Tensorul Riemann

În geometria diferențială , tensorul Riemann este un tensor de tip (1,3) care codifică cel mai complet curbura unui distribuitor riemannian . Acesta poartă numele lui Bernhard Riemann și este indicat în general (în notație index) prin simbolul:

R_{jkl}^{i}\,\!.

{\ displaystyle R_ {jkl} ^ {i} \, \!.}

{\ displaystyle R_ {jkl} ^ {i} \, \!.}

Toate celelalte entități care descriu curbura unui distribuitor pot fi deduse din tensorul Riemann, de exemplu tensorul Ricci (un tensor de tip (0,2)), curbura scalară și curbura secțională . Tensorul Riemann este definit pentru fiecare varietate riemanniană , care este diferențiată și dotată cu un tensor metric pozitiv definit și mai general pentru fiecare varietate conectată .

Descriere

Definiție generală

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o varietate diferențiată cu o conexiune . Tensorul Riemann este câmpul tensorial $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ de tip (1,3) care satisface egalitatea

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.$ ${\ displaystyle R (X, Y) Z = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} Z- \ nabla _ {[X, Y]} Z .}$ ${\ displaystyle R (X, Y) Z = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} Z- \ nabla _ {[X, Y]} Z .}$

pentru fiecare triada $X, Da, Z$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$ de câmpuri vectoriale pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Teorema lui Schwarz afirmă că derivatele parțiale fac naveta în spațiul euclidian : acest fapt nu este adevărat într-o varietate cu conexiune arbitrară, iar tensorul Riemann ia în considerare acest fenomen într-un anumit sens. Primii doi termeni ai formulei sunt de fapt derivările comutate aplicate unui câmp $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ ; prezența celui de-al treilea termen, care folosește paranteze Lie $[,]$ ${\ displaystyle [,]}$ $[,]$ , este necesar să $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este de fapt un tensor.

Simboluri ale lui Christoffel

O conexiune este pe deplin identificată prin simbolurile sale Christoffel . Tensorul Riemann poate fi apoi reprezentat folosind aceste simboluri în orice carte , după cum urmează.

${R^{\sigma }}_{\mu \kappa \nu }={\partial {\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \nu } \over \partial x^{\kappa }}-{\partial {\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \kappa } \over \partial x^{\nu }}+{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }{\Gamma ^{\sigma }}_{\kappa \lambda }-{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \kappa }{\Gamma ^{\sigma }}_{\nu \lambda }$ ${\ displaystyle {R ^ {\ sigma}} _ {\ mu \ kappa \ nu} = {\ partial {\ Gamma ^ {\ sigma}} _ {\ mu \ nu} \ over \ partial x ^ {\ kappa} } - {\ partial {\ Gamma ^ {\ sigma}} _ {\ mu \ kappa} \ over \ partial x ^ {\ nu}} + {\ Gamma ^ {\ lambda}} _ {\ mu \ nu} { \ Gamma ^ {\ sigma}} _ {\ kappa \ lambda} - {\ Gamma ^ {\ lambda}} _ {\ mu \ kappa} {\ Gamma ^ {\ sigma}} _ {\ nu \ lambda}}$ ${\ displaystyle {R ^ {\ sigma}} _ {\ mu \ kappa \ nu} = {\ partial {\ Gamma ^ {\ sigma}} _ {\ mu \ nu} \ over \ partial x ^ {\ kappa} } - {\ partial {\ Gamma ^ {\ sigma}} _ {\ mu \ kappa} \ over \ partial x ^ {\ nu}} + {\ Gamma ^ {\ lambda}} _ {\ mu \ nu} { \ Gamma ^ {\ sigma}} _ {\ kappa \ lambda} - {\ Gamma ^ {\ lambda}} _ {\ mu \ kappa} {\ Gamma ^ {\ sigma}} _ {\ nu \ lambda}}$

Comutatori și indici

O definiție intermediară între cele date mai sus poate fi următoarea, exprimată folosind notația indexului. După cum sa menționat deja, derivatele covariante de-a lungul a două direcții nu fac naveta. Comutatorul lor, aplicat unui vector $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ totuși, pare să aibă o formă relativ simplă; este suma unei părți liniare în $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ și a unei părți liniare în derivata covariantă a $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ :

$[\nabla _{\mu },\nabla _{\nu }]Z^{\rho }=R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }Z^{\sigma }+T_{\mu \nu }{}^{\lambda }\nabla _{\lambda }Z^{\rho }.$ ${\ displaystyle [\ nabla _ {\ mu}, \ nabla _ {\ nu}] Z ^ {\ rho} = R ^ {\ rho} {} _ {\ sigma \ mu \ nu} Z ^ {\ sigma} + T _ {\ mu \ nu} {} ^ {\ lambda} \ nabla _ {\ lambda} Z ^ {\ rho}.}$ ${\ displaystyle [\ nabla _ {\ mu}, \ nabla _ {\ nu}] Z ^ {\ rho} = R ^ {\ rho} {} _ {\ sigma \ mu \ nu} Z ^ {\ sigma} + T _ {\ mu \ nu} {} ^ {\ lambda} \ nabla _ {\ lambda} Z ^ {\ rho}.}$

Coeficienții ambelor adunări sunt tensori: tensorul Riemann și torsiunea .

Versiune Covariantă

De sine $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este o varietate Riemanniană , tensorul Riemann este definit pe baza conexiunii sale Levi-Civita . Tensorul metric $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ poate fi, de asemenea, utilizat pentru ridicarea sau coborârea indicilor unui tensor: în special, versiunea complet covariantă a tensorului Riemann este tensorul de tip (0,4) dat de

R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }.

{\ displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = g _ {\ rho \ zeta} {R ^ {\ zeta}} _ {\ sigma \ mu \ nu}.}

{\ displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = g _ {\ rho \ zeta} {R ^ {\ zeta}} _ {\ sigma \ mu \ nu}.}

Proprietăți algebrice

Simetriile de bază

În forma sa complet covariantă, tensorul Riemann este antisimetric în raport cu schimbul primilor doi sau ultimii doi indici:

R_{\rho \sigma \mu \nu }=-R_{\sigma \rho \mu \nu }=-R_{\rho \sigma \nu \mu }\,\!

{\ displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = - R _ {\ sigma \ rho \ mu \ nu} = - R _ {\ rho \ sigma \ nu \ mu} \, \!}

{\ displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = - R _ {\ sigma \ rho \ mu \ nu} = - R _ {\ rho \ sigma \ nu \ mu} \, \!}

și este simetric în raport cu schimbul celor două perechi de indici:

R_{\rho \sigma \mu \nu }=R_{\mu \nu \rho \sigma }.\,\!

{\ displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma}. \, \!}

{\ displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma}. \, \!}

Prima identitate a lui Bianchi

Tensorul Riemann satisface prima identitate a lui Bianchi . În absența răsucirii , identitatea ia următoarea formă:

R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }+R_{\nu \sigma \mu }^{\rho }+R_{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0.\,\!

{\ displaystyle R _ {\ sigma \ mu \ nu} ^ {\ rho} + R _ {\ nu \ sigma \ mu} ^ {\ rho} + R _ {\ mu \ nu \ sigma} ^ {\ rho} = 0. \, \!}

{\ displaystyle R _ {\ sigma \ mu \ nu} ^ {\ rho} + R _ {\ nu \ sigma \ mu} ^ {\ rho} + R _ {\ mu \ nu \ sigma} ^ {\ rho} = 0. \, \!}

Această relație poate fi, de asemenea, descrisă mai succint după cum urmează:

R_{[\sigma \mu \nu ]}^{\rho }=0.\,\!

{\ displaystyle R _ {[\ sigma \ mu \ nu]} ^ {\ rho} = 0. \, \!}

{\ displaystyle R _ {[\ sigma \ mu \ nu]} ^ {\ rho} = 0. \, \!}

În această expresie, $[\sigma \mu \nu ]$ ${\ displaystyle [\ sigma \ mu \ nu]}$ ${\ displaystyle [\ sigma \ mu \ nu]}$ indică faptul că trebuie făcută o sumă pe toate permutările celor trei indici, cu un semn corespunzător parității permutării. Prin urmare, există 6 termeni, care totuși pot fi cuplați în virtutea proprietăților de bază descrise mai sus.

Componente independente

Tensorul Riemann are $n^{4}$ ${\ displaystyle n ^ {4}}$ ${\ displaystyle n ^ {4}}$ componente, unde $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este dimensiunea soiului pe care este definit. Relațiile descrise tocmai reduc acest număr la

{\frac {1}{12}}n^{2}(n^{2}-1)

{\ displaystyle {\ frac {1} {12}} n ^ {2} (n ^ {2} -1)}

{\ displaystyle {\ frac {1} {12}} n ^ {2} (n ^ {2} -1)}

componente independente. În dimensiunile 1, 2, 3 și 4, numărul componentelor independente este deci 0, 1, 6, 20 respectiv.

A doua identitate a lui Bianchi

A doua identitate a lui Bianchi este similară cu prima, dar ia în considerare derivatul covariant al tensorului Riemann. În absența răsucirii , identitatea are următoarea formă:

\nabla _{\lambda }R_{\rho \sigma \mu \nu }+\nabla _{\rho }R_{\sigma \lambda \mu \nu }+\nabla _{\sigma }R_{\lambda \rho \mu \nu }=0,\,\!

{\ displaystyle \ nabla _ {\ lambda} R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} + \ nabla _ {\ rho} R _ {\ sigma \ lambda \ mu \ nu} + \ nabla _ {\ sigma} R_ {\ lambda \ rho \ mu \ nu} = 0, \, \!}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ lambda} R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} + \ nabla _ {\ rho} R _ {\ sigma \ lambda \ mu \ nu} + \ nabla _ {\ sigma} R_ {\ lambda \ rho \ mu \ nu} = 0, \, \!}

Ca mai sus, această egalitate poate fi scrisă mai concis:

\nabla _{[\lambda }R_{\rho \sigma ]\mu \nu }=0.

{\ displaystyle \ nabla _ {[\ lambda} R _ {\ rho \ sigma] \ mu \ nu} = 0.}

{\ displaystyle \ nabla _ {[\ lambda} R _ {\ rho \ sigma] \ mu \ nu} = 0.}

Din a doua identitate a lui Bianchi rezultă că tensorul lui Einstein are zero divergențe .

Exemple

Suprafaţă

Tensorul Riemann al unei suprafețe este dat de

R_{\rho \sigma \mu \nu }=K(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu })

{\ displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = K (g _ {\ rho \ mu} g _ {\ sigma \ nu} -g _ {\ rho \ nu} g _ {\ sigma \ mu })}

{\ displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = K (g _ {\ rho \ mu} g _ {\ sigma \ nu} -g _ {\ rho \ nu} g _ {\ sigma \ mu })}

unde este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este curbura gaussiană și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este tensorul metric .

Spațiul euclidian

Într-un spațiu euclidian , tensorul Riemann este zero. Un distribuitor Riemannian cu un tensor Riemann nul este numit plat .

Proprietăți geometrice

Curbură secțională

Curbura secțională este definită pornind de la tensorul Riemann. Pe de altă parte, tensorul Riemann este complet determinat de curbura secțională, prin intermediul formulei

6\langle R(u,v)w,z\rangle =_{}^{}

{\ displaystyle 6 \ langle R (u, v) w, z \ rangle = _ {} ^ {}}

{\ displaystyle 6 \ langle R (u, v) w, z \ rangle = _ {} ^ {}}

=K(u+z,v+w)-K(u+z,v)-K(u+z,w)-K(u,v+w)-K(z,v+w)-K(v+z,u)+K(u,w)+_{}^{}

{\ displaystyle = K (u + z, v + w) -K (u + z, v) -K (u + z, w) -K (u, v + w) -K (z, v + w) -K (v + z, u) + K (u, w) + _ {} ^ {}}

{\ displaystyle = K (u + z, v + w) -K (u + z, v) -K (u + z, w) -K (u, v + w) -K (z, v + w) -K (v + z, u) + K (u, w) + _ {} ^ {}}

+K(v,z)-K(u+w,v+z)-K(u+w,v)-K(u+w,z)-K(u,v+z)-K(w,v+z)-K(u+w,v)+_{}^{}

{\ displaystyle + K (v, z) -K (u + w, v + z) -K (u + w, v) -K (u + w, z) -K (u, v + z) -K (w, v + z) -K (u + w, v) + _ {} ^ {}}

{\ displaystyle + K (v, z) -K (u + w, v + z) -K (u + w, v) -K (u + w, z) -K (u, v + z) -K (w, v + z) -K (u + w, v) + _ {} ^ {}}

+K(v,w)+K(u,z)_{}^{}

{\ displaystyle + K (v, w) + K (u, z) _ {} ^ {}}

{\ displaystyle + K (v, w) + K (u, z) _ {} ^ {}}

Soi plat

Un distribuitor Riemannian , sau mai general pseudo-Riemannian , este plat dacă fiecare punct are o hartă în care tensorul metric $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este constantă. Această definiție este echivalentă cu altele diferite: printre acestea, există anularea tensorului Riemann.

O varietate (pseudo-) Riemanniană este deci plată dacă și numai dacă tensorul Riemann este zero peste tot:

R_{\rho \sigma \mu \nu }=0.

{\ displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = 0.}

{\ displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = 0.}

Această proprietate nu este satisfăcută de tensorul Ricci și nici de curbura scalară : există soiuri cu un tensor Ricci nul care nu sunt plate.

Geodezie

Tensorul Riemann este util pentru măsurarea abordării sau îndepărtării geodeziei , un fenomen tipic spațiilor curbate. În spațiul euclidian , două puncte care se deplasează în aceeași direcție cu aceeași viteză rămân la o distanță constantă. Acest lucru nu se întâmplă într-un soi (pseudo) riemannian mai general. Într-o varietate, nici măcar nu are sens să vorbim despre „aceeași direcție” de plecare: singurul instrument pentru compararea vectorilor tangenți la diferite puncte este de fapt transportul paralel de -a lungul unei căi care unește cele două puncte; transportul paralel, însă, depinde puternic de calea aleasă!

Cu toate acestea, proprietatea de a se apropia sau de a se îndepărta de geodezie poate fi caracterizată, având în vedere o familie de geodezice

\gamma _{s}(t)

{\ displaystyle \ gamma _ {s} (t)}

{\ displaystyle \ gamma _ {s} (t)}

disjunct, dependent (lin) de un parametru real $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ . Fiecare geodezie este parametrizată prin lungimea arcului. Această familie definește apoi o suprafață parametrică în interior $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Cei doi parametri $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ Și $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ determina doua campuri vectoriale $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ tangente la suprafață. Primul măsoară abaterea dintre diferitele geodezii, al doilea constă din vectorii tangenți la aceștia. Prin urmare, putem defini viteza relativă și accelerația relativă între geodezice, cum ar fi câmpurile vectoriale:

V=\nabla _{T}S,\quad a=\nabla _{T}V.

{\ displaystyle V = \ nabla _ {T} S, \ quad a = \ nabla _ {T} V.}

{\ displaystyle V = \ nabla _ {T} S, \ quad a = \ nabla _ {T} V.}

Dacă conexiunea este fără torsiune, se menține următoarea relație, cunoscută sub numele de ecuația deviației geodezice :

a=R(T,S)T.

{\ displaystyle a = R (T, S) T.}

{\ displaystyle a = R (T, S) T.}

Cu indici:

a^{\mu }={\frac {D^{2}}{ds^{2}}}S^{\mu }=R^{\mu }{}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }S^{\sigma }.

{\ displaystyle a ^ {\ mu} = {\ frac {D ^ {2}} {ds ^ {2}}} S ^ {\ mu} = R ^ {\ mu} {} _ {\ nu \ rho \ sigma} T ^ {\ nu} T ^ {\ rho} S ^ {\ sigma}.}

{\ displaystyle a ^ {\ mu} = {\ frac {D ^ {2}} {ds ^ {2}}} S ^ {\ mu} = R ^ {\ mu} {} _ {\ nu \ rho \ sigma} T ^ {\ nu} T ^ {\ rho} S ^ {\ sigma}.}

Bibliografie

( EN ) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry , 1994.
( EN ) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 , Wiley-Interscience, 1996 (ediție nouă), ISBN 0-471-15733-3 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică