Teorema de eșantionare Nyquist-Shannon

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Semnal analog
Semnal analogic eșantionat

În electronică și telecomunicații , teorema de eșantionare Nyquist-Shannon sau pur și simplu teorema de eșantionare , numită după Harry Nyquist și Claude Shannon , este un rezultat al unei relevanțe considerabile în domeniul teoriei semnalului .

Definește frecvența minimă, numită frecvența Nyquist (sau cadența Nyquist ), necesară pentru a testa un semnal analogic fără a pierde informații și, prin urmare, pentru a putea reconstrui semnalul analogic original în timp continuu. În special, teorema afirmă că, dată fiind o funcție a cărei transformată Fourier este zero în afara unui anumit interval de frecvență (adică un semnal de lățime de bandă limitată ), în conversia sa analog-digitală , frecvența minimă de eșantionare necesară pentru a evita aliasarea și pierderea informațiilor în reconstrucția semnalului analogic original (adică în reconversia digital-analogică) trebuie să fie mai mare decât dublul frecvenței sale maxime.

Teorema, care a apărut pentru prima dată în 1949 într-un articol al CE Shannon, ar trebui numită Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon (WNKS), conform ordinii cronologice a celor care au dovedit versiuni din ce în ce mai generalizate.

Teorema

Eșantionarea este primul pas în procesul de conversie analog-digital al unui semnal. Acesta constă în prelevarea de probe dintr-un semnal analogic și continuă în timp secunde. Valoarea se numește interval de eșantionare , în timp ce este rata de eșantionare . Rezultatul este un semnal analogic în timp discret, care este apoi cuantificat , codificat și făcut accesibil oricărui procesor digital.

Teorema Nyquist-Shannon (sau teorema de eșantionare a semnalului) stabilește că, dat un semnal analogic a cărei bandă de frecvență este limitată de frecvență , Este dat , semnalul poate fi reconstituit în mod unic din probele sale luată la frecvență de sine folosind următoarea formulă:

exprimată în termenii funcției sinc normalizate.

Demonstrație

Functia
Functia este transformata Fourier a semnalului eșantionat . După cum puteți vedea, este periodic pentru perioada respectivă și coincide cu în .
De sine are componente de frecvență mai mari decât apoi repetările periodice ale se suprapun și semnalul reconstituit este distorsionat.

Ideea este că spectrul unui semnal eșantionat este egal cu spectrul semnalului original repetat periodic cu o perioadă egală cu frecvența de eșantionare . Dacă frecvența maximă a semnalului original depășește repetările din spectrul semnalului eșantionat se suprapun, făcând imposibilă reconstituirea exactă a semnalului original, care va fi distorsionat.

Este transformata Fourier a . Atâta timp cât are limită de lățime de bandă , se pare pentru . Este , apoi prin ipoteză dacă avem asta pentru fiecare . Este funcția perioadei periodice care coincide cu în interval . Dezvoltarea sa în seria Fourier este dată de:

unde este:

Atâta timp cât în putem întreba:

De cand este antitransforma Fourier a , acesta este:

din cele două relații anterioare obținem:

Definire:

asa de:

și, de asemenea, anti-transformare:

adică:

care poate fi exprimat și în funcție de funcția sinc normalizată după cum urmează:

Aceste ecuații arată că și, prin urmare, și antitransformarea sa , poate fi reconstruit pe baza cunoașterii , așa cum au vrut să demonstreze.

Formula de însumare Poisson

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: formula de însumare a lui Poisson .

Este transformata Fourier a unei funcții cu bandă limitată , adică:

cu pentru . Formula sumei Poisson arată că probele din sunt suficiente pentru a crea o adăugare periodică de :

care este o funcție periodică echivalentă cu seria Fourier , unde sunt coeficienții . Aceasta este transformata Fourier în timp discret (DTFT) a secvenței pentru întreg.

Suma este alcătuit din copii ale mutat de un factor . Dacă aceste copii nu se suprapun (la capetele lor pe axa abscisei) atunci termenul poate fi obținut prin produs:

unde este:

Asa de, definește în mod unic .

A reconstrui , am notat asta nu trebuie definit în întrucât în ​​cadrul acestui interval Nu-i nimic.

Cu toate acestea, cel mai rău caz apare atunci când (frecvența Nyquist). O funcție care se pretează la aceasta este:

unde este este funcția dreptunghi . Avem:

Transformarea inversă a ambelor părți produce formula de interpolare Whittaker-Shannon :

Aliasing în conversie analog-digital

Fiecare aparat de conversie analog-digital are un filtru anti-alias în amonte de eșantion, al cărui rol este de a elimina din semnalul de intrare componentele de frecvență mai mari de jumătate din frecvența de eșantionare a aparatului. . Cu toate acestea, deoarece acest filtru este analog, nu este posibil să tăiați frecvențele nedorite pornind exact de la frecvența maximă a semnalului, deoarece un filtru cu un număr foarte mare de poli (fiecare capabil să scadă panta liniei de tăiere cu -20 dB / deceniu).

Având în vedere imposibilitatea de a face filtre de ordine mai mari de 11-12, se preferă de obicei utilizarea unui filtru anti-aliasing mai puțin precis cu o frecvență de tăiere mai mare decât cea impusă de teorema Nyquist. Acest lucru duce la supra-eșantionare de un factor , care mută diferitele replici ale semnalului unul de altul în domeniul frecvenței. Pentru a reconstrui semnalul digital, se folosește apoi un filtru digital low- pass urmat de un bloc decimator cu sarcina de a elimina probele redundante. Cu această soluție hibridă, se obține un filtru analog-digital cu o pantă foarte mare și un cost limitat, în detrimentul unei viteze mai mari necesare pentru convertor.

Dacă aveți un dispozitiv de conversie A / D care funcționează la o frecvență dată și sunteți interesat de componentele unui semnal pe care le depășesc există căi diferite: utilizați un instrument mai rapid sau utilizați tehnici de subeșantionare. A doua opțiune este realizabilă atunci când frecvențele de interes sunt încadrate într-un interval precum:

și acest lucru este posibil chiar dacă este acea depăși . În acest caz, însă, limita impusă de teorema eșantionării nu mai este suficientă pentru a garanta eșantionarea corectă.

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe