Teorema cartierului tubular

În geometrie , teorema tubulară a vecinătății este un instrument important de topologie diferențială , utilă în prezența unui distribuitor diferențiat conținut într-un alt distribuitor de dimensiuni mai mari. Acesta este unul dintre primele rezultate topologice în care este necesară structura diferențiată: teorema poate să nu fie valabilă în contextul soiurilor topologice .

Afirmație

În această imagine, varietatea

Nu.

{\ displaystyle N}

Nu.

este linia albastră; fasciculul este constituit din setul de segmente roșii „perpendiculare” pe acesta

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o varietate diferențiată de mărime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $N\subset M$ ${\ displaystyle N \ subset M}$ ${\ displaystyle N \ subset M}$ un subfold diferențiat compact de dimensiuni $n-k$ ${\ displaystyle nk}$ $n-k$ . Există o rundă deschisă $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ difeomorf la un pachet de pe $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ , cu fibră homeomorfă la o bilă

B^{k}=\{x\in \mathbb {R} ^{k}\ |\ |x|<1\}

{\ displaystyle B ^ {k} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {k} \ | \ | x | <1 \}}

{\ displaystyle B ^ {k} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {k} \ | \ | x | <1 \}}

in care $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ se află ca secțiunea nulă.

Un astfel de cartier se numește cartier tubular al $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ în $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Cartierul este unic, cu excepția izotopiei din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ (și, prin urmare, în special până la difeomorfism ).

Pachetul

Local și global

Local, vecinătatea tubulară este de acest tip $U\times B^{k}$ ${\ displaystyle U \ times B ^ {k}}$ ${\ displaystyle U \ times B ^ {k}}$ , unde este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este o deschidere a $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ , Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ minciuni ca $U\times \{0\}$ ${\ displaystyle U \ times \ {0 \}}$ ${\ displaystyle U \ times \ {0 \}}$ . La fel ca în cazul oricărui pachet, faptul că este un produs local nu garantează că este și global.

Cartierul tubular al unei curbe închise într-o suprafață poate fi o bandă Mobius .

De exemplu, vecinătatea tubulară a unei curbe simple închise într-o suprafață este un pachet, a cărui fibră este un interval $B^{1}=(-1,1)$ ${\ displaystyle B ^ {1} = (- 1,1)}$ ${\ displaystyle B ^ {1} = (- 1,1)}$ . La nivel global, cartierul tubular poate fi homeomorf pentru un produs $S^{1}\times (-1,1)$ ${\ displaystyle S ^ {1} \ times (-1,1)}$ ${\ displaystyle S ^ {1} \ times (-1,1)}$ , adică un inel sau la o bandă Möbius .

Codimensiunea unu

În cazul în care $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este orientabil e $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ are codimensiune $k=1$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ , împrejurimile tubulare $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este determinat cu excepția cazului în care diferă de difeomorfism $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ . De sine $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este, de asemenea, reglabil, $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este diferit de produs $N\times (-1,1)$ ${\ displaystyle N \ times (-1,1)}$ ${\ displaystyle N \ times (-1,1)}$ . În general, $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este singurul pachet orientabil cu fibre $(-1,1)$ ${\ displaystyle (-1,1)}$ $(-1,1)$ și bază $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ .

Retragerea deformării

Sub-soiul $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este întotdeauna o retracție puternică de deformare a mediului său tubular $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . În special, $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ sunt echivalente din punct de vedere homotopic .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe împrejurimi tubulare

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică