Teorema lui Abel-Ruffini

Teorema Abel-Ruffini afirmă că nu există o relație generală de soluție exprimabilă prin radicali pentru ecuațiile polinomiale de grad 5 sau mai mare.

Teorema a fost dovedită pentru prima dată de Paolo Ruffini în 1799 , dar dovada sa a fost în general ignorată. Deși conținea un mic decalaj, a fost destul de inovator în utilizarea grupurilor de permutare . Teorema este atribuită și lui Niels Henrik Abel , care a publicat o dovadă în 1824 .

Interpretarea

Conținutul acestei teoreme este adesea neînțeles. Nu afirmă că ecuațiile de grad mai mari decât a patra sunt insolubile. De fapt, toate ecuațiile polinomiale neconstante au o soluție (cel puțin în câmpul numerelor complexe ), așa cum se afirmă în teorema fundamentală a algebrei . Deși astfel de soluții nu pot fi întotdeauna exprimate algebric într-o manieră exactă, ele pot fi calculate până la un grad arbitrar de precizie folosind tehnici numerice precum metoda Newton-Raphson sau metoda Laguerre și, în acest fel, nu diferă de soluții a ecuațiilor polinomiale de gradul II, III și IV. Teorema se referă doar la forma pe care trebuie să o aibă o soluție: soluția unei ecuații de grad mai mari decât a patra nu poate fi întotdeauna exprimată pornind de la coeficienți și folosind doar operații aritmetice și extracții de rădăcini și, prin urmare, nu există o formulă de soluție generică , cum ar fi pentru ecuațiile celui de al doilea , al treilea și al patrulea grad .

Ecuații mai mici de gradul cinci

Soluțiile oricărei ecuații de gradul doi pot fi exprimate în termeni de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și rădăcină pătrată, folosind formula soluției familiare:

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}

{\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac \}}} {2a}}}

x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac \}}} {2a}}

Formule analoage pentru ecuațiile de gradul III și IV , folosind rădăcini cubice și rădăcini al patrulea, sunt cunoscute încă din secolul al XVI-lea .

Clasa a V-a și mai mare

Teorema Abel-Ruffini spune că există câteva ecuații de gradul al cincilea a căror soluție nu poate fi exprimată prin radicali și un exemplu este dat de ecuația $x^{5}-x+1=0$ ${\ displaystyle x ^ {5} -x + 1 = 0}$ $x ^ {5} -x + 1 = 0$ . Cu toate acestea, este important să rețineți că unele ecuații pot fi încă rezolvate folosind radicalii , de exemplu ecuația $x^{5}-x^{4}-x+1=0$ ${\ displaystyle x ^ {5} -x ^ {4} -x + 1 = 0}$ $x ^ {5} -x ^ {4} -x + 1 = 0$ , care este luată în considerare $(x-1)(x-1)(x+1)(x+i)(x-i)=0$ ${\ displaystyle (x-1) (x-1) (x + 1) (x + i) (xi) = 0}$ $(x-1) (x-1) (x + 1) (x + i) (x-i) = 0$ . Un criteriu pentru a determina dacă o ecuație poate fi rezolvată de radicali a fost dat de Évariste Galois și este acum baza teoriei lui Galois : o ecuație polinomială poate fi rezolvată de radicali dacă și numai dacă grupul său Galois este un grup rezolvabil .

Din analiza lui Galois rezultă că motivul pentru care ecuațiile de gradul al doilea, al treilea și al patrulea pot fi rezolvate de radicali este că grupurile simetrice : $S_{2}$ ${\ displaystyle S_ {2}}$ $S_2$ , $S_{3}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$ $S_ {3}$ Și $S_{4}$ ${\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$ sunt grupuri rezolvabile, în timp ce nu există formule analoage pentru ecuații de grad mai mari decât a patra deoarece $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ nu se poate rezolva pentru $n\geq 5$ ${\ displaystyle n \ geq 5}$ $n \ geq 5$ .

Istorie

Paolo Ruffini , Teoria generală a ecuațiilor , 1799

În jurul anului 1770 , Joseph Louis Lagrange a început să pregătească terenul pentru unificarea diferitelor idei care fuseseră folosite până atunci pentru a rezolva ecuațiile, raportându-le la teoria grupurilor de permutare, sub forma rezolvărilor Lagrange . Cu toate acestea, Lagrange nu a reușit să dezvolte o metodă de soluție pentru ecuațiile de gradul cinci și mai sus și a început să presupună că o astfel de metodă nu exista, fără a oferi totuși dovezi concludente. În 1799 , Paolo Ruffini a propus o dovadă a teoremei, totuși aceasta a fost ignorată mult timp și datorită unei lacune. De fapt, Ruffini a presupus că o soluție trebuie să fie în mod necesar o funcție a radicalilor și, în timp ce Cauchy credea că această presupunere era minoră, majoritatea istoricilor cred că dovada nu a fost niciodată completă până când Abel nu a demonstrat această presupunere în 1824 .

Bibliografie

Edgar Dehn , Ecuații algebrice: introducere în teoriile lui Lagrange și Galois , Columbia University Press, 1930, ISBN 0-486-43900-3 .
Nathan Jacobson , Algebra de bază , Dover, 2009, ISBN 978-0-486-47189-1 .
John B. Fraleigh , A First Course in Abstract Algebra Fifth Edition, Addison-Wesley, 1994, ISBN 0-201-59291-6 .
Ian Stewart , Teoria lui Galois , Chapman și Hall, 1973, ISBN 0-412-10800-3 .
Teorema imposibilității lui Abel la Everything2 , pe everything2.net .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică