorul Riemanniană este , prin urmare , simetrică de ordinul (0,2), la fel ca tensorul metric . Prin urmare, este o formă biliniară simetrică definită pe fiecare spațiu tangent . Comparând tensorul Ricci cu tensorul metric este , prin urmare , o operațiune naturală, care a dat naștere (printre altele) la formularea ecuației câmpului Einstein în fizică și la soluția de conjectura Poincaré în matematică.

Ca toate formele simetrice biliniare, tensorul Ricci este determinată de asociat formei pătratice și , prin urmare , de valorile care funcția

presupune pe sfera vectorilor norma unitara a spatiului tangent.

Varietatea Einstein

Într-o varietate riemanniene, în cazul în care funcția

este constantă pe toți vectorii de unitatea de lungime, apoi tensorul Ricci este un multiplu al tensorului metric

și soiul se numește soiul Einstein .

Ricci și Riemann

Tensorul Ricci determină tensorului Riemann a unei varietăți riemanniene având dimensiune 2 sau 3. în dimensiune superioară acest lucru nu mai este valabil: de exemplu, sunt Ricci-plate colectoare (adică cu neutrul tensorul Ricci) , care nu sunt însă Riemann -plat ( tensorului Riemann nu anulează).

proprietăţile geometrice

Valoarea medie a curburi secționate

De Curburile secționate ale unui riemannian Manifold determină tensorului Riemann și , în consecință , de asemenea , tensorul Ricci. Pe de altă parte, tensorul Ricci dă o medie curburilor secțiunii de-a lungul liniilor drepte. Mai precis, fie că este vorba un vector tangent al unității de lungime. Numarul

este media curburilor secționate ale planurilor care trec prin înmulțit cu .

volum distorsiune

Măsurile de tensorul Ricci modul în care forma de volum a diferă multiple local de forma obișnuită de volum euclidian. Într - o hartă determinată prin coordonatele geodezice în jurul unui punct, tensorul metric este bine aproximată prin metrica euclidiană, în sensul că formula

In aceste coordonate, sub forma de volum are forma următoare.

Deci, în direcțiile în care tensorul Ricci este pozitiv (adică ) Volumul este contractat în raport cu volumul euclidiană. Cu alte cuvinte, harta exponențială contracte volumul în aceste direcții.

definiții conexe

Pozitivă sau negativă a Curbura Ricci

Dacă funcția

este pozitiv, negativ, non-negativ, etc. pentru toți vectorii de unitate de lungime, apoi colectorul se spune că pozitiv, negativ, curbura Ricci non-negativ, etc. Dacă funcția este zero, atunci tensorul Ricci este zero peste tot, iar colectorul este numit Ricci-plat.

curbura scalar

Tensorul Ricci este singurul tensor nenulă obținut prin contractarea doi indici ai tensorului Riemann. La rândul lor, cei doi indici ai tensorului Ricci poate fi contractat , iar rezultatul este curbura scalar

Curbura scalar este , deci, urmele de tensorului Ricci.

Uneori, o versiune urmă zero a tensorului Ricci este util. Acesta este următorul tensorul

obținut prin eliminarea urmelor ei, împărțit la dimensiune, de la tensorul Ricci . Acest tensor este de fapt zero, urmă, adică, relația deține

In marime mai mare sau egală cu trei, tensorul este peste tot nulă dacă și numai dacă , Adică, în cazul în care soiul este un soi Einstein .

Einstein tensor

Einstein Tensorul este definit ca

Acolo unde R este curbura scalar . Tensorul Einstein este una dintre principalele componente ale ecuației lui Einstein câmpului . Proprietatea esențială a acestui tensor este identitatea

consecință a doua identitate a lui Bianchi .

Bibliografie

  • (RO) JL Synge și A. Schild, Tensor calcul, mai întâi Dover Publications 1978 ediție, 1949, ISBN 978-0-486-63612-2 .
  • (EN) JR Tyldesley, O introducere în Tensor Analiza: Pentru Ingineri și Aplicată Oamenii de știință, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5 .
  • (EN) DC Kay, Tensor Calculul, Outlines Schaum lui, McGraw Hill (SUA), 1988, ISBN 0-07-033484-6 .
  • (RO) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemanniană Geometrie, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Fundamentele Differential Geometrie, vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (ediția nouă), ISBN 0-471-15733-3 .

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică