Tensor de energie a impulsurilor

Componentele tensorului energetic al impulsului.

Tensorul energie-impuls , numit și tensorul energie-impuls , este un tensor definit în contextul teoriei relativității . Descrie fluxul de energie și impuls asociat cu un câmp .

Definiție

Tensorul energetic de impuls este tensorul $T^{ik}$ ${\ displaystyle T ^ {ik}}$ $T ^ {ik}$ de ordinul doi care asigură fluxul componentei $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea a impulsului printr-o suprafață $S_{k}$ ${\ displaystyle S_ {k}}$ $S_k$ cu coordonate $x_{k}$ ${\ displaystyle x_ {k}}$ $x_k$ constant. În relativitatea generală , impulsul este de patru impulsuri $P^{i}$ ${\ displaystyle P ^ {i}}$ $P ^ i$ și, prin urmare: ^[1]

P^{i}=\alpha \int T^{ik}dS_{k}

{\ displaystyle P ^ {i} = \ alpha \ int T ^ {ik} dS_ {k}}

P ^ i = \ alpha \ int T ^ {ik} dS_k

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este un termen constant. Prin efectuarea integralei pe hiperplan $x^{0}={\text{costante}}$ ${\ displaystyle x ^ {0} = {\ text {constant}}}$ ${\ displaystyle x ^ {0} = {\ text {constant}}}$ avem impulsul în trei dimensiuni:

P^{i}=\alpha \int T^{i0}dV

{\ displaystyle P ^ {i} = \ alpha \ int T ^ {i0} dV}

{\ displaystyle P ^ {i} = \ alpha \ int T ^ {i0} dV}

cu $d V.$ ${\ displaystyle dV}$ $dV$ elementul spațiului tridimensional e $d V. d t$ ${\ displaystyle dVdt}$ $dVdt$ volumul conținut în $dS_{k}$ ${\ displaystyle dS_ {k}}$ $dS_k$ .

Componentele spațiale ale tensorului sunt, prin urmare, componentele tridimensionale ale impulsului clasic, în timp ce componenta temporală este energia împărțită la viteza luminii : reprezintă vectorul total energie-moment al regiunii spațiului în care este integrată extins.

Tensorul este folosit pentru a exprima conservarea impulsului de patru, oferit de ecuația de continuitate :

{\frac {\partial T_{i}^{k}}{\partial x^{k}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T_ {i} ^ {k}} {\ partial x ^ {k}}} = 0}

\ frac {\ partial T_i ^ k} {\ partial x ^ k} = 0

De fapt, corespunde curentului Noether asociat cu traducerile în spațiu-timp și, în relativitate generală, această cantitate acționează ca sursă a curburii spațiului-timp. În spațiu-timp curbat, integrala spațială depinde de porțiunea de spațiu în general și acest lucru înseamnă că nu există nicio modalitate de a defini un vector global de energie-impuls într-un spațiu-timp curbat general.

Tensorul este, de asemenea, simetric: ^[2]

T^{ik}=T^{ki}

{\ displaystyle T ^ {ik} = T ^ {ki}}

T ^ {ik} = T ^ {ki}

iar componenta timpului este densitatea de masă relativistă $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , adică densitatea energiei împărțită la viteza luminii la pătrat:

T^{00}=\rho

{\ displaystyle T ^ {00} = \ rho}

T ^ {00} = \ rho

Fluxul de masă relativistă pe suprafață $x^{i}$ ${\ displaystyle x ^ {i}}$ $x ^ i$ este echivalent cu densitatea componentei a i-a a impulsului: ^[2]

T^{0i}=T^{i0}

{\ displaystyle T ^ {0i} = T ^ {i0}}

T ^ {0i} = T ^ {i0}

Componentele spațiale ale $T^{ik}$ ${\ displaystyle T ^ {ik}}$ $T ^ {ik}$ prin urmare, ele reprezintă fluxul impulsului i prin suprafață $x^{k}$ ${\ displaystyle x ^ {k}}$ $x ^ k$ . În special, $T^{ii}$ ${\ displaystyle T ^ {ii}}$ $T ^ {ii}$ reprezintă componenta normală a tensiunii interne , numită presiune atunci când este independentă de direcție, în timp ce $T^{ik}$ ${\ displaystyle T ^ {ik}}$ $T ^ {ik}$ reprezintă tensiunea de forfecare .

Derivare

Același subiect în detaliu: principiul variațional al lui Hamilton și acțiunea (fizica) .

Luați în considerare un sistem în care acțiunea are forma dată de integralul în patru dimensiuni:

S=\int \lambda \left(q,{\frac {\partial q}{\partial x^{i}}},t\right)dVdt=\int \lambda d\Omega

{\ displaystyle S = \ int \ lambda \ left (q, {\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {i}}}, t \ right) dVdt = \ int \ lambda d \ Omega}

S = \ int \ lambda \ left (q, \ frac {\ partial q} {\ partial x ^ i}, t \ right) dVdt = \ int \ lambda d \ Omega

unde este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este densitatea Lagrangiană în raport cu elementul de volum $d V.$ ${\ displaystyle dV}$ $dV$ , o funcție a coordonatelor generalizate , a derivatei și a timpului acestora. Principiul variațional al lui Hamilton stabilește că mișcarea unui sistem fizic între două instanțe ale spațiului de configurare este de așa natură încât acțiunea este staționară în corespondență cu traiectoria mișcării pentru mici perturbații ale aceluiași, adică $\delta {\mathcal {S}}=0$ ${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = 0}$ $\ delta \ mathcal {S} = 0$ și, prin urmare: ^[3]

{\begin{aligned}\delta S&={\frac {1}{c}}\int \left({\frac {\partial \lambda }{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\delta {\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}\right)d\Omega \\&={\frac {1}{c}}\int \left[{\frac {\partial \lambda }{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\delta q\right)-\delta q{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\right]d\Omega \\&=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ delta S & = {\ frac {1} {c}} \ int \ left ({\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial q}} \ delta q + {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial ({\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {i}}})}} delta {\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {i} }} \ right) d \ Omega \\ & = {\ frac {1} {c}} \ int \ left [{\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial q}} \ delta q + {\ frac { \ partial} {\ partial x ^ {i}}} \ left ({\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial ({\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {i}}})}} \ delta q \ right) - \ delta q {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial ({\ frac {\ partial q} {\ parțial x ^ {i}}})}} \ right] d \ Omega \\ & = 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ delta S & = {\ frac {1} {c}} \ int \ left ({\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial q}} \ delta q + {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial ({\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {i}}})}} delta {\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {i} }} \ right) d \ Omega \\ & = {\ frac {1} {c}} \ int \ left [{\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial q}} \ delta q + {\ frac { \ partial} {\ partial x ^ {i}}} \ left ({\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial ({\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {i}}})}} \ delta q \ right) - \ delta q {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial ({\ frac {\ partial q} {\ parțial x ^ {i}}})}} \ right] d \ Omega \\ & = 0 \ end {align}}}

Dacă se aplică teorema lui Gauss și se ia în considerare integralul asupra întregului spațiu, al doilea termen dispare. Ecuația mișcării ia apoi forma ecuației Euler-Lagrange :

{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial q}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial ({\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {i}} })}} - {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial q}} = 0}

\ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} \ frac {\ partial \ lambda} {\ partial (\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ i})} - \ frac {\ partial \ lambda} {\ partial q} = 0

unde indicele repetat implică suma, conform notației lui Einstein . Înlocuind această expresie în interiorul:

{\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial \lambda }{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial x ^ {i}}} = {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial q}} {\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {i}}} + {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial ({\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {k}}})}} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} \ left ({\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {k}}} \ right)}

\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial x ^ i} = \ frac {\ partial \ lambda} {\ partial q} \ frac {\ partial q} {\ partial x ^ i} + \ frac {\ partial \ lambda} {\ partial (\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ k})} \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} \ left (\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ k} \ dreapta)

primesti:

{\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}\right){\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial x ^ {i}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {k}}} \ left ({\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial ({\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {k}}}}} \ right) {\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {i}}} + { \ frac {\ partial \ lambda} {\ partial ({\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {k}}})}} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {k}}} \ left ({\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {i}}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {k}}} \ left ({\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial ({\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {k}}}}} \ right) }

\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial x ^ i} = \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ left (\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial (\ frac {\ partial q } {\ partial x ^ k})} \ right) \ frac {\ partial q} {\ partial x ^ i} + \ frac {\ partial \ lambda} {\ partial (\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ k})} \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ left (\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ i} \ right) = \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ left (\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ i} \ frac {\ partial \ lambda} {\ partial (\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ k})} \ right )

De cand ${\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}=\delta _{i}^{k}{\frac {\partial \lambda }{\partial x^{k}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial x ^ {i}}} = \ delta _ {i} ^ {k} {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial x ^ {k} }}}$ $\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial x ^ i} = \ delta_i ^ k \ frac {\ partial \ lambda} {\ partial x ^ k}$ , tensorul energetic al impulsului este definit ca:

T_{i}^{k}={\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}-\delta _{i}^{k}\lambda

{\ displaystyle T_ {i} ^ {k} = {\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial ({\ frac {\ partial q } {\ partial x ^ {k}}})}} - \ delta _ {i} ^ {k} \ lambda}

T_i ^ k = \ frac {\ partial q} {\ partial x ^ i} \ frac {\ partial \ lambda} {\ partial (\ frac {\ partial q} {\ partial x ^ k})} - \ delta_i ^ k \ lambda

astfel încât expresia să ia forma:

{\frac {\partial T_{i}^{k}}{\partial x^{k}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T_ {i} ^ {k}} {\ partial x ^ {k}}} = 0}

\ frac {\ partial T_i ^ k} {\ partial x ^ k} = 0

Teorema divergenței permite transformarea integralei volumetrice a acestei derivate într-un flux prin hipersuprafață care delimitează volumul: ^[4]

\int {\frac {\partial T_{i}^{k}}{\partial x^{k}}}d\Omega =\alpha \int T^{ik}dS_{k}=P^{i}

{\ displaystyle \ int {\ frac {\ partial T_ {i} ^ {k}} {\ partial x ^ {k}}} d \ Omega = \ alpha \ int T ^ {ik} dS_ {k} = P ^ {the}}

\ int \ frac {\ partial T_i ^ k} {\ partial x ^ k} d \ Omega = \ alpha \ int T ^ {ik} dS_k = P ^ i

unde este $P^{i}$ ${\ displaystyle P ^ {i}}$ $P ^ i$ este patru impulsuri ale sistemului e $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ un termen constant care este de obicei stabilit egal cu $1/c$ ${\ displaystyle 1 / c}$ $1 / c$ : raportul precizează că $P^{i}$ ${\ displaystyle P ^ {i}}$ $P ^ i$ se păstrează.

Conservarea Energiei

Scriind în mod explicit derivatele ecuației de continuitate $\partial T_{i}^{k}/\partial x^{k}=0$ ${\ displaystyle \ partial T_ {i} ^ {k} / \ partial x ^ {k} = 0}$ $\ partial T_i ^ k / \ partial x ^ k = 0$ avem expresiile: ^[2]

{\frac {1}{c}}{\frac {\partial T^{00}}{\partial t}}+{\frac {\partial T^{0\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}=0\qquad {\frac {1}{c}}{\frac {\partial T^{\alpha 0}}{\partial t}}+{\frac {\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}=0

{\ displaystyle {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial T ^ {00}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial T ^ {0 \ alpha}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = 0 \ qquad {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial T ^ {\ alpha 0}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial T ^ {\ alpha \ beta}} {\ partial x ^ {\ beta}}} = 0}

\ frac {1} {c} \ frac {\ partial T ^ {00}} {\ partial t} + \ frac {\ partial T ^ {0 \ alpha}} {\ partial x ^ \ alpha} = 0 \ qquad \ frac {1} {c} \ frac {\ partial T ^ {\ alpha 0}} {\ partial t} + \ frac {\ partial T ^ {\ alpha \ beta}} {\ partial x ^ \ beta} = 0

Prin integrarea ecuației din stânga pe volum $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și folosind teorema divergenței obținem: ^[5]

{\frac {\partial }{\partial t}}\int T^{00}dV=-c\int {\frac {\partial T^{0\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}dV=-c\int T^{0\alpha }df_{\alpha }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int T ^ {00} dV = -c \ int {\ frac {\ partial T ^ {0 \ alpha}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} dV = -c \ int T ^ {0 \ alpha} df _ {\ alpha}}

\ frac {\ partial} {\ partial t} \ int T ^ {00} dV = -c \ int \ frac {\ partial T ^ {0 \ alpha}} {\ partial x ^ \ alpha} dV = -c \ int T ^ {0 \ alpha} df_ \ alpha

Primul termen este variația energiei conținute în volum $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , al treilea reprezintă deci cantitatea de energie care scapă de la suprafața care delimitează volumul, cuantificată ca integrală pe întreaga suprafață a fluxului infinitesimal prin elementul de suprafață $d\mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})$ ${\ displaystyle d \ mathbf {f} = (f_ {x}, f_ {y}, f_ {z})}$ $d \ mathbf f = (f_x, f_y, f_z)$ . În electrodinamică , densitatea fluxului de energie asociat câmpului electromagnetic este dată de vectorul Poynting .

Prin aplicarea aceluiași procedeu componentelor spațiale ale tensorului, se obține ecuația analogică de continuitate pentru impuls: din acest motiv componentele spațiale ale tensorului energie-impuls constituie tensorul tensiunii .

Tensorul energiei pulsului câmpului electromagnetic

Același subiect în detaliu: Tensor de solicitare electromagnetică .

Tensorul de energie de impuls asociat cu câmpul electromagnetic într-un univers punct fără încărcare, numit tensorul de tensiune electromagnetică, este definit în sistemul internațional de unități și în spațiul-timp plat Minkowski (adică în aproximarea câmpului (electromagnetic și de altă natură) de intensitate scăzută) precum: ^[6]

T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]

{\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} [F ^ {\ mu \ alpha} F ^ {\ nu} {} _ {\ alpha} - {\ frac {1} {4}} \ eta ^ {\ mu \ nu} F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta}]}

T ^ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {\ mu_0} [F ^ {\ mu \ alpha} F ^ {\ nu} {} _ {\ alpha} - \ frac {1} {4} \ vârstă ^ {\ mu \ nu} F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta}]

unde este $F^{\mu \nu }$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu}}$ $F ^ {\ mu \ nu}$ este tensorul electromagnetic . Forma matricială explicită (tensorul simetric) este:

T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {2}} (\ varepsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2}) & S_ {x} / c & S_ {y} / c & S_ {z} / c \\ S_ {x} / c & - \ sigma _ {xx} & - \ sigma _ {xy} & - \ sigma _ {xz} \\ S_ {y} / c & - \ sigma _ {yx} & - \ sigma _ {yy} & - \ sigma _ {yz} \\ S_ {z} / c & - \ sigma _ {zx} & - \ sigma _ {zy} & - \ sigma _ {zz} \ end {bmatrix}}}

T ^ {\ mu \ nu} = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {2} (\ varepsilon_0 E ^ 2 + \ frac {1} {\ mu_0} B ^ 2) & S_x / c & S_y / c & S_z / c \\ S_x / c & - \ sigma_ {xx} & - \ sigma_ {xy} & - \ sigma_ {xz} \\ S_y / c & - \ sigma_ {yx} & - \ sigma_ {yy} & - \ sigma_ {yz} \\ S_z / c & - \ sigma_ {zx} & - \ sigma_ {zy} & - \ sigma_ {zz} \ end {bmatrix}

unde este ${\vec {S}}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}}}$ $\ vec {S}$ este vectorul Poynting , $\eta _{\mu \nu }$ ${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$ $\ age _ {\ mu \ nu}$ tensorul metric al spațiului-timp Minkowski :

\eta _{\mu \nu }\!={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} \! = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

\ age _ {\ mu \ nu} \! = \ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}

Și $\sigma _{ij}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$ $\ sigma_ {ij}$ Tensorul de stres al lui Maxwell : ^[7]

\sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left({\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}\right)\delta _{ij}

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ varepsilon _ {0} E_ {i} E_ {j} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} - { \ frac {1} {2}} \ left ({\ varepsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2}} \ right) \ delta _ {ij}}

\ sigma_ {ij} = \ varepsilon_0 E_i E_j + \ frac {1} {{\ mu _0}} B_i B_j - \ frac {1} {2} \ left ({\ varepsilon_0 E ^ 2 + \ frac {1} { {\ mu _0}} B ^ 2} \ right) \ delta _ {ij}

Rețineți că $c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}$ ${\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0} \ mu _ {0}}}}$ $c ^ 2 = \ frac {1} {\ varepsilon_0 \ mu_0}$ unde c este viteza luminii .

Tensorul energie-impuls asociat cu câmpul electromagnetic pur într-un univers punct fără încărcare în relativitatea generală intră în ecuația câmpului Einstein în care tensorul energie-impuls trebuie să conțină, de asemenea, toate influențele datorate masei și altor câmpuri prezente în univers .

Notă

^ Landau și Lifšic , p. 111 .
^ ^a ^b ^c Landau și Lifšic , p. 112 .
^ Landau și Lifšic , p. 109 .
^ Landau și Lifšic , p. 110 .
^ Landau și Lifšic , p. 113 .
^ Landau și Lifšic , p. 114 .
^ Landau și Lifšic , p. 115 .

Bibliografie

( EN ) John D. Jackson, Electrodynamics Classical , ed. A III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
Lev D. Landau și Evgenij M. Lifšic , Theoretical Physics 2 - Field Theory , Roma, Editori Riuniti Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8 .
Leonardo Ricci, „ Istoria științei: perspectiva lui Dante asupra invarianței galileene” , Nature 434, p. 717 7 aprilie 2005.
Tommaso Alberto Figliuzzi , Relativitate și cauzalitate între fizică și filozofie , Aracne Editrice , 2007.
Bertrand Russell , ABC-ul relativității , 1925.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Textul teoriei relativității a lui Einstein , la bartleby.com .
(EN) Project Beyond Einstein NASA pe universe.nasa.gov.
( EN ) Gravitația cuantică în buclă , pe qgravity.org .
( EN ) Reflections on Relativity - Un curs online complet despre relativitate.
O introducere în teoria relativității de A. Amadori - L. Lussardi ( PDF ), pe arrigoamadori.com . Adus la 29 aprilie 2010 (arhivat din original la 3 decembrie 2010) .
Teoria specială a relativității: formulare matematică, V. Moretti, Universitatea din Trento ( PDF ), pe science.unitn.it .

Portalul relativității : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de relativitate

[1] Landau și Lifšic , p. 111 .

[ReferenceA-2] Landau și Lifšic , p. 112 .

[3] Landau și Lifšic , p. 109 .

[4] Landau și Lifšic , p. 110 .

[5] Landau și Lifšic , p. 113 .

[6] Landau și Lifšic , p. 114 .

[7] Landau și Lifšic , p. 115 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]