Teorema lui Clairaut

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Un elipsoid de rotație
Reprezentarea unui cadru de sârmă a unui elipsoid de rotație (sferoid oblat)

Teorema lui Clairaut publicată în Théorie de la figure de la terre, tirée des principes de l’hydrostatique , [1] din 1743, care evidențiază faptul că Pământul este un elipsoid de rotație [2] [3] , este o teoremă generală aplicată sferoide de revoluție și afirmă că în fiecare punct al unei geodezice , trasat pe o suprafață de rotație, produsul razei paralelei de sinusul azimutului geodeziei este constant. Constanta este tipică oricărei geodezii și se numește „constanta Clairaut”. A fost inițial folosit pentru a raporta accelerația gravitației în orice punct de pe suprafața pământului cu poziția sa, permițând pentru prima dată să calculeze elipticitatea Pământului cu măsurători ale gravitației la diferite latitudini .

Formulă

Formula lui Clairaut pentru accelerația gravitației g pe suprafața unui sferoid la latitudinea φ a fost [4] [5] :

unde g_e este valoarea sa la ecuator , r raportul dintre accelerația centrifugă și gravitația la ecuator și f elipticitatea unei secțiuni a Pământului de-a lungul unui meridian , definită ca:

(unde a = semiaxe majoră, b = semiaxe minoră).

Clairaut a derivat formula prin presupunerea că corpul era compus din straturi sferoidale concentrice și coaxiale cu densitate constantă [6] . Această lucrare a fost urmată ulterior de Laplace , care a depășit ipoteza inițială conform căreia suprafețele cu densitate constantă erau sferoide. [7] Stokes a demonstrat teorema mai general în 1849 aplicându-l la orice lege a densității care permite suprafeței externe să fie sferoid în echilibru mecanic . [8] [9] O istorie a subiectului, împreună cu ecuații mai detaliate pentru g pot fi găsite în Khan. [10]

Expresia pentru g de mai sus a fost înlocuită acum de ecuația Somigliana :

unde, pentru Pământ, G = 9.7803267714 ms −2 ; k = 0,00193185138639; și 2 = 0,00669437999013. [11]

Raportul lui Clairaut

O afirmație formală a teoremei în geometria diferențială este, de asemenea, cunoscută sub numele de relația Clairaut : [12]

«Fie γ o geodezică pe o suprafață de revoluție S , fie ρ distanța unui punct S de la axa de rotație și fie ψ unghiul dintre γ și meridianele lui S. Atunci ρ sin ψ este constant de-a lungul lui γ. Dimpotrivă, dacă ρ sin ψ este constant de-a lungul unei curbe γ la suprafață și dacă nici o parte a lui γ nu face parte dintr-o paralelă cu S , atunci γ este geodezică . "

( Andrew Pressley: Geometrie diferențială elementară , p. 183 )

Pressley (p. 185) explică teorema ca o expresie a conservării impulsului unghiular în jurul axei de rotație atunci când o particulă curge de-a lungul unei zone geodezice sub influența reacției de constrângere bilaterală unică care o leagă de suprafață.

Geodezie

Forma sferoidală a Pământului este rezultatul interacțiunii dintre gravitație și forța centrifugă cauzată de rotația Pământului [13] [14] . În Principia sa, Newton a propus că forma de echilibru a unui Pământ omogen și rotativ era un elipsoid de rotație cu elipticitate f = 1/230. [15] [16] Ca rezultat, gravitația crește de la ecuator la poli. Aplicând teorema lui Clairaut, Laplace a reușit să deducă din 15 măsurători ale accelerației gravitației care în schimb f = 1/330. O estimare actuală este intermediară între ele: f = 1 / 298.25642. [17] Pentru o prezentare detaliată a construcției elipsoidului de referință al geodeziei, consultați Chatfield. [18] .

Notă

  1. ^ Din catalogul cărților științifice din biblioteca Royal Society.
  2. ^ Wolfgang Torge, Geodesy : An Introduction , 3rd, Walter de Gruyter, 2001, p. 10, ISBN 3-11-017072-8 .
  3. ^ Edward John Routh, Un tratat de statică analitică cu numeroase exemple , vol. 2, Adamant Media Corporation, 2001, p. 154, ISBN 1-4021-7320-2 . O reeditare a lucrării originale publicată în 1908 de Cambridge University Press.
  4. ^ WW Rouse Ball A Short Account of the History of Mathematics (ediția a IV-a, 1908)
  5. ^ Walter William Rouse Ball, O scurtă relatare a istoriei matematicii , 3, Macmillan, 1901, p. 384.
  6. ^ John Henry Poynting, Joseph John Thompson, Un manual de fizică, Ediția a IV-a , Londra, Charles Griffin & Co., 1907, pp. 22-23.
  7. ^ Isaac Todhunter, A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth from the Time of Newton to the of Laplace , Vol. 2, Elibron Classics, ISBN 1-4021-1717-5 . Reimprimarea ediției originale din 1873 publicată de Macmillan and Co.
  8. ^ Osmond Fisher, Physics of the Earth's Crust , Macmillan and Co., 1889, p. 27.
  9. ^ John Henry Poynting și Joseph John Thomson, Un manual de fizică , C. Griffin, 1907, p. 22.
  10. ^ Dosarul cazului NASA Despre figura de echilibru a pământului de Mohammad A. Khan (1968)
  11. ^ Echiv. 2.57 în notele MIT Earth Atmospheric and Planetary Sciences OpenCourseWare
  12. ^ Andrew Pressley, Geometrie diferențială elementară , Springer, 2001, p. 183, ISBN 1-85233-152-6 .
  13. ^ John P. Vinti, Gim J. Der, Nino L. Bonavito, Orbital and Celestial Mechanics , Progress in astronautics and aeronautics, v. 177, Institutul American de Aeronautică și Astronautică, 1998, p. 171, ISBN 1-56347-256-2 .
  14. ^ Arthur Gordon Webster, Dinamica particulelor și a corpurilor rigide, elastice și fluide: fiind prelegeri despre fizică matematică , BG Teubner, 1904, p. 468.
  15. ^ Isaac Newton: Principia Book III Proposition XIX Problem III, p. 407 în traducerea lui Andrew Motte.
  16. ^ Vezi Principia on-line la Andrew Motte Translation
  17. ^ Tabel 1.1 Standarde numerice IERS (2003) )
  18. ^ Averil B. Chatfield, Fundamentals of High Accuracy Inertial Navigation , Volumul 174 în curs în Astronautică și Aeronautică , Institutul American de Aeronautică și Astronautică, 1997, Capitolul 1, Partea VIII p. 7, ISBN 1-56347-243-0 .

Surse: Topografie și cartografie (Universitatea de Inginerie a Politehnicii din Torino)

Alte proiecte

Adus de la „ https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Theorem_of_Clairaut&oldid=118106719 ”