Teorema rangului

În algebra liniară , teorema rangului , numită și teorema nulității plus rangul , sau teorema dimensiunii , afirmă că suma dintre dimensiunea imaginii și dimensiunea nucleului unei transformări liniare este egală cu dimensiunea domeniului . În mod echivalent, suma rangului și a nulității unui tablou este egal cu numărul de coloane din matrice.

Afirmație

Teorema se menține în contextul transformărilor liniare între spațiile vectoriale , cu ipoteza că spațiul vectorial inițial are o dimensiune finită. Având în vedere o aplicație liniară între spațiile vectoriale:

f\colon V\to W,

{\ displaystyle f \ colon V \ to W,}

{\ displaystyle f \ colon V \ to W,}

teorema stabilește că relația deține: ^[1]

\dim \operatorname {Im} (f)+\dim \operatorname {Ker} (f)=n

{\ displaystyle \ dim \ operatorname {Im} (f) + \ dim \ operatorname {Ker} (f) = n}

{\ displaystyle \ dim \ operatorname {Im} (f) + \ dim \ operatorname {Ker} (f) = n}

unde este ${\textrm {Im}}(f)$ ${\ displaystyle {\ textrm {Im}} (f)}$ ${\ textrm {Im}} (f)$ Și ${\textrm {Ker}}(f)$ ${\ displaystyle {\ textrm {Ker}} (f)}$ ${\ displaystyle {\ textrm {Ker}} (f)}$ sunt respectiv imaginea și nucleul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este mărimea lui $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

În mod echivalent, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ asa de:

\operatorname {rk} (A)+\operatorname {null} (A)=n

{\ displaystyle \ operatorname {rk} (A) + \ operatorname {null} (A) = n}

{\ displaystyle \ operatorname {rk} (A) + \ operatorname {null} (A) = n}

Unde este $\operatorname {null} (A)$ ${\ displaystyle \ operatorname {null} (A)}$ $\ operatorname {null} (A)$ indică nulitatea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ acesta este $\dim \operatorname {Ker} (A)$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Ker} (A)}$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Ker} (A)}$ , sau o indicație de invaliditate.

Echivalența frazelor derivă din faptul că fiecare aplicație liniară $f\colon K^{n}\to K^{m}$ ${\ displaystyle f \ colon K ^ {n} \ to K ^ {m}}$ ${\ displaystyle f \ colon K ^ {n} \ to K ^ {m}}$ poate fi scris, trecând în coordonate cu privire la două baze fixe, după cum urmează: ^[2]

f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} ,

{\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = A \ mathbf {x},}

{\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = A \ mathbf {x},}

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este matricea de transformare asociată cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ față de două baze date ale celor două spații vectoriale .

Nucleul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este spațiul soluțiilor sistemului omogen de ecuații liniare asociate matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , în timp ce imaginea este spațiul generat de coloanele sale $A^{1},\ldots ,A^{n}$ ${\ displaystyle A ^ {1}, \ ldots, A ^ {n}}$ $A ^ 1, \ ldots, A ^ n$ . ^[3]

Demonstrație

Atâta timp cât $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ are dimensiune finită, subspaiul vectorial ${\textrm {Ker}}(f)$ ${\ displaystyle {\ textrm {Ker}} (f)}$ ${\ displaystyle {\ textrm {Ker}} (f)}$ are și o dimensiune finită. Prin urmare, nucleul are o bază:

B=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{r})

{\ displaystyle B = (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {r})}

{\ displaystyle B = (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {r})}

Pentru teorema bazei incomplete există $\mathbf {v} _{r+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {r + 1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {r + 1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}}$ astfel încât:

B'=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{r},\mathbf {v} _{r+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})

{\ displaystyle B '= (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {r}, \ mathbf {v} _ {r + 1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})}

{\ displaystyle B '= (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {r}, \ mathbf {v} _ {r + 1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})}

este o bază de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Pentru a concluziona este suficient să arătăm că vectorii:

f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})

{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {r + 1}), \ ldots, f (\ mathbf {v} _ {n})}

{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {r + 1}), \ ldots, f (\ mathbf {v} _ {n})}

formează o bază de ${\textrm {Im}}(f)$ ${\ displaystyle {\ textrm {Im}} (f)}$ ${\ textrm {Im}} (f)$ . Imaginea este generată de vectori:

f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{r}),f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})

{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {1}), \ ldots, f (\ mathbf {v} _ {r}), f (\ mathbf {v} _ {r + 1}), \ ldots, f (\ mathbf {v} _ {n})}

{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {1}), \ ldots, f (\ mathbf {v} _ {r}), f (\ mathbf {v} _ {r + 1}), \ ldots, f (\ mathbf {v} _ {n})}

Primul $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ vectorii sunt totuși nuli (prin definiția lui Ker), deci imaginea este generată de ultimii $n-r$ ${\ displaystyle nr}$ $n-r$ transportatori:

f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})

{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {r + 1}), \ ldots, f (\ mathbf {v} _ {n})}

{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {r + 1}), \ ldots, f (\ mathbf {v} _ {n})}

Prin urmare, independența liniară a acestor vectori rămâne de verificat. Prin urmare, presupunem că este dată o combinație liniară nulă:

\lambda _{r+1}f(\mathbf {v} _{r+1})+\ldots +\lambda _{n}f(\mathbf {v} _{n})=0

{\ displaystyle \ lambda _ {r + 1} f (\ mathbf {v} _ {r + 1}) + \ ldots + \ lambda _ {n} f (\ mathbf {v} _ {n}) = 0}

{\ displaystyle \ lambda _ {r + 1} f (\ mathbf {v} _ {r + 1}) + \ ldots + \ lambda _ {n} f (\ mathbf {v} _ {n}) = 0}

Prin liniaritate obținem:

f(\lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=0

{\ displaystyle f (\ lambda _ {r + 1} \ mathbf {v} _ {r + 1} + \ ldots + \ lambda _ {n} \ mathbf {v} _ {n}) = 0}

{\ displaystyle f (\ lambda _ {r + 1} \ mathbf {v} _ {r + 1} + \ ldots + \ lambda _ {n} \ mathbf {v} _ {n}) = 0}

Prin urmare:

\lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\in \operatorname {Ker} (f)

{\ displaystyle \ lambda _ {r + 1} \ mathbf {v} _ {r + 1} + \ ldots + \ lambda _ {n} \ mathbf {v} _ {n} \ in \ operatorname {Ker} (f )}}

{\ displaystyle \ lambda _ {r + 1} \ mathbf {v} _ {r + 1} + \ ldots + \ lambda _ {n} \ mathbf {v} _ {n} \ in \ operatorname {Ker} (f )}}

Deoarece acest vector se află în nucleu, acesta poate fi exprimat ca o combinație liniară de vectori $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {r}}$ :

\lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}=\alpha _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {v} _{r}

{\ displaystyle \ lambda _ {r + 1} \ mathbf {v} _ {r + 1} + \ ldots + \ lambda _ {n} \ mathbf {v} _ {n} = \ alpha _ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n} \ mathbf {v} _ {r}}

{\ displaystyle \ lambda _ {r + 1} \ mathbf {v} _ {r + 1} + \ ldots + \ lambda _ {n} \ mathbf {v} _ {n} = \ alpha _ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n} \ mathbf {v} _ {r}}

Cu alte cuvinte:

-\alpha _{1}\mathbf {v} _{1}-\ldots -\alpha _{n}\mathbf {v} _{r}+\lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}=0

{\ displaystyle - \ alpha _ {1} \ mathbf {v} _ {1} - \ ldots - \ alpha _ {n} \ mathbf {v} _ {r} + \ lambda _ {r + 1} \ mathbf { v} _ {r + 1} + \ ldots + \ lambda _ {n} \ mathbf {v} _ {n} = 0}

{\ displaystyle - \ alpha _ {1} \ mathbf {v} _ {1} - \ ldots - \ alpha _ {n} \ mathbf {v} _ {r} + \ lambda _ {r + 1} \ mathbf { v} _ {r + 1} + \ ldots + \ lambda _ {n} \ mathbf {v} _ {n} = 0}

Atâta timp cât $(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ ${\ displaystyle (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})}$ este o bază de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , toți coeficienții prezenți aici sunt nuli. În special, $\lambda _{j}=0$ ${\ displaystyle \ lambda _ {j} = 0}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {j} = 0}$ pentru fiecare $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ . Deci vectorii $f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {r + 1}), \ ldots, f (\ mathbf {v} _ {n})}$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {r + 1}), \ ldots, f (\ mathbf {v} _ {n})}$ sunt efectiv independenți. Prin urmare, imaginea are dimensiune $n-r$ ${\ displaystyle nr}$ $n-r$ . Prin urmare:

\dim(\operatorname {Im} (f))=n-r=\dim(V)-\dim(\operatorname {Ker} (f))

{\ displaystyle \ dim (\ operatorname {Im} (f)) = nr = \ dim (V) - \ dim (\ operatorname {Ker} (f))}

{\ displaystyle \ dim (\ operatorname {Im} (f)) = n-r = \ dim (V) - \ dim (\ operatorname {Ker} (f))}

Dovadă cu teorema izomorfismului

Teorema rangului poate fi văzută ca un corolar la prima teoremă a izomorfismului :

V/\operatorname {Ker} f\cong \operatorname {Im} f

{\ displaystyle V / \ operatorname {Ker} f \ cong \ operatorname {Im} f}

{\ displaystyle V / \ operatorname {Ker} f \ cong \ operatorname {Im} f}

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un omomorfism al grupurilor (în special, al spațiilor vectoriale ) care acționează asupra $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . De fapt, avem:

\dim(V/\operatorname {Ker} f)=\dim(\operatorname {Im} f)

{\ displaystyle \ dim (V / \ operatorname {Ker} f) = \ dim (\ operatorname {Im} f)}

{\ displaystyle \ dim (V / \ operatorname {Ker} f) = \ dim (\ operatorname {Im} f)}

\dim(V)-\dim(\operatorname {Ker} f)=\dim(\operatorname {Im} f)

{\ displaystyle \ dim (V) - \ dim (\ operatorname {Ker} f) = \ dim (\ operatorname {Im} f)}

{\ displaystyle \ dim (V) - \ dim (\ operatorname {Ker} f) = \ dim (\ operatorname {Im} f)}

care este enunțul teoremei.

Aplicații liniare injective - surjective - biunivoce

Având în vedere o aplicație liniară $f\colon V\to W,$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W,}$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W,}$ cu $\dim(V)=n$ ${\ displaystyle \ dim (V) = n}$ ${\ displaystyle \ dim (V) = n}$ Și $\dim(W)=m,$ ${\ displaystyle \ dim (W) = m,}$ ${\ displaystyle \ dim (W) = m,}$ este:

injectat dacă și numai dacă $\dim \operatorname {Ker} (f)=0;$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Ker} (f) = 0;}$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Ker} (f) = 0;}$
surjectiv dacă și numai dacă $\dim \operatorname {Im} (f)=m;$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Im} (f) = m;}$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Im} (f) = m;}$
bijectiv dacă $m=n$ ${\ displaystyle m = n}$ $m = n$ și ambele condiții de mai sus sunt îndeplinite.

Prin urmare, rezultă că, dacă $m=n$ ${\ displaystyle m = n}$ $m = n$ , aplicația liniară este injectivă dacă și numai dacă este surjectivă.

De asemenea, pe baza mărimii $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , avem asta:

de sine $n>m,$ ${\ displaystyle n> m,}$ ${\ displaystyle n> m,}$ aplicația liniară nu va fi niciodată injectivă, deoarece $\dim \operatorname {Ker} (f)>0;$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Ker} (f)> 0;}$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Ker} (f)> 0;}$
de sine $n<m,$ ${\ displaystyle n <m,}$ ${\ displaystyle n <m,}$ aplicarea liniară nu va fi niciodată surjectivă, deoarece $\dim \operatorname {Im} (f)<m.$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Im} (f) <m.}$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Im} (f) <m.}$

Caz de dimensiune infinită

Să presupunem cazul particular în care aplicația liniară este un endomorfism , adică o aplicație liniară $f\colon V\to V$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to V}$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to V}$ din spatiu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ in sinea lui. Relația tocmai a demonstrat:

\dim \operatorname {Im} (f)+\dim \operatorname {Ker} (f)=n

{\ displaystyle \ dim \ operatorname {Im} (f) + \ dim \ operatorname {Ker} (f) = n}

{\ displaystyle \ dim \ operatorname {Im} (f) + \ dim \ operatorname {Ker} (f) = n}

spune că injectivitatea și surjectivitatea aplicației se implică reciproc.

În caz infinit, acest lucru încetează să mai fie adevărat. De exemplu, luând în considerare:

\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }:=\{(x_{1},x_{2},\dots )\quad x_{i}\in \mathbb {R} \quad \forall i\in \mathbb {N} \}

{\ displaystyle \ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}: = \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ dots) \ quad x_ {i} \ in \ mathbb {R} \ quad \ forall i \ in \ mathbb {N} \}}

{\ displaystyle \ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}: = \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ dots) \ quad x_ {i} \ in \ mathbb {R} \ quad \ forall i \ in \ mathbb {N} \}}

ca spațiu vectorial pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ și aplicație $f\colon \mathbb {R} ^{\infty }\to \mathbb {R} ^{\infty }$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {\ infty} \ to \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {\ infty} \ to \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$ care acționează „deplasând” coordonatele înainte și punând zero în prima poziție, adică:

\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\to (0,x_{1},x_{2},\dots )

{\ displaystyle \ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ dots) \ to (0, x_ {1}, x_ {2}, \ dots)}

{\ displaystyle \ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ dots) \ to (0, x_ {1}, x_ {2}, \ dots)}

este imediat să arătăm că această aplicație este liniară și injectivă, dar trivial nu este surjectivă.

Reformulări și generalizări

În limbaj mai modern, teorema poate fi exprimată în felul următor. De sine:

\displaystyle \ 0\rightarrow U\rightarrow V\rightarrow R\rightarrow 0

{\ displaystyle \ displaystyle \ 0 \ rightarrow U \ rightarrow V \ rightarrow R \ rightarrow 0}

{\ displaystyle \ displaystyle \ 0 \ rightarrow U \ rightarrow V \ rightarrow R \ rightarrow 0}

este o secvență scurtă exactă de spații vectoriale, apoi:

\displaystyle \ \dim(U)+\dim(R)=\dim(V)

{\ displaystyle \ displaystyle \ \ dim (U) + \ dim (R) = \ dim (V)}

{\ displaystyle \ displaystyle \ \ dim (U) + \ dim (R) = \ dim (V)}

Aici $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ joacă rolul de $\operatorname {Im} T$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} T}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} T}$ Și $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $\operatorname {ker} T$ ${\ displaystyle \ operatorname {ker} T}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ker} T}$ .

În cazul dimensiunii finite, această formulare este susceptibilă de generalizare. De sine:

\displaystyle \ 0\rightarrow V_{1}\rightarrow V_{2}\rightarrow \dots \rightarrow V_{r}\rightarrow 0

{\ displaystyle \ displaystyle \ 0 \ rightarrow V_ {1} \ rightarrow V_ {2} \ rightarrow \ dots \ rightarrow V_ {r} \ rightarrow 0}

{\ displaystyle \ displaystyle \ 0 \ rightarrow V_ {1} \ rightarrow V_ {2} \ rightarrow \ dots \ rightarrow V_ {r} \ rightarrow 0}

este o secvență exactă de spații vectoriale cu dimensiuni finite, apoi:

\sum _{i=1}^{r}(-1)^{i}\dim(V_{i})=0

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {r} (- 1) ^ {i} \ dim (V_ {i}) = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {r} (- 1) ^ {i} \ dim (V_ {i}) = 0}

Teorema rangului pentru spațiile vectoriale cu dimensiuni finite poate fi formulată și în termeni de indici ai unei hărți liniare. Indexul unei hărți liniare $T\colon V\to W$ ${\ displaystyle T \ colon V \ to W}$ ${\ displaystyle T \ colon V \ to W}$ , unde este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ sunt de dimensiuni finite, este definit de:

\operatorname {index} T=\dim(\operatorname {ker} T)-\dim(\operatorname {coker} T)

{\ displaystyle \ operatorname {index} T = \ dim (\ operatorname {ker} T) - \ dim (\ operatorname {coker} T)}

{\ displaystyle \ operatorname {index} T = \ dim (\ operatorname {ker} T) - \ dim (\ operatorname {coker} T)}

Intuitiv, $\dim \operatorname {ker} T$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {ker} T}$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {ker} T}$ este numărul de soluții independente $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ecuaţie $Tx=0$ ${\ displaystyle Tx = 0}$ ${\ displaystyle Tx = 0}$ , Și $\dim \operatorname {coker} T$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {coker} T}$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {coker} T}$ este numărul de restricții independente care trebuie aplicate $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ a face $Tx=y$ ${\ displaystyle Tx = y}$ ${\ displaystyle Tx = y}$ rezolvabil. Teorema rangului pentru spațiile vectoriale cu dimensiuni finite este echivalentă cu expresia:

\operatorname {index} T=\dim(V)-\dim(W)

{\ displaystyle \ operatorname {index} T = \ dim (V) - \ dim (W)}

{\ displaystyle \ operatorname {index} T = \ dim (V) - \ dim (W)}

Se vede că putem citi cu ușurință indexul hărții liniare $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ din spațiile implicate, fără a fi nevoie să examinăm $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ detaliat. Acest efect se regăsește și într-un rezultat mult mai profund: teorema indexului Atiyah-Singer afirmă că indicele anumitor operatori diferențiali poate fi citit din geometria spațiilor implicate.

Notă

^ S. Lang , pagina 92 .
^ S. Lang , pagina 105 .
^ S. Lang , pagina 176 .

Bibliografie

Serge Lang , Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
Philippe Ellia, Note despre geometrie I , Bologna, Pitagora Editrice, 1997. ISBN 88-3710958-X
( EN ) Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2000, ISBN 978-0-89871-454-8 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] S. Lang , pagina 92 .

[2] S. Lang , pagina 105 .

[3] S. Lang , pagina 176 .

[1]

[2]

[3]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Carrier · subspatiu ( Subspatiul generat ) · Aplicație Liniar ( Core · imagine ) · Base · Dimensiunea · dimensiunea Teorema · Grassmann Formula · sistem liniar · Gauss algoritm · Rouche-Capelli , teorema · Regula lui Cramer · spațiu dual · proiectiv spațiu · afină spațiu · Dimensiune teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema