În fizică , în special în electromagnetism , tensorul electromagnetic, numit și tensorul câmpului electromagnetic,tensorul efortului câmpului,tensorul Faraday sau bivectorul Maxwell, este un tensor care descrie câmpul electromagnetic .
Câmpul tensorial a fost folosit pentru prima dată de Hermann Minkowski și vă permite să scrieți legile fizicii într-un mod foarte scurt și general.
Prin urmare, tensorul electromagnetic poate fi definit și ca derivatul exterior al formei 1-diferențiale{\ displaystyle A _ {\ mu}} :
{\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ dA _ {\ mu}}
Deoarece tensorul electromagnetic este un spațiu-timp diferențial de formă 2, într-un sistem de referință inerțial matricea care îl reprezintă este: [3]
{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {bmatrix}} = \ left ({\ mathbf {E} \ peste c}, \ mathbf {B} \ right)}
sau:
{\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & E_ {x} / c & E_ {y} / c & E_ {z} / c \\ - E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ - E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ - E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {bmatrix}} = \ left (- {\ mathbf {E} \ peste c}, \ mathbf {B} \ right)}
Din forma matricială a câmpului tensorial se poate observa că tensorul electromagnetic este un tensor antisimetric :
{\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = - F _ {\ beta \ alpha}}
a cărei urmă este zero și are șase componente independente. Produsul interior al câmpului tensorial este, de asemenea, un invariant al lui Lorentz :
unde este {\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta}} Este tensorul unitar complet antisimetric de ordinul patru sau tensorul lui Levi-Civita . Rețineți că:
{\ displaystyle \ det \ left (F \ right) = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {E} \ right) ^ {2}}
unde este {\ displaystyle \ phi} Este potențialul electric . Lagrangianul{\ displaystyle {\ mathcal {L}}} face posibilă descrierea mișcării și este definită ca: [4]
În notație relativistă, exploatarea intervalului spațiu-timp (scalar) {\ displaystyle ds = {\ sqrt {x_ {i} x ^ {i}}}} , unde este {\ displaystyle x ^ {i}} este poziția, acțiunea {\ displaystyle {\ mathcal {S}}} Este definit ca integral al Lagrangianului în timp, între instanțele inițiale și finale ale evoluției sistemului: [5]
{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} dt = \ int _ {a} ^ {b} \ left (- mcds- {e \ over c} A_ {i} dx ^ {i} \ right)}
cu {\ displaystyle A_ {i}} cele patru potențiale . Principiul acțiunii minime stabilește că mișcarea unui sistem fizic între două instanțe ale spațiului de fază este astfel încât acțiunea este staționară în corespondență cu traiectoria mișcării pentru perturbații mici ale aceluiași ( {\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = 0} ), Adică: [6]
{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = \ delta \ int \ left (-mc \, ds- {e \ over c} A_ {i} dx ^ {i} \ right) = - \ int _ { a} ^ {b} \ left (mc \, {\ frac {dx_ {i} d \ delta x ^ {i}} {ds}} + {e \ over c} A_ {i} d \ delta x ^ { i} + {e \ over c} \ delta A_ {i} dx ^ {i} \ right) = 0}
Dacă te integrezi prin piese obții:
{\ displaystyle \ int \ left (mc \, du_ {i} \ delta x ^ {i} + {e \ over c} \ delta x ^ {i} dA_ {i} + {e \ over c} \ delta A_ {i} dx ^ {i} \ right) - \ left (mcu_ {i} + {e \ over c} A_ {i} \ right) \ delta x ^ {i} | = 0}
cu {\ displaystyle u_ {i} = {dx_ {i} \ over ds}} cu patru viteze . Deoarece al doilea termen este nul și că:
Electromagnetismul clasic și ecuațiile lui Maxwell pot fi derivate dintr-un principiu de acțiune staționară pornind de la acțiune:
{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int \ left (- {\ tfrac {1} {4 \ mu _ {0}}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} \ dreapta) \ mathrm {d} ^ {4} x}
unde este {\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {4} x \;} este setat în spațiu-timp. Aceasta înseamnă că densitatea Lagrangianului este:
{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {L}} & = - {\ tfrac {1} {4 \ mu _ {0}}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu } \\ & = - {\ tfrac {1} {4 \ mu _ {0}}} \ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ right) \ left (\ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right) \\ & = - {\ tfrac {1} { 4 \ mu _ {0}}} \ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} + \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right) \ end {align}}}
Primul și al patrulea termen sunt aceiași, deoarece {\ displaystyle \ mu} Și {\ displaystyle \ nu} sunt indici muti. Restul sunt, de asemenea, aceleași și, prin urmare, Lagrangianul este:
{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ tfrac {1} {2 \ mu _ {0}}} \ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} \ partial ^ {\ mu } A ^ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} \ right)}
unde al doilea termen este zero, deoarece Lagrangianul nu conține în mod explicit câmpurile, ci doar derivatele lor. Atunci ecuația Euler-Lagrange ia forma:
Când trecem de la descrierea câmpului în termeni de coordonate cu privire la un sistem inerțial {\ displaystyle K} la aceeași descriere cu privire la un alt sistem inerțial {\ displaystyle K '} Schimbările magnetice tensoriale conform legii:
{\ displaystyle F '^ {\ alpha \ beta} = {\ frac {\ partial x' ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {\ gamma}}} {\ frac {\ partial x '^ {\ beta }} {\ partial x ^ {\ delta}}} F ^ {\ gamma \ delta}}
Spus {\ displaystyle A}matricea de transformare a transformării Lorentz relevante, are în mod echivalent:
Expresiile spațiale ale câmpurilor obținute pentru o traducere a {\ displaystyle K '} în comparație cu {\ displaystyle K} de-a lungul axei absciselor cu viteza {\ displaystyle c \ beta} Sunt:
Aceste expresii arată cum câmpul magnetic și câmpul electric sunt două manifestări ale aceluiași câmp, câmpul electromagnetic. În funcție de sistemul de referință, același câmp este observat diferit și este posibil să se găsească două sisteme astfel încât într-unul dintre ele câmpul să fie pur magnetic sau pur electric, în timp ce în celălalt sunt observate ambele. Cu toate acestea, nu există două sisteme în care câmpul electromagnetic este simultan electrostatic și respectiv magnetostatic.