Teorema infinitului numerelor prime

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Teorema infinitului numerelor prime afirmă că, oricât de mare ar fi ales un număr natural n , există întotdeauna un număr prim mai mare decât n .

A fost demonstrat pentru prima dată de Euclid în Elementele sale (cartea IX, propunerea 20), dar s-au găsit alte cincizeci de dovezi care folosesc o mare varietate de tehnici diferite: de exemplu, Euler a derivat-o din divergența seriei armonice și posibilitatea de scriere a fiecărui număr ca produs al numerelor prime; Christian Goldbach a folosit numerele Fermat , în timp ce Harry Furstenberg a conceput o dovadă care exploatează metodele topologiei . [1]

Unele dintre aceste dovezi (cea a lui Euclid, cea a lui Goldbach și alta care folosește numerele Mersenne ) se bazează pe o strategie similară, și anume pentru a demonstra că există o succesiune infinită de numere care sunt două la două coprimă , din care rezultă în mod necesar infinitate de numere prime.

Demonstrații

Dovada lui Euclid

Demonstrația, foarte simplă în termeni moderni, este expusă în Elementele lui Euclid și poate fi considerată pe bună dreptate prima dovadă a teoremei teoriei numerelor .

Dovada are loc în mod absurd, cu următorul raționament:

Să presupunem că numerele prime nu sunt infinite, ci doar ; ar fi atunci cel mai mare dintre numerele prime. Este produsul celor n numere prime, nu este divizibil cu 2, deoarece este și, prin urmare, are restul 1. Nu este divizibil cu 3, din același motiv. În general, a spus al i-lea număr prim, diviziune are întotdeauna restul 1: presupunând ca dividend, ca divizor, ca un coeficient al diviziunii, este suficient să arătăm că , asta este ceea ce asumat ca ipoteză.

În acest moment, pentru teorema fundamentală a aritmeticii , sunt posibile două cazuri:

  1. este prim și, evident, este mai mare decât acesta din urmă nu este cel mai mare dintre numerele prime;
  2. , deoarece nu este prim, este produsul numerelor prime care nu pot apărea printre ipoteză (deoarece, așa cum tocmai am arătat, nr împarte ) și care, prin urmare, trebuie să fie mai mare decât ; tot în acest caz rezultă că nu este cel mai mare dintre numerele prime.

În ambele cazuri ajungem la concluzia că nu poate exista un număr prim mai mare decât , prin urmare numerele prime sunt infinite.

De fapt, doar câteva dintre numere (numite numerele lui Euclid ) astfel găsite sunt prime, deoarece diferența dintre Și crește cam la fel ca factorialul și, deci, există întotdeauna mai multe șanse au un separator între Și .

O consecință imediată a acestei dovezi este următoarea inegalitate :

Inegalitatea lui Bonse și generalizările sale oferă rezultate mai puternice.

Corolar

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: primul factorial .

Un corolar interesant, care este evident prin întoarcerea dovezii, este că puteți construi oricând un interval, atât timp cât doriți, de numere consecutive care nu sunt numere prime. De fapt, dacă vrem să avem un interval de 99 de numere consecutive fără prime, este posibil să-l construim luând, de exemplu, factorialul de 100, adică 9,33262154 × 10 157 . Acest număr imens este divizibil cu toate numerele dintre Și , pentru construcții. Dacă spunem asta este unul dintre aceste numere cuprinse între 2 și 100, Și sunt ambele divizibile cu . Prin urmare, avem 99 de numere consecutive fără prime, de la la . Rețineți că, având în vedere lungimea intervalului, extremele intervalului construit în acest mod nu sunt minime posibile.

Dovada lui Euler

Dovada lui Euler pleacă de la faptul că seria armonică :

este divergent.

Euler observă că seria armonică poate fi văzută ca produsul acestor serii geometrice , câte una pentru fiecare număr prim:

...

Seriile se calculează cu ușurință reținând asta (vezi seriile geometrice ).

De fapt, seria armonică este suma reciprocelor tuturor numerelor naturale și fiecare număr natural poate fi reprezentat ca produs al factorilor săi primi. Suntem apoi ușor convinși că fiecare element al seriei armonice corespunde unui posibil produs de elemente luate unul câte unul din seria menționată mai sus. De exemplu pentru element :

Pe de altă parte, seria sunt peste tot. Dar atunci dacă primii ar fi finiti, produsul lor ar fi, de asemenea, finit, în timp ce știm că seria armonică divergă.

Rezultă că numerele prime trebuie să fie infinite.

Dovadă topologică

Pentru orice pereche de numere întregi Și cu intreaba-te pe tine insuti . Familia este baza unei topologii a , numită topologia numerelor întregi la fel de distanțate : dovada infinitității numerelor prime se află în spatele proprietăților sale topologice. Elementele deschise ale acestei topologii au trei proprietăți:

  1. fiecare deschis este închis;
  2. fiecare deschidere ne-goală are elemente infinite;
  3. , Unde este mulțimea numerelor prime pozitive.

2 este imediat și 3 derivă din teorema fundamentală a aritmeticii. În ceea ce privește 1 este suficient să rețineți că

De sine au fost terminate, în virtutea lui 3 și 1, am avea asta este deschis, dar acest lucru contrazice 2.

Notă

  1. ^(EN) Harry Furstenberg Despre infinitudinea primilor , în Amer. Matematica. Lunar , vol. 62, nr. 5, 1955, p. 353, DOI : 10.2307 / 2307043 .

Bibliografie

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică