Teorema binomului

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Triunghiul lui Tartaglia este o dispunere geometrică a coeficienților binomiali.

„Împerecherea lui Newton este la fel de frumoasă ca Venus de Milo, păcat că puțini o observă”.

( Fernando Pessoa )

În algebră , teorema binomului (sau, de asemenea , formula lui Newton, binomul și expansiunea binomială a lui Newton ) exprimă dezvoltarea puterii -th de orice binom prin intermediul formulei [1]

,

unde factorul reprezintă coeficientul binomial și se poate înlocui cu . Mai mult, acești coeficienți sunt aceiași cu cei găsiți în binecunoscutul triunghi Tartaglia . [2]

Dezvoltarea este valabilă pentru orice pereche de numere reale sau complexe , dar mai general se aplică pentru orice inel comutativ .

Ca exemplu de aplicare a formulei, raportăm cazurile legate de , și :

În cazul în care fie că este un număr real sau complex, suma finită este înlocuită cu o serie infinită . Această formulă generalizată, în cazul real pozitiv, a fost realizat de Isaac Newton (de unde și numele).

Expunere

Conform teoremei, este posibil să se dezvolte orice putere întreagă a lui într-o însumare în formă

unde este reprezintă coeficienții binomiali . Folosind notația de însumare , se poate scrie aceeași formulă:

O variantă a acestei formule binomiale poate fi obținută prin substituire la Și la , deci luând în considerare o singură variabilă . În această formă, avem:

sau, echivalent,

Prima dovadă (inductivă)

Teorema binomului poate fi dovedită prin inducție . De fapt, este posibil să se introducă un pas de bază pentru această teoremă, pentru care este trivial adevărat

și demonstrați cu pasul inductiv veridicitatea teoremei pentru orice exponent n. De fapt, expresia este considerată corectă

cu siguranță adevărat pentru , da

înmulțind suma cu da ai

deci, a fi

Si deasemenea

Utilizarea proprietății coeficientului binomial în primul pas

avem asta

fiind în sfârșit

Și

avem asta

și se obține expresia formală a dezvoltării puterii următoare a binomului

ceea ce confirmă teza.

A doua dovadă (combinatorie)

Dacă scriem ca produsul

cu factori, este evident că de câte ori apare termenul în dezvoltare este egal cu numărul de combinații care pot fi obținute prin luarea ori Și ori de factorii produsului, un număr dat exact de .

Deoarece pentru proprietatea distributivă produsul este dat de suma acestor termeni ca variație a de la catre , a fost supus tezei.

Caz de exponent general

Definiția dată a binomului lui Newton este valabilă numai pentru numar natural. Cu toate acestea, este posibil să se ofere o generalizare validă pentru , precum și o aproximare într-un vecinătate dreaptă de 0 cu o serie Taylor .

În practică, sunt adesea folosiți doar primii doi termeni ai seriei, și anume unde restul indică un infinitesimal de ordin superior decât primul.

Dezvoltarea completă este

,

unde este este coeficientul binom generalizat, dat de

.

Demonstrație

Dezvoltarea în jurul originii funcției Și

și, din moment ce

primesti

care este formula de mai sus. Trunchierea seriei al -al doilea termen, eroarea obținută este un infinitesimal de ordine .

Notă

  1. ^ (EN) The Story of the Binomial Theorem de JL Coolidge , de la jstor.org, The American Mathematical Monthly, 1949, 147-157.
  2. ^ Coeficienții binomiali și binomul lui Newton ( PDF ), pe lsgobetti.it . Adus la 22 noiembrie 2014 (arhivat din original la 3 septembrie 2013) .

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității GND (DE) 4703915-2 · NDL (EN, JA) 00.568.502
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică