Teorema cosinusului

În geometrie , teorema cosinusului exprimă relația dintre lungimea laturilor unui triunghi și cosinusul unuia dintre unghiurile sale. Poate fi considerată o generalizare a teoremei lui Pitagora în cazul triunghiurilor non-drepte. Această teoremă , demonstrată deja de persanul Al-Kashi , este cunoscută și în special în Franța, ca teorema lui Al-Kashi sau, mai ales în Italia, ca teorema lui Carnot , de la numele matematicianului francez Lazare Carnot , deși în realitate teorema a fost popularizată de francezul François Viète .

Teorema

Triunghi cu vârfuri, înălțime și un unghi.png

Cu referire la figura laterală, se dorește găsirea lungimii unei laturi a oricărui triunghi, deoarece sunt cunoscute lungimile celorlalte două laturi și amplitudinea unghiului dintre ele. Avem:

{\overline {AB}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2\cdot {\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\cos \gamma .

{\ displaystyle {\ overline {AB}} ^ {2} = {\ overline {AC}} ^ {2} + {\ overline {BC}} ^ {2} -2 \ cdot {\ overline {AC}} \ cdot {\ overline {BC}} \ cos \ gamma.}

\ overline {AB} ^ {2} = \ overline {AC} ^ {2} + \ overline {BC} ^ {2} -2 \ cdot \ overline {AC} \ cdot \ overline {BC} \ cos \ gamma.

Dovadă cu teorema lui Pitagora

Aplicând teorema lui Pitagora triunghiului dreptunghiular AHB , avem:

{\overline {AB}}^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2},

{\ displaystyle {\ overline {AB}} ^ {2} = {\ overline {AH}} ^ {2} + {\ overline {BH}} ^ {2},}

\ overline {AB} ^ {2} = \ overline {AH} ^ {2} + \ overline {BH} ^ {2},

unde este ${\overline {AB}}$ ${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ $\ overline {AB}$ indică lungimea segmentului $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ .

Rezolvând triunghiul dreptunghiular AHC avem și:

{\overline {AH}}={\overline {AC}}\sin \gamma .

{\ displaystyle {\ overline {AH}} = {\ overline {AC}} \ sin \ gamma.}

\ overline {AH} = \ overline {AC} \ sin \ gamma.

Se aplică, de asemenea

{\overline {BH}}={\overline {BC}}-{\overline {HC}}={\overline {BC}}-{\overline {AC}}\cos \gamma .

{\ displaystyle {\ overline {BH}} = {\ overline {BC}} - {\ overline {HC}} = {\ overline {BC}} - {\ overline {AC}} \ cos \ gamma.}

\ overline {BH} = \ overline {BC} - \ overline {HC} = \ overline {BC} - \ overline {AC} \ cos \ gamma.

Înlocuind în prima egalitate obținem:

{\overline {AB}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\sin ^{2}\gamma +{\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}\cos ^{2}\gamma -2{\overline {BC}}\cdot {\overline {AC}}\cos \gamma

{\ displaystyle {\ overline {AB}} ^ {2} = {\ overline {AC}} ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma + {\ overline {BC}} ^ {2} + {\ overline {AC}} ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma -2 {\ overline {BC}} \ cdot {\ overline {AC}} \ cos \ gamma}

\ overline {AB} ^ {2} = \ overline {AC} ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma + \ overline {BC} ^ {2} + \ overline {AC} ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma -2 \ overline {BC} \ cdot \ overline {AC} \ cos \ gamma

.

Pentru relația fundamentală sin²γ + cos²γ = 1, această ecuație poate fi simplificată în:

{\overline {AB}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2{\overline {BC}}\cdot {\overline {AC}}\cos \gamma .

{\ displaystyle {\ overline {AB}} ^ {2} = {\ overline {AC}} ^ {2} + {\ overline {BC}} ^ {2} -2 {\ overline {BC}} \ cdot { \ overline {AC}} \ cos \ gamma.}

{\ displaystyle {\ overline {AB}} ^ {2} = {\ overline {AC}} ^ {2} + {\ overline {BC}} ^ {2} -2 {\ overline {BC}} \ cdot { \ overline {AC}} \ cos \ gamma.}

În cazul unui triunghi dreptunghiular , adică cu γ = 90 °, al patrulea termen este nul și cădem în teorema lui Pitagora , în timp ce dacă triunghiul este obtuz (γ> 90 °), dovada continuă în același mod, cu principala diferență care în acest caz:

{\overline {HC}}={\overline {AC}}\cos(\pi -\gamma )=-{\overline {AC}}\cos \gamma

{\ displaystyle {\ overline {HC}} = {\ overline {AC}} \ cos (\ pi - \ gamma) = - {\ overline {AC}} \ cos \ gamma}

{\ displaystyle {\ overline {HC}} = {\ overline {AC}} \ cos (\ pi - \ gamma) = - {\ overline {AC}} \ cos \ gamma}

și apoi se găsește din nou

{\overline {BH}}={\overline {BC}}+{\overline {HC}}={\overline {BC}}-{\overline {AC}}\cos \gamma .

{\ displaystyle {\ overline {BH}} = {\ overline {BC}} + {\ overline {HC}} = {\ overline {BC}} - {\ overline {AC}} \ cos \ gamma.}

\ overline {BH} = \ overline {BC} + \ overline {HC} = \ overline {BC} - \ overline {AC} \ cos \ gamma.

Dovadă cu vectori

Luați în considerare vectorii:

{\vec {a}}={\vec {AC}};

{\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {AC}};}

\ vec a = \ vec {AC};

{\vec {b}}={\vec {BC}};

{\ displaystyle {\ vec {b}} = {\ vec {BC}};}

\ vec b = \ vec {BC};

{\vec {c}}={\vec {AB}}.

{\ displaystyle {\ vec {c}} = {\ vec {AB}}.}

{\ vec c} = {\ vec {AB}}.

Prin urmare, se poate scrie că:

{\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}.

{\ displaystyle {\ vec {c}} = {\ vec {a}} - {\ vec {b}}.}

\ vec c = \ vec a- \ vec b.

Calculând modulul pătrat al ambelor părți, obținem:

|{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}-{\vec {b}}|^{2}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})

{\ displaystyle | {\ vec {c}} | ^ {2} = | {\ vec {a}} - {\ vec {b}} | ^ {2} = ({\ vec {a}} - {\ vec {b}}) \ cdot ({\ vec {a}} - {\ vec {b}})}

{\ displaystyle | {\ vec {c}} | ^ {2} = | {\ vec {a}} - {\ vec {b}} | ^ {2} = ({\ vec {a}} - {\ vec {b}}) \ cdot ({\ vec {a}} - {\ vec {b}})}

|{\vec {c}}|^{\,2}=|{\vec {a}}|^{\,2}+|{\vec {b}}|^{\,2}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}

{\ displaystyle | {\ vec {c}} | ^ {\, 2} = | {\ vec {a}} | ^ {\, 2} + | {\ vec {b}} | ^ {\, 2} -2 {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}}

{\ displaystyle | {\ vec {c}} | ^ {\, 2} = | {\ vec {a}} | ^ {\, 2} + | {\ vec {b}} | ^ {\, 2} -2 {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}}

,

unde este ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}}$ este produsul punct al ${\vec {a}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ $\ vec a$ Și ${\vec {b}}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$ . În cele din urmă, folosind faptul că ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos(\gamma )$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = | {\ vec {a}} || {\ vec {b}} | \ cos (\ gamma)}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = | {\ vec {a}} || {\ vec {b}} | \ cos (\ gamma)}$ este obținut

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \mathrm {cos} (\gamma )

{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cdot \ mathrm {cos} (\ gamma)}

c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cdot \ mathrm {{cos}} (\ gamma)

.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre teorema cosinusului

linkuri externe

( EN ) Teorema cosinului , din Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 21832

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Trigonometrie
Funcția trigonometrică · Funcția trigonometrică inversă
Funcții	Sân · versin · cosinus · Cosenoverso · Tangent · Cotangent · Secant · Secante externe · Cosecant · Cosecant extern
Funcții inverse	Arc sinus · Arc cosinus · Arctangent · cotangent invers · Arcosecante · Arcocosecante
Teoreme și formule	Rope Teorema · sani Teorema · cosinus teorema · drept de tangentele · cotangents Teorema · Pitagora · Formulele Prosthaphaeresis · Formulele Werner
Alte	Tabel trigonometric · tabel de integrale nedefinite ale funcțiilor trigonometrice · tabel de integrale nedefinite ale funcțiilor arc · Funcții hiperbolice · identități trigonometrice · Constante trigonometrice exacte · Istoricul funcțiilor trigonometrice