Teorema funcției inverse

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , teorema funcției inverse oferă condiții suficiente pentru ca o funcție să posede un invers local, adică pentru a fi inversabilă într-o vecinătate adecvată a unui punct al domeniului său.

Teorema poate fi enunțată pentru funcții reale sau vectoriale și generalizată pentru spații Banach și varietăți diferențiate .

Teorema

Este un deschis și un punct de . De sine este o funcție a clasei C 1 astfel încât determinantul iacobian al în nu este nul:

sau echivalent dacă diferențialul de în :

este un izomorfism liniar , apoi există un vecinătate din astfel încât restricționarea pe :

este inversabil cu elegant pe Tot pentru fiecare relația deține:

O funcție diferențiată care are invers local diferențial se numește difeomorfism local .

Exemplu

Funcția definită pe spațiul euclidian bidimensional:

posedă o matrice iacobiană:

ceea ce este decisiv , nu nul dacă punctul nu este originea. Prin urmare este un difeomorfism local în fiecare punct al diferit de origine. Dar nu este un difeomorfism, deoarece nu este injectiv : de exemplu .

Generalizări

Soiuri diferențiate

Teorema se extinde la cazul funcțiilor dintre două varietăți diferențiate și , necesitând condiția ca diferențialul de :

este un izomorfism liniar între spațiile tangente .

Spații Banach

În contextul spațiilor Banach , teorema ia următoarea formă: dacă este o hartă între spațiile Banach care pot fi diferențiate cu continuitate într-un cartier de 0 și diferențialul este un izomorfism liniar mărginit al în , asa de este inversabil local în 0 prin intermediul unei funcții diferențiabile.

Bibliografie

  • Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elements of Mathematical Analysis two , Publisher Liguori , ISBN 88-207-3137-1
  • Edoardo Sernesi, Geometrie 2, Bollati Boringhieri , ISBN 88-339-5548-6
  • ( EN ) Renardy, Michael și Rogers, Robert C., O introducere la ecuațiile diferențiale parțiale , Texte în matematică aplicată 13, Second, New York, Springer-Verlag, 2004, pp. 337–338, ISBN 0-387-00444-0 .
  • ( EN ) Walter Rudin , Principiile analizei matematice , International Series in Pure and Applied Mathematics, Third, New York, McGraw-Hill Book Co., 1976, pp. 221–223.

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică