Teorema Bolzano

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În analiza matematică , teorema lui Bolzano , numită și teorema zero pentru funcțiile continue , asigură existența a cel puțin unei rădăcini de funcții continue reale care își asumă semne opuse la cele două extreme ale unui interval . Teorema a fost dovedită de matematicianul boem Bernard Bolzano .

Afirmație

Să luăm în considerare o funcție continuă. să presupunem că Și au semn opus, adică

Apoi, există cel puțin un punct astfel încât

[1] .

Dovadă (absurd)

Fără pierderea generalității, să zicem . Următoarea dovadă este o dovadă absurdă . Prin urmare, se presupune că este diferit de zero pentru fiecare în interval. Următorul set este definit :

Întregul nu este gol , deoarece conține , Mai mult este limitat de sus de atâta timp cât deci pentru axioma completitudinii realelor există .

Extrema superioară se caracterizează prin aceste două proprietăți

  1. este majoritatea ,
  2. de sine asa de nu este majorant al .

Valoarea este diferit de zero și, prin urmare, este pozitiv sau negativ. În ambele cazuri ajungem la un absurd.

  • De sine , apoi pentru ipotezele iar pentru permanența semnului pe funcții continue există o astfel încât pentru fiecare aparținând în jur merita , dar acest lucru este absurd pentru că este în contrast cu prima proprietate a extremei superioare ;
  • De sine , apoi pentru ipotezele și întotdeauna datorită permanenței semnului pe funcții continue, acesta există astfel încât pentru fiecare aparținând înconjurătorului merita : aceasta este în contrast cu a doua proprietate a limitei superioare.

Demonstrație (cu metoda de bisecție)

Ideea este de a construi o secvență reală care converge într-un punct care apare exact ca fiind zero al funcției date.

Intreaba-te pe tine insuti , .

Atunci defineste-te .

De sine atunci nu mai este nimic de dovedit.

Dacă în schimb intreaba-te pe tine insuti Și ; dimpotrivă, dacă , intreaba-te pe tine insuti Și .

La pasul generic să stabilim inductiv . De sine nu mai este nimic de dovedit, dacă intreaba-te pe tine insuti Și , dacă în schimb intreaba-te pe tine insuti Și .

Cele trei secvențe sunt astfel construite inductiv , Și .

Vezi imediat asta este nedescrescator, nu crește și totuși pentru fiecare (deci pentru teorema secvențelor monotone Și exista finit).

Se observă apoi că , si in consecinta .

Prin urmare , acesta este .

Apoi putem aplica teorema Carabinieri și putem concluziona că: .

Așa să fie atunci această limită comună. Continuitatea funcției ne asigură că .

Cu toate acestea, faptul că este închis asigură că .

Pe de altă parte, prin construcție inductivă avem asta .

Deci putem aplica conservarea teoremei și stării inegalităților:

Prin urmare , în consecință .

De atunci Și nu sunt zerouri ale , trebuie să fie asta , așa cum am vrut.

Evident, teorema susține și în ipoteza că , pur și simplu aplicați procedura văzută a , sigur că zerourile din sunt toate și numai cele din .

Observații

  • În cazul unei funcții strict monotone, teorema spune că zero este unic; dacă nu se face această ipoteză, zerourile pot fi mai multe decât una.
  • Teorema asigură existența zero, deci este doar o condiție suficientă, dar nu necesară. Gândește-te doar la funcție , care nu își asumă valori discordante în dar are încă un zero în
  • Teorema susține în ipoteze mult mai generale asupra setului definitoriu al : atâta timp cât este un spațiu topologic conectat .

Notă

  1. ^ PM Soardi , p. 185 .

Bibliografie

Controlul autorității Tezaur BNCF 4921
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică