Teorema energiei cinetice

În fizică , teorema energiei cinetice (sau teorema muncii-energie sau teorema forțelor vii ) afirmă că, dacă un corp are o energie cinetică inițială și o forță acționează asupra ei prin efectuarea muncii , energia cinetică finală a corpului este egală cu suma energiei cinetice inițiale și a muncii efectuate de forță de-a lungul traiectoriei mișcării.

K_{i}+L=K_{f}\implies L=K_{f}-K_{i}=\Delta K

{\ displaystyle K_ {i} + L = K_ {f} \ implică L = K_ {f} -K_ {i} = \ Delta K}

{\ displaystyle K_ {i} + L = K_ {f} \ implică L = K_ {f} -K_ {i} = \ Delta K}

Este important să subliniem că teorema este valabilă și pentru forțe care variază în funcție de timp sau de poziție, pentru sisteme cu masă constantă. ^[1]

Originea numelui

În cele mai vechi timpuri se numea „vis viva” , adică „forță vie” , produsul masei de ori pătratul vitezei . ^[2]

Primul care a introdus această denumire a fost Leibniz ( 1646 - 1716 ), un celebru matematician și om de știință german, care în „Specimen Dynamicum” său contrastează două tipuri de forțe. Una dintre acestea este „vis mortua” , adică forța pe care o posedă un corp pentru a începe să se miște în timp ce este în repaus și care corespunde conceptual cu energia potențială a unui corp. Cealaltă forță care i se opune este tocmai „vis viva” , mai semnificativă din punct de vedere al dinamicii , care este determinată de capacitatea unui corp de a provoca efecte asupra sistemului ca urmare a mișcării acestuia. Această forță, potrivit lui Leibniz, este conservată atât în cazul particular al coliziunii dintre două corpuri ^{[3], cât} și în sistemul global în general. ^[4]

De aici și denumirea de „teorema forțelor vii” , utilizată în unele texte de fizică vechi în loc de denumirea mai recentă de „teorema energiei cinetice” .

Dovada teoremei

Teorema este practic o consecință a celei de-a doua legi a dinamicii . ^[1] Să ${\textstyle \mathbf {F} }$ ${\ textstyle \ mathbf {F}}$ ${\ textstyle \ mathbf {F}}$ forța rezultată acționând asupra unui punct material de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ . Conform celui de-al doilea principiu al dinamicii, forța este proporțională cu rata de schimbare a impulsului ${\textstyle \mathbf {q} }$ ${\ textstyle \ mathbf {q}}$ ${\ textstyle \ mathbf {q}}$ la timp:

\mathbf {F} ={\frac {\operatorname {d} \!\mathbf {q} }{\operatorname {d} \!t}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ operatorname {d} \! \ mathbf {q}} {\ operatorname {d} \! t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ operatorname {d} \! \ mathbf {q}} {\ operatorname {d} \! t}}}

Să considerăm acum lucrarea infinitesimală în acest sens. Avem:

\operatorname {d} \!L=\mathbf {F} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {x} ={\frac {\operatorname {d} \!\mathbf {q} }{\operatorname {d} \!t}}\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {x} ={\frac {\operatorname {d} \!\mathbf {x} }{\operatorname {d} \!t}}\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {q} =\mathbf {v} \cdot \operatorname {d} (m\mathbf {v} )

{\ displaystyle \ operatorname {d} \! L = \ mathbf {F} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {x} = {\ frac {\ operatorname {d} \! \ mathbf {q}} { \ operatorname {d} \! t}} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {x} = {\ frac {\ operatorname {d} \! \ mathbf {x}} {\ operatorname {d} \! t}} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {q} = \ mathbf {v} \ cdot \ operatorname {d} (m \ mathbf {v})}

{\ displaystyle \ operatorname {d} \! L = \ mathbf {F} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {x} = {\ frac {\ operatorname {d} \! \ mathbf {q}} { \ operatorname {d} \! t}} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {x} = {\ frac {\ operatorname {d} \! \ mathbf {x}} {\ operatorname {d} \! t}} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {q} = \ mathbf {v} \ cdot \ operatorname {d} (m \ mathbf {v})}

Dacă masa sistemului este constantă în timp: ^[5]

{\frac {\operatorname {d} \!m}{\operatorname {d} \!t}}=0\rightarrow \operatorname {d} \!L=m\mathbf {v} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {v} =\operatorname {d} \!{\left({\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}\right)}=\operatorname {d} \!K

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \! m} {\ operatorname {d} \! t}} = 0 \ rightarrow \ operatorname {d} \! L = m \ mathbf {v} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {v} = \ operatorname {d} \! {\ left ({\ frac {m \ mathbf {v} ^ {2}} {2}} \ right)} = \ operatorname {d } \! K}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \! m} {\ operatorname {d} \! t}} = 0 \ rightarrow \ operatorname {d} \! L = m \ mathbf {v} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {v} = \ operatorname {d} \! {\ left ({\ frac {m \ mathbf {v} ^ {2}} {2}} \ right)} = \ operatorname {d } \! K}

aceasta este variația infinitesimală a energiei cinetice (definită ca $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ ) după o clipă de timp este egal cu munca elementară a forței rezultate.

O altă demonstrație

O dovadă alternativă a teoremei ia în considerare consecința celei de-a doua legi a dinamicii , conform căreia într-un sistem cu masă inerțială constantă în timp, forța $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ imprimat pe un corp de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este direct proporțională cu accelerația $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf {a}$ a corpului cu constantă de proporționalitate egală cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ .

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}$ ${\ mathbf {F}} = m {\ mathbf {a}}$

În acest fel avem:

\mathrm {d} L=m\mathbf {a} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}

{\ displaystyle \ mathrm {d} L = m \ mathbf {a} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} L = m \ mathbf {a} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r}}

unde este $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ corespunde deplasării . Având în vedere produsul dot $\mathbf {a} \cdot d\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot d \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot d \ mathbf {r}}$ în ceea ce privește componentele, obținem:

m\left(\mathbf {a} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=m\left(a_{x}\,\mathrm {d} x+a_{y}\,\mathrm {d} y+a_{z}\,\mathrm {d} z\right)

{\ displaystyle m \ left (\ mathbf {a} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} \ right) = m \ left (a_ {x} \, \ mathrm {d} x + a_ {y} \ , \ mathrm {d} y + a_ {z} \, \ mathrm {d} z \ right)}

{\ displaystyle m \ left (\ mathbf {a} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} \ right) = m \ left (a_ {x} \, \ mathrm {d} x + a_ {y} \ , \ mathrm {d} y + a_ {z} \, \ mathrm {d} z \ right)}

Concentrându-se inițial doar pe primul termen $a_{x}dx$ ${\ displaystyle a_ {x} dx}$ ${\ displaystyle a_ {x} dx}$ , ținând cont de faptul că $a_{x}={\tfrac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}$ ${\ displaystyle a_ {x} = {\ tfrac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle a_ {x} = {\ tfrac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}}}$ Și $v_{x}={\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$ ${\ displaystyle v_ {x} = {\ tfrac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle v_ {x} = {\ tfrac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}$ avem:

ma_{x}\,\mathrm {d} x=m{\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}v_{x}\,\mathrm {d} t=mv_{x}\left({\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}\right)\mathrm {d} t

{\ displaystyle ma_ {x} \, \ mathrm {d} x = m {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} v_ {x} \, \ mathrm {d } t = mv_ {x} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} \ right) \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle ma_ {x} \, \ mathrm {d} x = m {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} v_ {x} \, \ mathrm {d } t = mv_ {x} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} \ right) \ mathrm {d} t}

Al doilea membru al egalității anterioare poate fi rescris ca produs al derivatului de ${\tfrac {1}{2}}v_{x}^{2}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} v_ {x} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} v_ {x} ^ {2}}$ în ceea ce privește timpul și masa $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ :

m{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}v_{x}^{2}\right)\mathrm {d} t=m{\frac {1}{2}}\cdot 2v_{x}\left({\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}\right)\mathrm {d} t=mv_{x}\left({\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}\right)\mathrm {d} t

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {1} {2}} v_ {x} ^ {2} \ right) \ mathrm { d} t = m {\ frac {1} {2}} \ cdot 2v_ {x} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} \ right) \ mathrm {d} t = mv_ {x} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} \ right) \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {1} {2}} v_ {x} ^ {2} \ right) \ mathrm { d} t = m {\ frac {1} {2}} \ cdot 2v_ {x} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} \ right) \ mathrm {d} t = mv_ {x} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} \ right) \ mathrm {d} t}

Prin urmare:

ma_{x}\,\mathrm {d} x=mv_{x}\left({\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}\right)dt=m{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(v_{x}^{2})\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle ma_ {x} \, \ mathrm {d} x = mv_ {x} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} \ right) dt = m {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (v_ {x} ^ {2}) \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle ma_ {x} \, \ mathrm {d} x = mv_ {x} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} \ right) dt = m {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (v_ {x} ^ {2}) \, \ mathrm {d} t}

Revenind la formula inițială a infinitesimalului de lucru și rescriind termenii în $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ similar cu termenii din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$

{\begin{aligned}m\mathbf {a} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=ma_{x}\,\mathrm {d} x+ma_{y}\,\mathrm {d} y+ma_{z}\,\mathrm {d} z\\&={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(v_{x}^{2})+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(v_{y}^{2})+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(v_{z}^{2})\right)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}m{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}m{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {v} ^{2}\right)\,\mathrm {d} t\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} m \ mathbf {a} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} & = ma_ {x} \, \ mathrm {d} x + ma_ {y} \, \ mathrm {d} y + ma_ {z} \, \ mathrm {d} z \\ & = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} (v_ {x} ^ {2}) + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (v_ {y} ^ {2}) + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (v_ {z} ^ {2}) \ right) \, \ mathrm {d} t \\ & = {\ frac {1} {2}} m {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2} \ right ) \, \ mathrm {d} t \\ & = {\ frac {1} {2}} m {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (\ mathbf {v } ^ {2} \ right) \, \ mathrm {d} t \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} m \ mathbf {a} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} & = ma_ {x} \, \ mathrm {d} x + ma_ {y} \, \ mathrm {d} y + ma_ {z} \, \ mathrm {d} z \\ & = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} (v_ {x} ^ {2}) + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (v_ {y} ^ {2}) + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (v_ {z} ^ {2}) \ right) \, \ mathrm {d} t \\ & = {\ frac {1} {2}} m {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2} \ right ) \, \ mathrm {d} t \\ & = {\ frac {1} {2}} m {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (\ mathbf {v } ^ {2} \ right) \, \ mathrm {d} t \\\ end {align}}}

in aceea $\mathbf {v} ^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} ^ {2} = v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} ^ {2} = v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}$ . Deci, din nou, cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ constantă în timp, avem: ^[6]

dL=m\mathbf {a} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} \left({\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}\right)=\mathrm {d} K

{\ displaystyle dL = m \ mathbf {a} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ mathrm {d} \ left ({\ frac {m \ mathbf {v} ^ {2}} {2} } \ right) = \ mathrm {d} K}

{\ displaystyle dL = m \ mathbf {a} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ mathrm {d} \ left ({\ frac {m \ mathbf {v} ^ {2}} {2} } \ right) = \ mathrm {d} K}

Având în vedere intervalele de timp finite, aceasta înseamnă că munca efectuată de forță $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ când corpul trece de la o stare inițială la o stare finală, este egal cu schimbarea energiei cinetice a corpului.

L=\Delta K={\frac {m}{2}}{(v_{f}^{2}-v_{i}^{2})}

{\ displaystyle L = \ Delta K = {\ frac {m} {2}} {(v_ {f} ^ {2} -v_ {i} ^ {2})}}

{\ displaystyle L = \ Delta K = {\ frac {m} {2}} {(v_ {f} ^ {2} -v_ {i} ^ {2})}}

Observații

Dacă asupra unui punct material acționează diferite forțe, astfel încât rezultanta este ${\textstyle {\overline {f}}_{ris}=\sum _{i=1}^{n}{\overline {f}}_{i}}$ ${\ textstyle {\ overline {f}} _ {ris} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ overline {f}} _ {i}}$ ${\ textstyle {\ overline {f}} _ {ris} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ overline {f}} _ {i}}$ , atunci munca sa este egală cu suma muncii desfășurate de forțele individuale. Deci avem ${\textstyle L_{i}=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\overline {f}}_{i}\cdot dr}$ ${\ textstyle L_ {i} = \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} {\ overline {f}} _ {i} \ cdot dr}$ ${\ textstyle L_ {i} = \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} {\ overline {f}} _ {i} \ cdot dr}$ ;
În cazul în care mișcarea corpului este, moment cu moment, ortogonală cu forța ${\overline {f}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ overline {f}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ overline {f}} _ {i}}$ , lucrarea corespunzătoare ${\overline {L}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ overline {L}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ overline {L}} _ {i}}$ este nulă: informații care, în aplicațiile teoremei, vor fi utilizate pe scară largă;
Dacă deplasarea corpului are o componentă paralelă și este de acord cu forța rezultată, se poate observa că ${\overline {f}}_{ris}\cdot d{\overline {r}}>0$ ${\ displaystyle {\ overline {f}} _ {ris} \ cdot d {\ overline {r}}> 0}$ ${\ displaystyle {\ overline {f}} _ {ris} \ cdot d {\ overline {r}}> 0}$ și, prin urmare, energia cinetică crește; invers, dacă componenta paralelă este opusă forței rezultate, energia cinetică scade. De exemplu, forțele de frecare dinamică și rezistență ale vehiculului sunt întotdeauna direcționate în direcția opusă vitezei și, în consecință, duc la o scădere a energiei cinetice a corpului care suferă acțiunea lor. ^[7]

Versiune diferențială a teoremei

Teorema este adesea enunțată în formă integrală:

\Delta K=L

{\ displaystyle \ Delta K = L}

{\ displaystyle \ Delta K = L}

Cu toate acestea, poate fi exploatată forma echivalentă, numită diferențială, care ia în considerare derivata în ceea ce privește timpul termenilor anteriori:

{\dot {K}}=\Pi

{\ displaystyle {\ dot {K}} = \ Pi}

{\ displaystyle {\ dot {K}} = \ Pi}

Unde este $\Pi$ ${\ displaystyle \ Pi}$ ${\ displaystyle \ Pi}$ reprezintă puterea forțelor care acționează asupra sistemului e ${\dot {K}}$ ${\ displaystyle {\ dot {K}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {K}}}$ primul derivat al energiei cinetice în raport cu timpul.

Această formă este utilizată pe scară largă în mecanica rațională și inginerie pentru a obține ecuația de mișcare a unui sistem cu un singur grad de libertate , în prezența constrângerilor fixe.

Aplicații ale teoremei

Mișcare unidimensională cu forțe dependente de poziție

Luați în considerare un punct material care se deplasează de-a lungul unei traiectorii rectilinii (căreia îi corespundem axa x), supus unor forțe care depind doar de poziția sa. Să presupunem că mișcarea pe care o luăm în considerare are loc în intervalul de timp $[t_{i},t_{f}]$ ${\ displaystyle [t_ {i}, t_ {f}]}$ ${\ displaystyle [t_ {i}, t_ {f}]}$ , și că este descris de legea orară x (t). Cu aceste condiții, vedem că toate forțele aplicate corpului sunt, de asemenea, direcționate de-a lungul axei x, iar lucrarea este exprimată ca

L=\int _{t_{i}}^{t_{f}}f_{ris}(x(t)){\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle L = \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} f_ {ris} (x (t)) {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d } t}} \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle L = \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} f_ {ris} (x (t)) {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d } t}} \, \ mathrm {d} t}

Atâta timp cât ${\tfrac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t=dx$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} \, \ mathrm {d} t = dx}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} \, \ mathrm {d} t = dx}$ , putem schimba variabila de integrare din taxă, obținând

L=\int _{x_{i}}^{x_{f}}f_{ris}\,\mathrm {d} x

{\ displaystyle L = \ int _ {x_ {i}} ^ {x_ {f}} f_ {ris} \, \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle L = \ int _ {x_ {i}} ^ {x_ {f}} f_ {ris} \, \ mathrm {d} x}

Prin urmare, munca efectuată de forțele aplicate depinde doar de pozițiile inițiale și finale ale corpului în intervalul de timp considerat. Presupunând că -U (x) este o primitivă a $f_{ris}(x)$ ${\ displaystyle f_ {ris} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {ris} (x)}$ :

-{\frac {\mathrm {d} U(x)}{\mathrm {d} x}}=f_{ris}(x)

{\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} U (x)} {\ mathrm {d} x}} = f_ {ris} (x)}

{\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} U (x)} {\ mathrm {d} x}} = f_ {ris} (x)}

Atunci

L=\int _{x_{i}}^{x_{f}}f_{ris}(x)\,\mathrm {d} x=U(x_{i})-U(x_{f})

{\ displaystyle L = \ int _ {x_ {i}} ^ {x_ {f}} f_ {ris} (x) \, \ mathrm {d} x = U (x_ {i}) - U (x_ {f })}

{\ displaystyle L = \ int _ {x_ {i}} ^ {x_ {f}} f_ {ris} (x) \, \ mathrm {d} x = U (x_ {i}) - U (x_ {f })}

unde este $x_{i,f}=x(t_{i,f})$ ${\ displaystyle x_ {i, f} = x (t_ {i, f})}$ ${\ displaystyle x_ {i, f} = x (t_ {i, f})}$ .

Prin urmare, teorema energiei cinetice impune acest lucru

K_{f}-K_{i}=U(x_{i})-U(x_{f})

{\ displaystyle K_ {f} -K_ {i} = U (x_ {i}) - U (x_ {f})}

{\ displaystyle K_ {f} -K_ {i} = U (x_ {i}) - U (x_ {f})}

Adică

K_{f}+U(x_{f})=K_{i}+U(x_{i})

{\ displaystyle K_ {f} + U (x_ {f}) = K_ {i} + U (x_ {i})}

{\ displaystyle K_ {f} + U (x_ {f}) = K_ {i} + U (x_ {i})}

Atâta timp cât $t_{f}$ ${\ displaystyle t_ {f}}$ $t_f$ Și $t_{i}$ ${\ displaystyle t_ {i}}$ $tu$ sunt arbitrare, obținem asta

K(t)+U(x(t))=E={\text{costante}}

{\ displaystyle K (t) + U (x (t)) = E = {\ text {constant}}}

{\ displaystyle K (t) + U (x (t)) = E = {\ text {constant}}}

Am evidențiat o cantitate care rămâne constantă în timpul mișcării corpului. Această cantitate se numește energie mecanică și este alcătuită din suma energiei cinetice K și U (x), care se numește energie potențială . ^[8]

Cazul corpului în cădere liberă

Dacă aruncați un obiect în jos, singura forță care acționează asupra acestuia este forța de greutate $\mathbf {P} =m\mathbf {g}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} = m \ mathbf {g}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} = m \ mathbf {g}}$ , care are aceeași direcție și aceeași direcție ca și traiectoria obiectului, prin urmare lucrarea produsă este pozitivă. Conform teoremei forțelor vii, și energia cinetică ar trebui să crească, de fapt acest lucru se întâmplă deoarece viteza crește. Dacă, pe de altă parte, obiectul este aruncat vertical în sus, apare opusul: lucrarea devine negativă, deoarece forța de greutate are aceeași direcție, dar opusă deplasării , iar viteza scade în timpul mișcării. De asemenea, în acest caz, prin urmare, teorema este confirmată. ^[9]

Corp care alunecă pe un plan înclinat

Dacă un corp este supus unor constrângeri netede și independente de timp, cum ar fi cazul alunecării pe un plan înclinat, acesta va supune planul însuși unei acțiuni, datorită greutății sale. Se poate vedea că va exista o componentă a forței de greutate în raport cu corpul care va acționa într-o direcție normală la suprafață; în acest fel, pentru al treilea principiu al dinamicii, planul înclinat va opune reacții de constrângere de modul egale cu această componentă. În consecință, forțele de constrângere, fiind normale la suprafață și, prin urmare, la traiectorie, nu funcționează. ^[7]

Corpul în mișcare circulară uniformă

În mișcare circulară uniformă, viteza tangențială a corpului în mișcare este constantă în modul , prin urmare, deoarece masa este, de asemenea, constantă, energia sa cinetică nu variază. Din acest motiv, în consecință, conform teoremei energiei cinetice, forța centripetă care acționează asupra corpului nu funcționează. Acest lucru se constată din faptul că forța și direcția mișcării sunt perpendiculare una pe cealaltă, prin urmare generează zero lucru. ^[9]

Notă

^ ^A ^b (EN) Energia cinetică și teorema muncii-energie , pe courses.lumenlearning.com. Adus pe 21 iulie 2017 .
^ forță vie pe Treccani .
^ Este luat în considerare și cazul coliziunii inelastice. De fapt, Leibniz consideră că fiecare corp este format din infinite părți mici, prin urmare, atunci când se ciocnește cu alte corpuri, vis-viva care îl constituie este transferat la rândul său în fiecare parte a corpului, atât de mult încât forța vie finală a componenta majoră este mai mică decât cea a corpului înainte de impact.
^ Jeffrey K. McDonough, Leibniz's Philosophy of Physics , 17 decembrie 2007. Accesat la 12 mai 2019 .
^ Mazzoldi și voci , p. 144 .
^ Gianni Vannini, Gettys Physics 1: mechanics, thermodynamics , ed. A 4-a, McGraw-Hill, 2011, p. 168.
^ ^a ^b Teorema energiei cinetice ( PDF ), pe peliti.org , p. 2. Adus pe 5/12/19 .
^ Teorema energiei cinetice ( PDF ), pe peliti.org , pp. 2-3. Adus 2019-5-12 .
^ ^a ^b Halliday, Walker și Cicala , pp. 154-155 .

Bibliografie

David Halliday, Jearl Walker și Lanfranco Cicala, Fundamentals of physics: Mechanics, terminology, electrology, magnetism, optics , ed. A VI-a, Casa Editrice Ambrosiana, 2006, pp. 154-155, ISBN 9788808087973 .
Paolo Mazzoldi și Cesare Voci, Fizică. 1, Mecanică, termodinamică , ediția a II-a, EdiSES, 1998, ISBN 8879591371 .
Vannini, Gianni, Gettys Physics 1: mechanics, thermodynamics , McGraw-Hill, 2011, p. 168, ISBN 9788838660009 .

Elemente conexe

linkuri externe

Forza Viva , pe treccani.it . Adus pe 21 iulie 2017 .
(EN) Energia cinetică și teorema muncii-energie , de la courses.lumenlearning.com. Adus pe 21 iulie 2017 .

[work-1] A ^b (EN) Energia cinetică și teorema muncii-energie , pe courses.lumenlearning.com. Adus pe 21 iulie 2017 .

[treccani-2] rță vie pe Treccani .

[3] Este luat în considerare și cazul coliziunii inelastice. De fapt, Leibniz consideră că fiecare corp este format din infinite părți mici, prin urmare, atunci când se ciocnește cu alte corpuri, vis-viva care îl constituie este transferat la rândul său în fiecare parte a corpului, atât de mult încât forța vie finală a componenta majoră este mai mică decât cea a corpului înainte de impact.

[4] Jeffrey K. McDonough, Leibniz's Philosophy of Physics , 17 decembrie 2007. Accesat la 12 mai 2019 .

[5] Mazzoldi și voci , p. 144 .

[6] Gianni Vannini, Gettys Physics 1: mechanics, thermodynamics , ed. A 4-a, McGraw-Hill, 2011, p. 168.

[peliti.org-7] Teorema energiei cinetice ( PDF ), pe peliti.org , p. 2. Adus pe 5/12/19 .

[8] Teorema energiei cinetice ( PDF ), pe peliti.org , pp. 2-3. Adus 2019-5-12 .

[:0-9] Halliday, Walker și Cicala , pp. 154-155 .

[1]

[2]

[3], cât

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]