Teorema lui Binet

În algebra liniară , teorema lui Binet este o teoremă care conectează produsul matricilor pătrate cu determinantul .

Teorema este generalizată prin formula Cauchy-Binet .

Teorema

Lasa-i sa fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ două matrice pătrate cu același număr de rânduri, cu valori într-un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Determinantul produsului între $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este produsul determinantului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru determinantul $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ :

\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B

{\ displaystyle \ det (A \ cdot B) = \ det A \ cdot \ det B}

\ det (A \ cdot B) = \ det A \ cdot \ det B

Aplicații

O matrice este inversabilă dacă și numai dacă are un determinant diferit de zero. Intr-adevar:
- de sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este inversabil atunci există $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ astfel încât $AB=I$ ${\ displaystyle AB = I}$ $AB = I$ , și apoi $\det(A)*\det(B)=\det(I)=1$ ${\ displaystyle \ det (A) * \ det (B) = \ det (I) = 1}$ $\ det (A) * \ det (B) = \ det (I) = 1$ , și apoi $\det(A)$ ${\ displaystyle \ det (A)}$ $\ det (A)$ nu este zero.
- de sine $\det(A)$ ${\ displaystyle \ det (A)}$ $\ det (A)$ nu este zero algoritmul Gauss permite găsirea unui invers.
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este inversabil, atunci:

\det(A^{-1})=(\det A)^{-1}

{\ displaystyle \ det (A ^ {- 1}) = (\ det A) ^ {- 1}}

\ det (A ^ {{- 1}}) = (\ det A) ^ {{- 1}}

Determinantul este invariant prin similitudine : de fapt

\det(MAM^{-1})=\det M\cdot \det A\cdot \det M^{-1}=\det A

{\ displaystyle \ det (MAM ^ {- 1}) = \ det M \ cdot \ det A \ cdot \ det M ^ {- 1} = \ det A}

\ det (MAM ^ {{- 1}}) = \ det M \ cdot \ det A \ cdot \ det M ^ {{- 1}} = \ det A

Determinantul unui endomorfism $f:V\to V$ ${\ displaystyle f: V \ to V}$ $f: V \ to V$ (unde este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu vectorial de dimensiune finită), definit ca determinant al unei matrice asociate față de o bază $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , într-adevăr nu depinde de alegerea $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ : este deci o cantitate intrinsecă de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , pe care îl indicăm cu $\det(f)$ ${\ displaystyle \ det (f)}$ $\ det (f)$ .
Determinantul unei izometrii $f:V\to V$ ${\ displaystyle f: V \ to V}$ $f: V \ to V$ are norma 1. Deci dacă $K=\mathbb {R}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {R}}$ $K = \ R$ determinantul unei izometrii este 1 sau -1.

Bibliografie

( EN ) Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) A Comprehensive Introduction to Linear Algebra , §4.6 Cauchy-Binet theorems, pp 208-14, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema