Teorema punctului fix al lui Brouwer

În matematică , teorema lui Brouwer este un rezultat în domeniul topologiei care leagă conceptul de funcție continuă cu proprietatea de a avea un punct fix . Acest rezultat își datorează numele lui Luitzen Brouwer, care și-a demonstrat formularea generală în 1910 împreună cu Jacques Hadamard .

Teorema poate fi formulată în moduri diferite în funcție de contextul în care este utilizată. În cea mai simplă versiune, se poate afirma după cum urmează:

este

D.

{\ displaystyle D}

D.

un disc închis în planul euclidian , apoi orice funcție

f:D\to D

{\ displaystyle f: D \ to D}

{\ displaystyle f: D \ to D}

continuu admite cel puțin un punct fix. ^[1]

Extinderea la carcasa mai mare se obține considerând o funcție continuă dintr-o bilă închisă în spațiul euclidian în sine. ^[2]

Se poate obține și o versiune mai generală, care rezultă din cea anterioară datorită faptului că fiecare subset mult convex și compact al unui spațiu euclidian este homeomorf până la o bilă închisă de aceeași dimensiune: ^[3] fiecare funcție continuă de la un convex și subsetul compact în sine are cel puțin un punct fix. ^[4]

O altă generalizare este teorema punctului fix al lui Schauder : un operator complet continuu , definit de un subset convex, închis și delimitat al unui spațiu Banach în sine, are cel puțin un punct fix. ^[5] Acest rezultat este apoi extins de alte teoreme, inclusiv teorema lui Kakutani și teorema lui Tihonov .

Formulare

Un punct fix al unei funcții care trimite un set în sine $f\colon X\to X$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to X}$ $f \ colon X \ to X$ este un element $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ a întregului care este trimis asupra sa prin funcție, adică astfel încât $f(a)=a$ ${\ displaystyle f (a) = a}$ ${\ displaystyle f (a) = a}$ . În cazul unidimensional teorema afirmă că o funcție continuă care trimite intervalul [0,1] în sine trebuie să aibă un punct $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ pentru care $f(a)=a$ ${\ displaystyle f (a) = a}$ ${\ displaystyle f (a) = a}$ . În acest caz, este ușor de înțeles de ce: graficul funcției este o curbă care leagă segmentul vertical $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ cu segmentul $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ , prin urmare această curbă trebuie să traverseze în mod necesar bisectoarea axelor $y=x$ ${\ displaystyle y = x}$ $y = x$ . În sens $(a,a)$ ${\ displaystyle (a, a)}$ ${\ displaystyle (a, a)}$ intersecția dintre cele două grafice trebuie obținută (prin egalarea ordinatelor) $f(a)=a$ ${\ displaystyle f (a) = a}$ ${\ displaystyle f (a) = a}$ .

În formularea generală teorema poate fi scrisă cu ipoteze mai puțin restrictive, deoarece unitatea de mingea este homeomorf oricărei alte compacte convexă și subset non-gol de spațiu euclidian și deoarece proprietatea de a poseda un punct fix este un invariant topologic : orice funcție continuă care trimite un subset de convex compact , non- gol de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ în sine are un punct fix. În special, teorema este valabilă și pentru un pătrat (sau un cub sau un hipercub ) sau un triunghi (sau un tetraedru sau un simplex ).

Un câmp vector continuu definit pe bila unitară a unui spațiu euclidian , și astfel încât pe marginea mingii să indice spre interior sau să fie tangent la margine, are un punct de singularitate în interiorul sferei.

Câmpuri vectoriale

O afirmație echivalentă a teoremei lui Brouwer este următoarea: într-un spațiu euclidian orice câmp vector continuu de pe mingea unitară astfel încât pe marginea mingii să indice spre interior sau să fie tangent la margine trebuie să aibă un punct de singularitate în interiorul sferei. De fapt la fiecare funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ câmpul vectorial poate fi asociat din mingea însăși $V(x)\equiv f(x)-x$ ${\ displaystyle V (x) \ equiv f (x) -x}$ ${\ displaystyle V (x) \ equiv f (x) -x}$ ale căror puncte critice coincid cu punctele fixe ale funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Acest câmp de pe marginea mingii nu poate indica spre exterior, altfel ai avea asta $|f(x)|>1$ ${\ displaystyle | f (x) |> 1}$ ${\ displaystyle | f (x) |> 1}$ în timp ce știi că imaginea de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se află în mingea unitară. Pe de altă parte la orice câmp vector $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ puteți lega funcția $f(x)\equiv x+V(x)$ ${\ displaystyle f (x) \ equiv x + V (x)}$ ${\ displaystyle f (x) \ equiv x + V (x)}$ ale cărei puncte fixe coincid cu punctele critice ale câmpului și cu faptul că pe margine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ punctele spre interior sau, eventual, sunt tangente la margine implică faptul că imaginea de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este cuprinsă în bila de unitate închisă. Această formulare permite vizualizarea enunțului teoremei în cazul dimensiunii $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ sau $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ .

Demonstrație

Există multe dovezi ale acestei teoreme care utilizează noțiunea de grad topologic , noțiunea de grup de omologie sau teoria graficelor , în special lema lui Sperner ; în plus, este posibil să se exploatezeteorema de aproximare Weierstrass și teorema lui Green . În cazul bidimensional, pot fi expuse și dovezi bazate pe teorema Poincaré-Bendixson sau pe teoria grupului fundamental .

Dovadă topologică

Dovada topologică se bazează pe noțiunea de grad topologic care în dimensiunea 2 poate fi urmărită înapoi la cea a indicelui de înfășurare a unei curbe și a indicelui unui punct critic al unui câmp vector. Luați în considerare formularea teoremei în termeni de câmpuri vectoriale : dat un câmp vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ definit pe discul unității astfel încât de-a lungul marginii să fie întotdeauna îndreptat spre interior, vrem să arătăm că are un punct critic în interiorul său. Raționând absurd , presupuneți că $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ nu are puncte critice în interior. Luați în considerare familia cercurilor centrată la origine și rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ variabilă între și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ parametrizat de:

\gamma _{r}(t)=(r\,\cos(t),r\,\sin(t))

{\ displaystyle \ gamma _ {r} (t) = (r \, \ cos (t), r \, \ sin (t))}

\ gamma _ {r} (t) = (r \, \ cos (t), r \, \ sin (t))

pentru $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ care variază de la până la $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ . Să luăm în considerare câmpul de-a lungul fiecăruia dintre aceste cercuri: din moment ce $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este continuu și lipsit de puncte critice pe care vectorul de imagine le completează de-a lungul circumferinței razei $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ un număr întreg de ture $I_{V}(\gamma _{r})$ ${\ displaystyle I_ {V} (\ gamma _ {r})}$ $I_ {V} (\ gamma _ {r})$ ; acest număr se numește index și nu variază dacă curba este deformată fără a traversa punctele critice ale câmpului vector. În consecință, trebuie să fie constantă pentru fiecare valoare a $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Pe de altă parte, avem:

pentru $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ curba este redusă la un singur punct și, prin urmare, indicele este zero (câmpul, prin urmare, nu face viraje),
pentru $r=1$ ${\ displaystyle r = 1}$ $r = 1$ vă aflați pe marginea discului, unde câmpul este întotdeauna îndreptat spre interior, aceasta înseamnă că câmpul trebuie să facă o cotitură.

Prin urmare, indexul nu poate rămâne constant pentru toate valorile $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ : a ajuns la un absurd și trebuie concluzionat că ipoteza că nu au existat puncte critice trebuie să fie falsă.

Dovada prin teoria graficelor

Teorema lui Brouwer poate fi dovedită prin combinarea faptelor topologice elementare cu un rezultat al teoriei graficelor cunoscut sub numele de lema lui Sperner . Având în vedere planul de simplitate (vorbirea este ușor generalizată într-un spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -versiune de levier dimensional $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensională a lemei lui Sperner), în loc să luați discul unității, luați în considerare un triunghi (interior și margine): vrem să arătăm că fiecare câmp vector continuu al triunghiului care indică marginea din interiorul triunghiului are un punct critic . Deoarece triunghiul este homeomorf pentru un disc (și pentru orice subset compact și convex al planului), urmează teorema lui Brouwer.

Luați în considerare triunghiul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ de vârfuri $(-1,0)$ ${\ displaystyle (-1,0)}$ ${\ displaystyle (-1,0)}$ , $(1,0)$ ${\ displaystyle (1,0)}$ $(1,0)$ , $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ . Se definește un grafic împărțindu-l în orice număr finit de sub- triunghiuri mai mici , astfel încât această subdiviziune să fie o triunghi . Nodurile graficului sunt vârfurile triangulației, iar arcele sunt laturile. Este posibil să se construiască triangulații astfel încât laturile tuturor sub-triunghiurilor să fie mai mici decât orice cantitate dată și să fie deseori notate cu $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ -triangulare o triangulare care are toate laturile minore ale $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ .

Fiecare câmp vector continuu de pe triunghi ( homeomorf pe un disc), care pe marginea punctelor din interiorul triunghiului, are un punct critic .

Graficului i se dă apoi o colorare care oferă informații despre câmpul vector:

la vectorii care formează un unghi în direcția orizontală $[0,\pi /2)$ ${\ displaystyle [0, \ pi / 2)}$ ${\ displaystyle [0, \ pi / 2)}$ culoarea este asociată $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ (albastru);
la vectori care formează un unghi în $[\pi /2,\pi )$ ${\ displaystyle [\ pi / 2, \ pi)}$ ${\ displaystyle [\ pi / 2, \ pi)}$ culoarea este asociată $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ (Roșu);
la vectori care formează un unghi în $[\pi ,2\pi )$ ${\ displaystyle [\ pi, 2 \ pi)}$ ${\ displaystyle [\ pi, 2 \ pi)}$ culoarea este asociată $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ (verde);
culoarea este asociată cu vectorul nul (pentru completitudine) $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Apoi colorăm fiecare nod cu culoarea asociată cu vectorul câmpului de pe nodul însuși. Din moment ce la marginea $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ punctele de câmp din interior se poate deduce că:

în partea inferioară extrema dreaptă are culoare $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , stânga are culoare $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ iar punctele intermediare au una dintre aceste două culori;
vârful superior are culoare $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ;
partea dreaptă are doar culori $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ;
partea stângă are doar culorile $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Aceste condiții implică faptul că colorarea îndeplinește ipotezele lemei lui Sperner, care asigură faptul că graficul conține cel puțin un triunghi „complet” ale cărui trei vârfuri sunt colorate cu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Acum ia în considerare $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ - triangulații de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ luând $\varepsilon =1/k$ ${\ displaystyle \ varepsilon = 1 / k}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = 1 / k}$ pentru fiecare $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ natural. Pentru fiecare dintre ele va exista un triunghi complet care, datorită proprietății de triangulare, va avea toate laturile mai mici decât $1/k$ ${\ displaystyle 1 / k}$ $1 / k$ . Prin urmare, avem o succesiune de triunghiuri complete cu laturi arbitrare mici. Deoarece vârfurile acestor triunghiuri sunt toate în interior $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ care este compact , poate extrage o subsecvență în așa fel încât succesiunea vârfurilor $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ converg la o limită $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Această limită trebuie să fie și limita sub-succesiunilor corespunzătoare ale vârfurilor $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și vârfuri $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ triunghiuri. Astfel, există trei secvențe de puncte: de-a lungul primei, câmpul vectorial unde nu este zero formează unghiuri incluse în $[0,\pi /2)$ ${\ displaystyle [0, \ pi / 2)}$ ${\ displaystyle [0, \ pi / 2)}$ , în a doua formă unghiuri în $[\pi /2,\pi )$ ${\ displaystyle [\ pi / 2, \ pi)}$ ${\ displaystyle [\ pi / 2, \ pi)}$ iar în al treilea un unghiuri în $[\pi ,2\pi )$ ${\ displaystyle [\ pi, 2 \ pi)}$ ${\ displaystyle [\ pi, 2 \ pi)}$ . Dacă câmpul vectorial în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ dacă nu ar fi zero, pentru continuitate unghiul limită ar trebui găsit simultan în închiderea celor trei regiuni, ceea ce este imposibil deoarece intersecția celor trei închideri este goală. Deci în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ câmpul trebuie să fie nul și teorema este dovedită.

Probleme de unicitate

Teorema lui Brouwer asigură existența, dar, spre deosebire de teorema lui Banach, nu asigură unicitatea punctului fix care, de fapt, poate să nu existe:

identitatea lasă fixate toate punctele întregului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ considerat;
rotația sferei în jurul unei axe care trece prin centru lasă fixate toate punctele axei.
transformarea $x\mapsto x^{3}$ ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {3}}$ $x \ mapsto x ^ {3}$ din segment $[-1,1]$ ${\ displaystyle [-1,1]}$ $[-1,1]$ ( mingea unitară de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ ) are trei puncte fixe: $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ , Și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Condițiile suplimentare pentru unicitate sunt date de teorema lui Kellogg .

Notă

^ D. Violette Applications du lemme de Sperner pour les triangles Arhivat 8 iunie 2011 la Internet Archive . Buletin AMQ, V. XLVI nr. 4, (2006) p. 17.
^ D. Leborgne Calcul différentiel et géométrie Puf (1982) ISBN 2-13-037495-6 .
^ Monique Florenzano, General Equilibrium Analysis: Existence and Optimality Properties of Equilibria , Springer, 2003, p. 7, ISBN 978-1-4020-7512-4 .
^ V. & F. Bayart Point fixe, et théorèmes du point fixe Arhivat 26 decembrie 2008 la Internet Archive . pe Bibmath.net.
^ C. Minazzo K. Rider Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Différentielles Arhivat 4 aprilie 2018 la Internet Archive . Université de Nice-Sophia Antipolis.

Bibliografie

(EN) Morris W. Hirsch, Topologie diferențială, New York, Springer, 1988, ISBN 0-387-90148-5 . (vezi p. 72–73 pentru dovada lui Hirsch utilizând inexistența unei retrageri diferențiate)
( EN ) VI Istrățescu, Fixed Point Theory , Reidel, 1981, ISBN 90-277-1224-7 .
( EN ) S. Karamardian (ed.),Fixed Points: Algorithms and Applications , Academic Press, 1977, ISBN 0-12-398050-X .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VI Sobolev, teorema Brouwer , în Enciclopedia de matematică , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4226759-6

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] D. Violette Applications du lemme de Sperner pour les triangles Arhivat 8 iunie 2011 la Internet Archive . Buletin AMQ, V. XLVI nr. 4, (2006) p. 17.

[2] D. Leborgne Calcul différentiel et géométrie Puf (1982) ISBN 2-13-037495-6 .

[3] Monique Florenzano, General Equilibrium Analysis: Existence and Optimality Properties of Equilibria , Springer, 2003, p. 7, ISBN 978-1-4020-7512-4 .

[4] V. & F. Bayart Point fixe, et théorèmes du point fixe Arhivat 26 decembrie 2008 la Internet Archive . pe Bibmath.net.

[5] C. Minazzo K. Rider Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Différentielles Arhivat 4 aprilie 2018 la Internet Archive . Université de Nice-Sophia Antipolis.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]