Teorema curbei Jordan

O curbă plană simplă închisă (în negru) împarte planul în două regiuni: o „internă” (albastră) și una „externă” (roz). Acest rezultat este teorema curbei Jordan.

În topologie , teorema curbei Jordan (numită după matematicianul francez Camille Jordan care a contribuit la aceasta) afirmă că orice curbă închisă a planului care nu este împletită împarte planul în două părți, o „internă” și una „externă”. O curbă cu aceste proprietăți se numește curbă Jordan .

Teorema

O curbă Jordan este o curbă plană simplă închisă . Adică o funcție continuă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ din interval $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ la valorile din plan cartezian $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ astfel încât:

curba este închisă , adică cu extreme coincidente, în formule: $f(0)=f(1)$ ${\ displaystyle f (0) = f (1)}$ $f (0) = f (1)$ ;
curba este simplă , adică nu se intersectează niciodată, în formule: $f(x)\neq f(y)$ ${\ displaystyle f (x) \ neq f (y)}$ $f (x) \ neq f (y)$ pentru toți $x\neq y$ ${\ displaystyle x \ neq y}$ $x \ neq y$ cu excepția extremelor.

Afirmația teoremei curbei Jordan este următoarea:

Este $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ o curbă simplă închisă în plan. Complementarul în planul imaginii lui $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$

\mathbb {R} ^{2}\setminus C

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus C}

\ mathbb {R} ^ {2} \ setminus C

are două componente conectate . Una dintre aceste componente este limitată (partea internă), iar cealaltă este nelimitată (partea externă). În plus $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este frontiera ambelor componente.

Teorema este valabilă pentru orice curbă închisă, de exemplu aceasta. Cu toate acestea, nu este întotdeauna ușor de ghicit dacă un anumit punct se află în regiunea internă sau externă.

O curbă simplă închisă poate fi foarte complicată. De exemplu, marginea unui fractal ca capsa a lui Koch este o curbă simplă închisă: aceasta este continuă, dar nu se poate diferenția în fiecare punct.

O afirmație non-banală

Afirmația teoremei curbei Jordan pare evidentă, dar dovada ei nu este în niciun caz. Primul matematician care a încercat să ofere o dovadă a teoremei a fost Bernard Bolzano , după el mulți alți matematicieni au încercat să o demonstreze, inclusiv Camille Jordan însuși, dar niciunul nu a putut oferi o dovadă satisfăcătoare; abia în 1905 a reușit matematicianul Oswald Veblen . După data respectivă au fost găsite alte dovezi.

O dovadă riguroasă de 6.500 de linii a teoremei curbei Jordan a fost furnizată în 2005 de o echipă internațională de matematicieni care a folosit sistemul Mizar pentru verificarea automată a dovezii teoremei.

Generalizări

Există o generalizare a teoremei curbei Jordan în dimensiuni mai mari de 2.

Fie X o hartă continuă și injectivă din sfera S ⁿ în R ^{n +1} . Apoi complementul din acel spațiu al imaginii lui X constă din două componente distincte conectate , dintre care una este limitată (partea internă) și cealaltă este nelimitată (partea externă). Imaginea lui X este schema ambelor componente.

Mai mult, există o generalizare a teoremei curbei Jordan în R ² numită teorema Jordan-Schönflies care afirmă că orice curbă Jordan $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ în plan este echivalent cu circumferința

S^{1}={\big \{}x\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ |x|=1\}

{\ displaystyle S ^ {1} = {\ big \ {} x \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ | x | = 1 \}}

S ^ {1} = {\ big \ {} x \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ | x | = 1 \}

printr-un homeomorfism al avionului. Adică există un homeomorfism

f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}

{\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}

f: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}

astfel încât $f(C)=S^{1}.$ ${\ displaystyle f (C) = S ^ {1}.}$ $f (C) = S ^ {1}.$

Această afirmație este un rezultat mult mai puternic decât teorema curbei Jordan, dar această generalizare nu mai este adevărată în dimensiunile mai mari de 2: sfera Alexander este un contraexemplu în dimensiunea 3. Este o sferă conținută în spațiu, a cărei componentă nelimitată este pur și simplu neconectat .

Bibliografie

Oswald Veblen , Theory on plane curves in non-metrical analysis situs , Transactions of the American Mathematical Society 6 (1905), pp. 83-98.
Ryuji Maehara, Teorema curbei Jordan prin intermediul teoremei punctului fix Brouwer , American Mathematical Monthly 91 (1984), nr. 10, pp. 641–643.

Elemente conexe

Lacurile Wada

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre teorema curbei Jordan

linkuri externe

Material istoric legat de teorema curbei Jordan , pe maths.ed.ac.uk .
O simplă dovadă a teoremei curbei Jordan (PDF)
Site-ul lui Andrew Ranicki dedicat teoremei curbei Jordan , la maths.ed.ac.uk .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică