Teorema de eșantionare Nyquist-Shannon
În electronică și telecomunicații , teorema de eșantionare Nyquist-Shannon sau pur și simplu teorema de eșantionare , numită după Harry Nyquist și Claude Shannon , este un rezultat al unei relevanțe considerabile în domeniul teoriei semnalului .
Definește frecvența minimă, numită frecvența Nyquist (sau cadența Nyquist ), necesară pentru a testa un semnal analogic fără a pierde informații și, prin urmare, pentru a putea reconstrui semnalul analogic original în timp continuu. În special, teorema afirmă că, dată fiind o funcție a cărei transformată Fourier este zero în afara unui anumit interval de frecvență (adică un semnal de lățime de bandă limitată ), în conversia sa analog-digitală , frecvența minimă de eșantionare necesară pentru a evita aliasarea și pierderea informațiilor în reconstrucția semnalului analogic original (adică în reconversia digital-analogică) trebuie să fie mai mare decât dublul frecvenței sale maxime.
Teorema, care a apărut pentru prima dată în 1949 într-un articol al CE Shannon, ar trebui numită Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon (WNKS), conform ordinii cronologice a celor care au dovedit versiuni din ce în ce mai generalizate.
Teorema
Eșantionarea este primul pas în procesul de conversie analog-digital al unui semnal. Acesta constă în prelevarea de probe dintr-un semnal analogic și continuă în timp secunde. Valoarea se numește interval de eșantionare , în timp ce este rata de eșantionare . Rezultatul este un semnal analogic în timp discret, care este apoi cuantificat , codificat și făcut accesibil oricărui procesor digital.
Teorema Nyquist-Shannon (sau teorema de eșantionare a semnalului) stabilește că, dat un semnal analogic a cărei bandă de frecvență este limitată de frecvență , Este dat , semnalul poate fi reconstituit în mod unic din probele sale luată la frecvență de sine folosind următoarea formulă:
exprimată în termenii funcției sinc normalizate.
Demonstrație
Ideea este că spectrul unui semnal eșantionat este egal cu spectrul semnalului original repetat periodic cu o perioadă egală cu frecvența de eșantionare . Dacă frecvența maximă a semnalului original depășește repetările din spectrul semnalului eșantionat se suprapun, făcând imposibilă reconstituirea exactă a semnalului original, care va fi distorsionat.
Este transformata Fourier a . Atâta timp cât are limită de lățime de bandă , se pare pentru . Este , apoi prin ipoteză dacă avem asta pentru fiecare . Este funcția perioadei periodice care coincide cu în interval . Dezvoltarea sa în seria Fourier este dată de:
unde este:
Atâta timp cât în putem întreba:
De cand este antitransforma Fourier a , acesta este:
din cele două relații anterioare obținem:
Definire:
asa de:
și, de asemenea, anti-transformare:
adică:
care poate fi exprimat și în funcție de funcția sinc normalizată după cum urmează:
Aceste ecuații arată că și, prin urmare, și antitransformarea sa , poate fi reconstruit pe baza cunoașterii , așa cum au vrut să demonstreze.
Formula de însumare Poisson
Este transformata Fourier a unei funcții cu bandă limitată , adică:
cu pentru . Formula sumei Poisson arată că probele din sunt suficiente pentru a crea o adăugare periodică de :
care este o funcție periodică echivalentă cu seria Fourier , unde sunt coeficienții . Aceasta este transformata Fourier în timp discret (DTFT) a secvenței pentru întreg.
Suma este alcătuit din copii ale mutat de un factor . Dacă aceste copii nu se suprapun (la capetele lor pe axa abscisei) atunci termenul poate fi obținut prin produs:
unde este:
Asa de, definește în mod unic .
A reconstrui , am notat asta nu trebuie definit în întrucât în cadrul acestui interval Nu-i nimic.
Cu toate acestea, cel mai rău caz apare atunci când (frecvența Nyquist). O funcție care se pretează la aceasta este:
unde este este funcția dreptunghi . Avem:
Transformarea inversă a ambelor părți produce formula de interpolare Whittaker-Shannon :
Aliasing în conversie analog-digital
Fiecare aparat de conversie analog-digital are un filtru anti-alias în amonte de eșantion, al cărui rol este de a elimina din semnalul de intrare componentele de frecvență mai mari de jumătate din frecvența de eșantionare a aparatului. . Cu toate acestea, deoarece acest filtru este analog, nu este posibil să tăiați frecvențele nedorite pornind exact de la frecvența maximă a semnalului, deoarece un filtru cu un număr foarte mare de poli (fiecare capabil să scadă panta liniei de tăiere cu -20 dB / deceniu).
Având în vedere imposibilitatea de a face filtre de ordine mai mari de 11-12, se preferă de obicei utilizarea unui filtru anti-aliasing mai puțin precis cu o frecvență de tăiere mai mare decât cea impusă de teorema Nyquist. Acest lucru duce la supra-eșantionare de un factor , care mută diferitele replici ale semnalului unul de altul în domeniul frecvenței. Pentru a reconstrui semnalul digital, se folosește apoi un filtru digital low- pass urmat de un bloc decimator cu sarcina de a elimina probele redundante. Cu această soluție hibridă, se obține un filtru analog-digital cu o pantă foarte mare și un cost limitat, în detrimentul unei viteze mai mari necesare pentru convertor.
Dacă aveți un dispozitiv de conversie A / D care funcționează la o frecvență dată și sunteți interesat de componentele unui semnal pe care le depășesc există căi diferite: utilizați un instrument mai rapid sau utilizați tehnici de subeșantionare. A doua opțiune este realizabilă atunci când frecvențele de interes sunt încadrate într-un interval precum:
și acest lucru este posibil chiar dacă este acea depăși . În acest caz, însă, limita impusă de teorema eșantionării nu mai este suficientă pentru a garanta eșantionarea corectă.
Bibliografie
- Alessandro Falaschi, cap. 4 , în Elemente de transmisie a semnalului și sisteme de telecomunicații , Roma, Sapienza - Universitatea din Roma , octombrie 2009.
- (EN) JR Higgins: Cinci nuvele despre seria cardinală, Buletinul AMS 12 (1985)
- ( EN ) VA Kotelnikov, „Despre capacitatea de încărcare a eterului și firului în telecomunicații”, Material pentru Prima Conferință a Uniunii Europene pe probleme de comunicare, Izd. Roșu. Upr. Svyazi RKKA, Moscova, 1933 (rusă). (traducere în engleză, PDF)
- ( EN ) Karl Küpfmüller, "Utjämningsförlopp inom Telegraf- och Telefontekniken", ("Tranzitori în ingineria telegrafică și telefonică"), Teknisk Tidskrift, nr. 9 pp. 153-160 și 10 pp. 178-182, 1931. [1] [2]
- ( EN ) RJ Marks II: Introduction to Shannon Sampling and Interpolation Theory , Spinger-Verlag, 1991.
- ( EN ) RJ Marks II, Editor: Advanced Topics in Shannon Sampling and Interpolation Theory , Springer-Verlag, 1993.
- ( EN ) RJ Marks II, Handbook of Fourier Analysis and its Applications, Oxford University Press, (2009), capitolele 5-8. Cărți Google .
- ( EN ) H. Nyquist, „Anumite subiecte în teoria transmiterii telegrafice”, Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617–644, aprilie 1928 Reimprimare ca hârtie clasică în: Proc. IEEE , Vol. 90, nr. 2, februarie 2002 .
Elemente conexe
- Alianta
- Eșantionare (teoria semnalului)
- Dithering
- Formula de interpolare Whittaker-Shannon
- Formula de însumare Poisson
- Cuantizare (electronică)
- Transformată Fourier
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere ale teoremei de eșantionare Nyquist-Shannon
linkuri externe
- ( EN ) Learning by Simulations Simulare interactivă a efectelor eșantionării inadecvate
- ( EN ) Sub-eșantionarea și o aplicare a acestuia , pe spaziooscuola.altervista.org .
- ( EN ) Teoria eșantionării pentru audio digital ( PDF ), pe lavryengineering.com (arhivat din original la 14 iunie 2006) .
- ( EN ) Jurnal dedicat teoriei eșantionării , pe stsip.org .
- ( EN ) Teorema de eșantionare cu impuls de lățime variabilă de amplitudine constantă , la ieeexplore.ieee.org .