Teorema lui Borsuk-Ulam

Teorema Borsuk-Ulam este o teoremă a topologiei . Se afirmă că fiecare funcție continuă dintr-o sferă din spațiul euclidian de aceeași dimensiune trimite cel puțin o pereche de puncte antipodale în același punct.

Teorema este valabilă în toate dimensiunile. În special, cazul $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ este adesea descris în felul următor: în orice moment, pe suprafața Pământului , există întotdeauna două puncte antipodale având aceeași temperatură și aceeași presiune atmosferică (cantități care se presupune că variază continuu pe suprafața Pământului).

Cazul $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ poate fi ilustrat într-un mod analog spunând că pe ecuatorul terestru există întotdeauna o pereche de puncte antipodale care au aceeași temperatură (tot în acest caz, se presupune că temperatura variază continuu de la punct la punct).

Teorema Borsuk-Ulam a fost prima dată conjecturată de Stanislaw Ulam și apoi demonstrată de Karol Borsuk în 1933 .

Teorema

Teorema Borsuk-Ulam spune că pentru fiecare funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ continuum al unei n-sfere în spațiul euclidian a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dimensiuni, există două puncte $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ diametral opuse astfel încât:

f(a)=f(b)\,

{\ displaystyle f (a) = f (b) \,}

f (a) = f (b) \,

Corolari

Teza teoremei Borsuk-Ulam are, în consecință, câteva corolari:

sfera S ^m nu este submersibilă în R ^m . Adică, niciun subset de R ^{m nu} este homeomorf pentru S ^m .
Teorema punctului fix al lui Brouwer poate fi dovedită ca un corolar.
Sunca sandwich - teorema este , de asemenea , un corolar al teoremei: în R ^n, având în vedere n conformitate cu mulțimi compacte C _1, ..., C _n, este întotdeauna posibil de a găsi un hiperplan care împarte fiecare dintre ele în două părți egale măsură .

Bibliografie

( DE ) Karol Borsuk , Drei Sätze über die n -dimensional euklidische Sphäre , in Fond. Matematica. , 20 , 1933, pp. 177-190.

Elemente conexe

V · D · M

Topologie

Concepte de topologie generală

Spațiu topologic · Baza · Prebază · Acoperire ·Axiome de închidere a lui Kuratowski · topologic invariant · raport de finețe · Partiție de unitate · proprietate de intersecție peste
Subseturi	Interval · Deschis · Aproximativ · Închis · Împreună închis local · închis-deschis Împreună · În interior · Închidere · Frontieră · Împreună derivat · Limită Împreună · Perfect Împreună · dens Împreună · Împreună tot mai dens
Puncte	Punct izolat · Punct de acumulare · Punct de adeziune
Funcții	Funcția continuă · homeomorphism · Funcția deschisă · Funcție închis · funcția proprie · Contracția · Retractare · Funcția Germeni · Funcția de suport compact
Succesiuni	Limită · Limita unei secvențe · Succesiune · Rețea · Convergență · Succesiunea lui Cauchy
Teoreme	Weierstrass teorema · Heine-Borel · Tichonov · tub Lema · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punct fix · Borsuk Teorema · Borsuk-Ulam teorema · Teorema lui Jordan · Riemann Mapping Teorema
Aplicații	Topologia de spațiu-timp · Teoria cuantică a câmpurilor topologice · Topologie de rețea · topologiei de control · topologie moleculara

Proprietate

Numerabilitate	Axioma numărabilității · Primul spațiu numărabil · Spațiul separabil · Spațiul secvențial
Separare	Separarea axiomelor · Spațiul T0 · Spațiul T1 · Spațiul Hausdorff · Spațiul regulat · Spațiul Tikhonov · spațiul normal
Compacitate	Compact Space · spațiu paracompact · spațiu local compact · de Lindelof Space · Subspatiul relativ compact · Diving compact
Conexiune	Spațiu conectat · Spațiu conectat simplu
Metrizabilitate	Metric spațiu · spațiu metric complet · spațiu metrizabil · spațiu ultrametric · spațiu pseudometrico · polonez spațiu · normata spațiu · spațiu total limitat
Alte	Spațiul Baire · Spațiul noetherian spațial · spațiul omogen