Teorema lui Kronecker

Teorema lui Kronecker (sau minori tăiați sau pur și simplu tăiați ) este o teoremă algebră liniară care vă permite să calculați rangul unei matrice .

Într-o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , considerată o submatrică pătrată a ordinii $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ cu alt determinant decât zero, toate submatrixele pătrate de ordine sunt definite ca mărginite $p+1$ ${\ displaystyle p + 1}$ $p + 1$ , obținut prin adăugarea unui rând și a unei coloane de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Dacă toate tivurile au un factor determinant nul, atunci $rk(A)=p$ ${\ displaystyle rk (A) = p}$ ${\ displaystyle rk (A) = p}$ .

Datorită acestei teoreme nu este necesar să verificați toți minorii conținuți într-o matrice, ci doar cei care limitează o ordine minoră $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

Exemplu

Următoarea matrice:

A={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\3&-5&1\\2&-1&3\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & -5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & -5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \ end {pmatrix}}}

are un minor de ordine $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ nu nul:

A_{m}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A_ {m} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A_ {m} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}

Este suficient să luați în considerare tivurile $A_{m}$ ${\ displaystyle A_ {m}}$ ${\ displaystyle A_ {m}}$ , care sunt doar doi dintre cei patru minori ai ordinii $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

\det {\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\3&-5&1\end{pmatrix}}=0

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & -5 & 1 \ end {pmatrix}} = 0}

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & -5 & 1 \ end {pmatrix}} = 0}

\det {\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\2&-1&3\end{pmatrix}}=0

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \ end {pmatrix}} = 0}

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \ end {pmatrix}} = 0}

Prin urmare, acestea sunt nule $rk(A)=2$ ${\ displaystyle rk (A) = 2}$ ${\ displaystyle rk (A) = 2}$ .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema