Teorema imposibilității săgeții

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Kenneth Arrow

Teorema imposibilității lui Arrow , sau pur și simplu teorema lui Arrow , este o teoremă dovedită de economistul Kenneth Arrow în opțiunile sale sociale și valorile individuale (1951). Cu această teoremă, Arrow a demonstrat că, având în vedere alegerea între cel puțin trei alternative și condițiile „universalității”, „neimpunerii”, „non-dictatorialității”, „monotoniei” și „independenței față de alternativele irelevante” stabilite a priori, este nu este posibil să se determine o funcție de alegere publică care să le respecte.

Teorema a fost formulată pe baza încercării nereușite de a elabora orice procedură de decizie colectivă care ar putea satisface unele cerințe rezonabile pentru a garanta o alegere non-arbitrară. Un exemplu de procedură incapabilă să îndeplinească toate cerințele de mai sus este sistemul de vot majoritar, așa cum arată paradoxul Condorcet (ciclicitatea preferințelor colective față de tranzitivitatea celor individuale), care afirmă că într-un vot democratic, alegerile sunt întotdeauna făcute. (dacă alegătorul unic votează A pentru că este preferabil B și B pentru că este preferabil lui C și, prin urmare, A este preferabil lui C , nu este sigur că la nivelul comunității A este neapărat preferat lui C ).

Afirmație

În cazul unei comunități care trebuie să adopte o ordine de preferințe între mai multe opțiuni. Fiecare individ din comunitate are propria sa ordine de preferință, pe care o poate exprima de exemplu prin vot. Întrebarea este de a găsi o procedură (de exemplu un sistem de vot), mai general numită funcție de alegere publică , care transformă setul de preferințe individuale într-o ordine globală coerentă. Teorema consideră următoarele proprietăți, pe care Arrow le presupune că reprezintă cerințe rezonabile pentru un sistem de vot echitabil:

  • universalitate (sau domeniu nerestricționat ): trebuie să conducă la o decizie, indiferent de configurația preferințelor alegătorilor. Prin urmare, nu trebuie să dea greș în cazul preferințelor multimodale;
  • neimpunerea (sau suveranitatea cetățeanului ): orice posibilă preferință socială trebuie să poată fi atinsă pornind de la un set adecvat de preferințe individuale (fiecare rezultat trebuie să poată fi atins într-un fel);
  • nedictatorialitate : funcția de alegere socială nu trebuie să urmeze pur și simplu ordonarea preferințelor unui individ sau a unui subset de indivizi, ignorând în același timp preferințele altora;
  • monotonitate sau asociere pozitivă între valorile individuale și sociale: dacă un individ își schimbă ordinea preferințelor prin promovarea unei opțiuni date, funcția de alegere socială trebuie fie să promoveze acea opțiune, fie să rămână neschimbată, dar nu poate atribui o preferință mai mică acelei opțiuni (niciun individ ar trebui să poată vorbi împotriva unei opțiuni atribuindu-i o preferință mai mare );
  • independența față de alternativele irelevante : dacă atenția se limitează la un subset de opțiuni și funcția de alegere socială li se aplică numai, rezultatul trebuie să fie compatibil cu cazul în care funcția de alegere socială este aplicată întregului set de alternative posibile.

Teorema lui Arrow afirmă că, dacă grupul de cetățeni cu drept de vot include cel puțin două persoane și setul de alternative posibile cel puțin trei opțiuni, nu este posibil să se construiască o funcție de alegere socială care să satisfacă toate cerințele de mai sus în același timp.

Conform unei versiuni alternative a teoremei lui Arrow, cerința monotoniei este înlocuită de:

  • unanimitate (sau criteriul Pareto sau eficiența Pareto ): dacă fiecare individ preferă o anumită opțiune A față de opțiunea B , atunci A trebuie de asemenea să fie preferată B față de funcția de alegere socială.

Această formulare este mai restrictivă, deoarece asumarea atât a monotoniei, cât și a independenței față de alternativele irelevante implică eficiența Pareto .

Formulare logică

Ipoteza 1

Lasa-i sa fie setul de voturi, Și candidații. Din motive de simplitate, cărțile nule sau goale și cravata sunt considerate inexistente (cazuri care sunt întotdeauna atribuibile acestui fapt prin eliminarea din voturi nule sau goale și, eventual, recurgerea la vot). Spus setul de voturi pentru , este complet determinat , deoarece nu este altul decât complementar, .

Ipoteza 2

De sine este suficient pentru pentru a câștiga, câștigă chiar dacă obține mai multe voturi. La votul majoritar, minimul acestor seturi de voturi este jumătate plus unu din . Orice set care permite unui candidat să câștige (de exemplu ) se spune împreună decisiv .

Noi sunam familia seturilor decisivă în favoarea .

În termeni matematici, am postulat asta, a spus un set decisiv pentru pe :

  1. De sine este cuprins în , asa de aparține lui .
  2. Fiecare vot are loc sau în complementaritatea sa.
  3. SAU sau complementara sa este decisivă.

Aceste proprietăți sunt foarte apropiate de cele ale unui filtru su , lipsind doar cea a închiderii cu privire la intersecție . Prin urmare, vom arăta că ipoteza monotoniei (adică dacă câștigă pe , Și câștigă pe , asa de câștigă pe ) este echivalent cu închiderea față de intersecția seturilor decisive de .

Cele de mai sus reprezintă enunțul teoremei.

Demonstrație

să presupunem că nu este decisiv. Apoi, pentru proprietatea 3, complementara sa este . Astfel, dacă te face să câștigi pe , Și te face să câștigi pe , să vedem cum fiecare alegător și-ar exprima preferințele:

  1. pentru fiecare alegător al câștigă pe , Și pe ( );
  2. pentru fiecare alegător al pe , Și pe ( );
  3. pentru fiecare alegător al pe , Și pe ( );
  4. pentru fiecare alegător al pe , Și pe ( ).

Atunci câștigă pe deoarece este decisiv, câștigă pe pentru că este decisiv Și câștigă pe deoarece este decisiv. Deci avem paradoxul Condorcet . Invers, având în vedere orice ordine de preferințe, acestea sunt , Și respectiv alegătorii pe care îi preferă la , la și la . Toate cele trei sunt decisive. Să vedem acum că fiecare alegător al preferă la , Și la și, deoarece ordinea individuală este liniară, la . Asa de . Și, prin urmare, de când este decisiv, este și decisiv .

Pentru proprietățile văzute mai sus, seturile decisive care respectă închiderea față de intersecție formează un ultrafiltru și, din fericire, setul alegătorilor este, din fericire, finit, de asemenea, un filtru principal. Există, deci, un singur alegător, pe care The Arrow îl numește dictator , care singur determină rezultatul votului: el este intersecția tuturor seturilor decisive. Prin urmare, cu ipotezele pe care le-am făcut, dintre cele două: fie acceptăm paradoxul Condorcet , și, prin urmare, rezultatul voturilor depinde de ordinea în care se desfășoară, sau într-un sistem care exclude această posibilitate, fiecare set decisiv include un dictator , adică un alegător care singur determină rezultatul votului. Ambele posibilități sunt contrare ideii instinctive a democrației reprezentative, care este, prin urmare, matematic imposibilă. Contrar a ceea ce poate părea, sunt posibile alternative care permit unei Constituții să implementeze o democrație reprezentativă fără paradoxul Condorcet, dar aceste forme trebuie să renunțe în mod necesar la una sau mai multe ipoteze văzute anterior. Având în vedere simplitatea ipotezelor de pornire și complexitatea explicării de ce sunt inacceptabile, este dificil de presupus că este posibilă adoptarea unei legi electorale care să respecte soluțiile propuse.

Interpretări

Teorema Arrow este un rezultat matematic, dar este adesea exprimată în termeni non-matematici, cu afirmații precum: niciun sistem de vot nu este corect , orice sistem de vot poate fi manipulat sau singurul sistem de vot non-manipulabil este dictatura . Cu toate acestea, trebuie considerat că astfel de interpretări nu sunt stabilite de rezultatul matematic. Din acest motiv, nu au primit acordul unanim al comunității academice.

Săgeata folosește termenul echitabil pentru a se referi la criteriile sale. De fapt, unele dintre ele, cum ar fi optimul Pareto sau cererea pentru absența unor impuneri, pot părea banale. Nu este așa, de exemplu, pentru criteriul independenței față de alternativele irelevante . Luați în considerare următorul exemplu: Dave, Chris, Bill și Agnes concurează pentru același loc de muncă; să presupunem că Agnes are un avantaj clar față de ceilalți concurenți. Acum, pe baza rezultatului Arrow, ar putea exista o situație în care, dacă Dave se retrage, Bill, și nu Agnes, va primi locul de muncă. Acest lucru poate părea nedrept pentru mulți; cu toate acestea, teorema lui Arrow implică faptul că situații de acest gen nu pot fi evitate în general.

Mai mulți teoreticieni, și nu, au propus să se relaxeze, adică să o facă mai puțin restrictivă, criteriul independenței față de alternativele irelevante pentru a rezolva paradoxul. Susținătorii sistemelor de vot bazate pe ordonarea alternativelor afirmă că criteriul ar fi restrictiv fără motiv și că nu ar fi aplicat în majoritatea situațiilor concrete. De fapt, acest criteriu este exclus din mai multe mecanisme de vot utilizate în mod obișnuit, precum și în generalizări, cum ar fi metoda Borda .

Teorema Gibbard-Satterthwaite , o încercare de a relaxa condițiile care duc la rezultatul săgeții, înlocuiește criteriul independenței față de alternativele irelevante cu un criteriu de non-manipulabilitate. Totuși, teorema ajunge la aceleași concluzii (paradoxale) ca și Arrow, demonstrând astfel echivalența dintre criteriul independenței față de alternativele irelevante și non-manipulabilitatea.

În concluzie, teorema lui Arrow arată că votul este un joc netrivial și că teoria jocurilor ar putea fi folosită pentru a prezice rezultatul majorității mecanismelor de vot. Acest lucru ar putea fi interpretat ca un rezultat descurajant, deoarece un joc nu are neapărat un echilibru eficient (sau de dorit din punct de vedere social). Alternativa ar fi transferarea rezultatelor obținute de Sen în domeniul economic în domeniul politicii electorale, ceea ce necesită totuși relaxarea uneia dintre condițiile văzute la început.

Urmări

În 1970 , aplicând același principiu ca și Arrow, laureatul Nobel în economie Amartya Sen a arătat imposibilitatea matematică a liberalismului Pareto . Prin generalizarea metodei la seturi de vectori la n dimensiuni, economistul Herbert Scarf a arătat în 1962 inexistența mâinii invizibile pentru piețele cu mai mult de două bunuri ale căror prețuri sunt interdependente. Rezultatul Arrow reprezintă una dintre primele abordări ale științelor sociale prin formalismul matematic; prin această și alte lucrări, Kenneth Arrow a contribuit semnificativ la evoluția economiei politice în secolul al XX-lea în direcția unei mai mari rigoare matematică.

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 58294