Teorema dimensiunii pentru spațiile vectoriale

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , teorema dimensiunii pentru spațiile vectoriale afirmă că diferite baze ale aceluiași spațiu vectorial au aceeași cardinalitate , adică sunt alcătuite din același număr de elemente. [1] Cardinalitatea bazei este, de asemenea, egală cu dimensiunea spațiului.

Cu alte cuvinte, fie el un spațiu vector pe un câmp . Lasa-i sa fie Și două baze ale a căror dimensiune este respectiv Și . Atunci . [1]

Demonstrație

Luați în considerare cazul în care bazele au cardinalitate finită. Este absurd să presupunem că există două baze Și din care conțin Și vectori, cu . Scrierea fiecărui vector ca o combinație liniară de vectori ai , coeficienții combinației liniare sunt elemente ale câmpului : deci pentru fiecare vector de avem un vector în (care reprezintă coordonatele sale cu privire la ). Fiind vectorii în număr egal cu , da, ei au transportatori în . Folosind algoritmul Gauss vedem că sistemul liniar omogen :

cu variabile admite soluții non-banale (adică diferite de vectorul nul), deoarece există mai multe necunoscute decât ecuații. Fiecare dintre aceste soluții netriviale oferă o dependență liniară între vectorii de coordonate , ceea ce duce la o relație de dependență între vectorii originali ai . Prin urmare, nu pot forma o bază, contrazicând ipoteza.

Teorema rangului

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: teorema rangului .

Următoarea aplicare a teoremei dimensiunii este uneori numită „teorema dimensiunii” în sine. Este o transformare liniară . Atunci:

Adică dimensiunea este egală cu dimensiunea imaginii plus dimensiunea nucleului .

Notă

  1. ^ a b S. Lang , p . 45 .

Bibliografie

  • Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri, 1992.
  • ( EN ) Howard, P., Rubin, J.: "Consecințele axiomei alegerii" - Matematical Surveys and Monographs , vol 59 (1998) ISSN 0076-5376

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică