Teorema lui Laplace

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , în special în algebra liniară , teorema Laplace sau dezvoltarea Laplace , al cărei nume se datorează lui Pierre Simon Laplace , este o formulă care permite calcularea determinantului unei matrice ( pătrată ) cu o procedură recursivă. Dezvoltarea poate fi realizată prin rânduri sau coloane.

Declarații

Să presupunem că avem o matrice pătrată in marime și elemente . Ei se definesc:

  • Matricea , submatricea (de dimensiune ) care se obține din ștergerea fișierului -alea linie și -a coloana.
  • Valoarea , numit minor complementar al elementului .
  • Valoarea , numit cofactor sau complement algebric al elementului .

Prima teoremă a lui Laplace afirmă că determinantul unei matrice pătrate de ordine este egală cu suma produselor elementelor oricărui rând (sau oricărei coloane) pentru complementele algebrice respective. În formule:

indicând cu rândul, cu coloana și recitalul .

A doua teoremă a lui Laplace afirmă că suma produselor elementelor unui rând (sau coloană) de complementele algebrice ale unui alt rând (sau coloană) din aceeași matrice este întotdeauna zero. În formule:

(de sine este prima teoremă și rezultatul este diferit de zero).

Odată cu dezvoltarea lui Laplace se poate verifica, de exemplu, că determinantul unei matrice diagonale este produsul valorilor de pe diagonală, că determinantul unei matrice triunghiulare este încă produsul valorilor de pe diagonală sau că valorile proprii ale unei matrice triunghiulare sunt elementele de pe diagonală.

Demonstrație

Pentru a demonstra că determinantul matricei obținut prin operarea cu rândurile și cel obținut prin operarea cu coloanele sunt același lucru, amintiți-vă . Setat arbitrar apartenență , matricea obținută din înlocuindu-l pe al său -alea linie la -pla:

unde elementul apare în -a poziție. Din:

prin aplicarea iterativă a proprietăților 4 'și 4 "ale determinantului la -alea linie a , noi obținem:

După aceea, tot ce rămâne este să încerci asta variind în

Nici în acest scop matricea obținută din schimbând fiecare rând consecutiv, de la rând la linie , cu următoarea până când se obține o matrice cu în locul identificat de -alea linie și de la -al coloana, toate celelalte elemente ale acelui rând sunt și toate celelalte elemente ale -a coloană sunt cele ale . în acest fel minorul a fost izolat .

Minorul fiind un astfel de minor complementar de în . Acum observă că dacă indică subgrupul de constituit de permutare aparținând astfel încât , aplicația care se asociază fiecăruia aparținând restricția sa a definește o bijecție între Și unde permutațiile corespunzătoare au același semn. Prin urmare, locul , atâta timp cât și, pentru fiecare apartenență la , primesti:

Atâta timp cât se obține din cu schimburi de rânduri ed schimburi de coloane, din proprietatea 2 a determinantului avem:

Așa cum a fost menit să demonstreze.

Exemplu de calcul

Să calculăm determinantul următoarei matrice pătrate de ordinul trei:

  • Începeți alegând în mod arbitrar un rând sau o coloană a matricei împotriva căreia să dezvoltați formula. Să presupunem că am ales prima linie: ;
  • Fiecare număr al liniei selectate este înmulțit cu complementul algebric respectiv. Prin urmare:
  • Determinantul matricei inițiale este dat de suma produselor anterioare și este valid: .
  • Rezultatul obținut este independent de rândul sau coloana aleasă inițial. De exemplu, folosind ultimul rând al matricei, care prin conținerea unui zero ajută la simplificarea în continuare a calculelor, obținem de fapt:

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică