Teorema valorii intermediare

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
În [a, b], funcția își asumă orice valoare aleasă între f (a) și f (b)

În analiza matematică , teorema valorii intermediare (sau teorema tuturor valorilor) se aplică funcțiilor reale continue și se asigură că imaginea unui interval conține toate valorile dintre imaginile extreme ale intervalului.

Afirmație

Este o funcție continuă . Este (sau vice versa ). Apoi funcția își asumă toate valorile dintre Și , adică pentru fiecare astfel încât (sau respectiv ), există un punct în astfel încât . [1] În mod echivalent: fie el o funcție continuă , dacă , asa de este surjectiv pe (sau . Această teoremă este fundamentală pentru demonstrarea celei a mediei integrale .

Demonstrație

Fără pierderea generalității (WLOG) presupunem că și o considerăm o valoare astfel încât .

Introducem funcția , continuați în . Se pare ca Și .

Apoi putem aplica teorema zero funcției , pentru care există astfel încât , adică astfel încât .

Destul de analog este cazul în care .

Corolar

Este continuă pe interval . Apoi întreaga imagine este un interval (funcțiile continue transformă intervalele în intervale).

Demonstrație

Sa spunem Și ( și / sau poate fi infinit). Fie c un număr real astfel încât . Prin definiția limitei inferioare , există o astfel încât .

În mod similar, existența unui astfel încât . Prin teorema valorii intermediare, aplicată la intervalul extremelor Și , atunci există un punct în acest interval (și deci în ) astfel încât . Concluzionăm că . Dar pe lângă , poate conține doar extreme Și , dacă acestea sunt terminate. In orice caz este un interval.

Necesitatea ipotezelor

Așa cum se va vedea în contraexemple, acestea sunt cele mai largi ipoteze posibile pentru care se menționează afirmația. Teorema nu se menține dacă chiar una dintre ipoteze eșuează.

  • nu continuă: ia în considerare astfel încât pentru Și în caz contrar, nu este continuu în . Teorema nu este valabilă, de fapt nu presupune nicio valoare intermediară între Și .
  • setul de definiții nu este un interval: ia în considerare astfel încât de sine Și in caz contrar. Funcția este continuă în domeniul său, dar nu este definită într-un interval. Teorema nu este valabilă, de fapt nu are nicio valoare între și . Cu toate acestea, la intervale unice teorema este aplicabilă.

Observații

  • Teorema nu poate fi inversată. Există, de fapt, funcții care respectă proprietatea valorilor intermediare, dar nu sunt continue. Un exemplu foarte simplu este oferit de funcția definită ca pentru real non-zero și cum în origine: această funcție satisface teza teoremei dar este discontinuă în origine. Un alt exemplu de funcție discontinuă în fiecare punct care, totuși, respectă teza teoremei, este funcția Conway bază-13 .
  • Cu aceleași ipoteze de continuitate și definiție într-un interval, teorema poate fi consolidată: funcția își asumă toate valorile dintre maxim și minim în interval (care există prin teorema Weierstrass ). Dovada este analogă, înlocuind valorile de la extremele intervalului cu maximul și minimul funcției.
  • Teorema poate fi generalizată și pentru spațiile topologice . De sine este o funcție continuă între spațiile topologice Și din care primul este un spațiu conectat , atunci este un spațiu conectat. În cazul în care apoi imaginea de va fi un interval.

Notă

  1. ^ PM Soardi , p. 184 .

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică