Teorema lui Gauss-Bonnet
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
Teorema Gauss - Bonnet este o afirmație importantă a geometriei diferențiale , care exprimă relația dintre curbura unei suprafețe și topologia acesteia exprimată prin caracteristica Euler . Își ia numele de la cei doi matematicieni pentru că primul îl dedusese fără a-l publica, al doilea în schimb a publicat un caz particular în 1848 .
Enunțarea teoremei
Este o varietate de margini Riemanniană bidimensională compactă . Se aplică următoarea relație:
- ,
unde este:
- este curbura gaussiană a fiecărui punct al ;
- este curbura geodezică a ;
- este elementul de zonă ;
- este elementul de linie lungă ;
- este caracteristica lui Euler .
Suprafață cu margini netede în secțiuni
Formula poate fi extinsă la cazul în care este continuu și derivabil în bucăți: în acest caz se calculează integralele pentru fiecare porțiune netedă, se adaugă rezultatele obținute și se adaugă unghiurile de rotație ale fiecărei porțiuni netede față de cea anterioară.
Suprafețe fără margini
Pentru suprafețele compacte fără margini, al doilea addend din stânga este zero și teorema devine:
- ,
adică curbura Gaussiană totală este egală cu de două ori caracteristica lui Euler.
Deoarece caracteristica Euler este invariantă sub homeomorfisme , o deformare continuă a suprafeței implică o variație locală a curburii Gaussiene, dar aceste variații în ansamblu se anulează reciproc, păstrând curbura totală neschimbată.
De exemplu, torul are o caracteristică Euler zero, deci curbura sa totală este de asemenea: rezultă că torul nu poate avea curbură peste tot pozitivă sau peste tot negativă.
Suma unghiurilor unui triunghi
Pe o varietate Riemanniană, un triunghi este reprezentat de partea de suprafață închisă de trei geodezii și, prin urmare, are o margine netedă în secțiuni. Caracteristica Euler a triunghiului este 1, în timp ce curbura geodeziei este zero prin definiție. Teorema devine apoi:
- ,
unde este reprezintă unghiurile de rotație ale celor trei geodezice și unghiurile interne corespunzătoare ale triunghiului.
Apoi avem:
- ,
adică suma unghiurilor interne ale unui triunghi este egală cu plus curbura totală închisă de triunghi. În cazul planului, curbura Gauss este zero și suma este egală cu unghiul plat .
Pentru o sferă de rază curbura gaussiană se menține la fiecare punct și curbura totală este , unde este este aria triunghiului. Spus , unghiul solid închis de triunghi, îl avem
,
Adică, suma unghiurilor triunghiului este egală cu un unghi plat plus unghiul solid închis de triunghiul însuși.