Teorema acordului

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În trigonometrie , teorema coardei exprimă lungimea coardei trasate de-a lungul unei circumferințe și unghiul subtins de coarda însăși. Având în vedere o circumferință de rază , și o coardă desenată între două puncte Și din circumferință, unghiul subtins de coarda însăși cu vârful în centrul circumferinței se numește unghiul din centru ; fiecare unghi subtins de coardă și cu vârf pe circumferință se numește unghi față de circumferință

,

unde este este unghiul la circumferința e este unghiul din centru.

Observăm că o coardă subtinde două tipuri diferite de unghiuri la circumferință: coarda de fapt taie circumferința în două părți. Unghiurile care au vârful pe partea cea mai mare sunt acute , cele cu vârful pe partea cea mai mică sunt obtuse . Deoarece suma unui unghi al primului tip cu un unghi al celui de-al doilea tip este un unghi plat , îl avem

,

deci enunțul teoremei nu prezintă nicio ambiguitate.

Demonstrație

Figura 1: teorema acordului cu unghiul în centru

Dovada teoremei pentru unghiul din centru rezultă din considerații geometrice elementare: având în vedere figura 1 din lateral, bisectoarea unghiului din centru formează triunghiul dreptunghiular , cărora li se pot aplica formulele trigonometrice comune:

.

În ceea ce privește unghiul din centru, este suficient să se arate că este dublu unghiul la circumferință, care se obține cu ușurință din următoarea construcție: dat o coardă cu unghiul față de circumferință în vârf , plasat pe cel mai mare dintre arcurile identificate de Și , și colțul din centru în vârf , trasați linia care trece prin vârful unghiului până la circumferință și prin centru.

Referindu-ne la Figura 2 din dreapta jos, ambele intersecția dintre Și . Apoi, se țin următoarele relații:

Figura 2: unghiuri la centru și la circumferință

Urmează compararea ultimelor două egalități Și .

O demonstrație suplimentară poate fi următoarea: din punctul puteți desena întotdeauna un diametru care trece prin centru și că identifică punctul diametral opus (caz particular din Figura 2 pentru ), unde unghiul față de circumferință . Triunghiul este un dreptunghi deoarece este înscris într-un semicerc și de aceea este valid acesta este .

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica