Teorema lui Millman

Teorema lui Millman (de la numele creatorului său Jacob Millman ) se aplică rețelelor electrice - în curent continuu sau alternativ - binodale sau constând din n ramuri toate derivate din două noduri. Formularea sa derivă dintr-un caz particular al metodei de rezolvare a rețelelor electrice cunoscută ca potențial la noduri .

Se afirmă că

„The Tensiunea la capetele Bipole rețelei este dată de raportul dintre suma algebrică a scurtcircuitului curenții ramurilor individuale și suma conductanțele ale fiecărei ramuri“.

În formule:

V={\frac {\sum \limits _{k}\,i_{c.c.,k}}{\sum \limits _{k}\,G_{k}}}

{\ displaystyle V = {\ frac {\ sum \ limits _ {k} \, i_ {cc, k}} {\ sum \ limits _ {k} \, G_ {k}}}}

{\ displaystyle V = {\ frac {\ sum \ limits _ {k} \, i_ {c.c., k}} {\ sum \ limits _ {k} \, G_ {k}}}}

unde sumările sunt extinse la toate ramurile.

Circuit binodal

În circuitul binodal din figură, având în vedere generatoarele sub formă de generatoare de curent, există o singură ecuație de potențial la noduri:

V_{AB}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}\right)=Ic_{1}+Ic_{2}+\cdots +Ic_{n}

{\ displaystyle V_ {AB} \ left ({\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {R_ { n}}} \ right) = Ic_ {1} + Ic_ {2} + \ cdots + Ic_ {n}}

{\ displaystyle V_ {AB} \ left ({\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {R_ { n}}} \ right) = Ic_ {1} + Ic_ {2} + \ cdots + Ic_ {n}}

(Formula 1).

în cazul în care Ic _i este curentul care curge în ramura I - lea. Vb , ca potențial de referință, are o valoare zero: $Vab=Va-Vb=Va$ ${\ displaystyle Vab = Va-Vb = Va}$ ${\ displaystyle Vab = Va-Vb = Va}$ . (Formula 1) poate fi rescrisă ca:

V_{AB}={\frac {Ic_{1}+Ic_{2}+\cdots +Ic_{n}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}}}

{\ displaystyle V_ {AB} = {\ frac {Ic_ {1} + Ic_ {2} + \ cdots + Ic_ {n}} {{\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1 } {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {R_ {n}}}}}}

{\ displaystyle V_ {AB} = {\ frac {Ic_ {1} + Ic_ {2} + \ cdots + Ic_ {n}} {{\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1 } {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {R_ {n}}}}}}

care este formula care permite calcularea directă a tensiunii la capetele AB ale rețelei și expresia analitică a teoremei lui Millmann.

Curenții Ic1, Ic2, Icn pot fi rescriși ca mai jos, în cazul în care generatoarele în cauză sunt generatoare de tensiune:

V_{AB}={\frac {{\frac {E_{1}}{R_{1}}}+{\frac {E_{2}}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {E_{n}}{R_{n}}}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}}}

{\ displaystyle V_ {AB} = {\ frac {{\ frac {E_ {1}} {R_ {1}}} + {\ frac {E_ {2}} {R_ {2}}} + \ cdots + { \ frac {E_ {n}} {R_ {n}}}} {{\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {R_ {n}}}}}}

{\ displaystyle V_ {AB} = {\ frac {{\ frac {E_ {1}} {R_ {1}}} + {\ frac {E_ {2}} {R_ {2}}} + \ cdots + { \ frac {E_ {n}} {R_ {n}}}} {{\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {R_ {n}}}}}}

În această ultimă expresie se înțelege de ce suma algebrică a curenților de scurtcircuit ai ramurilor individuale este enunțată în enunțul teoremei: de fapt, expresia din numeratorul formulei de mai sus definește curenții din diferitele ramuri dacă fiecare dintre ele au fost scurtcircuitate (adică dacă nodurile A și B au fost scurtcircuitate).

Schema pentru formularea alternativă a teoremei lui Millman

Formulare alternativă

Fie e _k generatorii de tensiune și _{m sunt} generatorii de curent.

Fie R _i rezistențele de pe ramuri fără generatoare.

Fie R _k rezistențele de pe ramuri cu generatoarele de tensiune.

Fie R _m rezistențele de pe ramuri cu generatoarele de curent.

Teorema lui Millman afirmă că tensiunea la bornele circuitului este dată de:

v={\frac {\sum _{}{\frac {\pm e_{k}}{R_{k}}}+\sum _{}\pm a_{m}}{\sum _{}{\frac {1}{R_{k}}}+\sum _{}{\frac {1}{R_{i}}}}}

{\ displaystyle v = {\ frac {\ sum _ {} {\ frac {\ pm e_ {k}} {R_ {k}}} + \ sum _ {} \ pm a_ {m}} {\ sum _ { } {\ frac {1} {R_ {k}}} + \ sum _ {} {\ frac {1} {R_ {i}}}}}

{\ displaystyle v = {\ frac {\ sum _ {} {\ frac {\ pm e_ {k}} {R_ {k}}} + \ sum _ {} \ pm a_ {m}} {\ sum _ { } {\ frac {1} {R_ {k}}} + \ sum _ {} {\ frac {1} {R_ {i}}}}}

Componente care nu influențează teorema lui Millman

Rezistențe care pot fi neglijate atunci când se aplică teorema lui Millman

Totuși, teorema lui Millman poate fi aplicată și atunci când există componente suplimentare care, totuși, nu afectează curentul care intră în nodurile pe care se aplică teorema. Cazurile sunt:

impedanță în paralel cu un generator de tensiune aparținând unei părți Thevenin transformabile ;
impedanță care unește două ramuri ambele conținând un generator de tensiune;
impedanță în serie la un generator de curent.

Demonstrație

Conform legii curenților lui Kirchhoff, suma algebrică a curenților dintr-un nod este zero.

$Ic_{1}+Ic_{2}+\cdots +Ic_{n}=0$ ${\ displaystyle Ic_ {1} + Ic_ {2} + \ cdots + Ic_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle Ic_ {1} + Ic_ {2} + \ cdots + Ic_ {n} = 0}$

Să presupunem inițial că toate ramurile conțin un rezistor în serie cu un generator de tensiune, în acest caz curenții pot fi scrise ca:

$Ic_{i}={\frac {V_{AB}-E_{i}}{R_{i}}}$ ${\ displaystyle Ic_ {i} = {\ frac {V_ {AB} -E_ {i}} {R_ {i}}}}$ ${\ displaystyle Ic_ {i} = {\ frac {V_ {AB} -E_ {i}} {R_ {i}}}}$

Se obține substituirea în legea lui Kirchhoff

${\frac {V_{AB}-E_{1}}{R_{1}}}+{\frac {V_{AB}-E_{2}}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {V_{AB}-E_{n}}{R_{n}}}={\frac {V_{AB}}{R_{1}}}-{\frac {E_{1}}{R_{1}}}+{\frac {V_{AB}}{R_{2}}}-{\frac {E_{2}}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {V_{AB}}{R_{n}}}-{\frac {E_{n}}{R_{n}}}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {V_ {AB} -E_ {1}} {R_ {1}}} + {\ frac {V_ {AB} -E_ {2}} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {V_ {AB} -E_ {n}} {R_ {n}}} = {\ frac {V_ {AB}} {R_ {1}}} - {\ frac {E_ {1}} {R_ {1}}} + {\ frac {V_ {AB}} {R_ {2}}} - {\ frac {E_ {2}} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {V_ {AB }} {R_ {n}}} - {\ frac {E_ {n}} {R_ {n}}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {V_ {AB} -E_ {1}} {R_ {1}}} + {\ frac {V_ {AB} -E_ {2}} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {V_ {AB} -E_ {n}} {R_ {n}}} = {\ frac {V_ {AB}} {R_ {1}}} - {\ frac {E_ {1}} {R_ {1}}} + {\ frac {V_ {AB}} {R_ {2}}} - {\ frac {E_ {2}} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {V_ {AB }} {R_ {n}}} - {\ frac {E_ {n}} {R_ {n}}} = 0}$

Luând $V_{AB}$ ${\ displaystyle V_ {AB}}$ ${\ displaystyle V_ {AB}}$ cu factor comun și aducând termenii care conțin generatoare de tensiune la al doilea membru obținem:

$V_{AB}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}\right)={\frac {E_{1}}{R_{1}}}+{\frac {E_{2}}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {E_{n}}{R_{n}}}$ ${\ displaystyle V_ {AB} \ left ({\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {R_ { n}}} \ right) = {\ frac {E_ {1}} {R_ {1}}} + {\ frac {E_ {2}} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {E_ {n}} {R_ {n}}}}$ ${\ displaystyle V_ {AB} \ left ({\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {R_ { n}}} \ right) = {\ frac {E_ {1}} {R_ {1}}} + {\ frac {E_ {2}} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {E_ {n}} {R_ {n}}}}$

și deci rezultatul.

Dacă într-una sau mai multe ramuri există un generator de curent, este evident că curentul care ajunge la nod corespunde curentului generatorului, deci formula devine:

$V_{AB}={\frac {{\frac {E_{1}}{R_{1}}}+{\frac {E_{2}}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {E_{n}}{R_{n}}}+I_{Cn+1}+\cdots +I_{Cn+m}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}}}$ ${\ displaystyle V_ {AB} = {\ frac {{\ frac {E_ {1}} {R_ {1}}} + {\ frac {E_ {2}} {R_ {2}}} + \ cdots + { \ frac {E_ {n}} {R_ {n}}} + I_ {Cn + 1} + \ cdots + I_ {Cn + m}} {{\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {R_ {n}}}}}}$ ${\ displaystyle V_ {AB} = {\ frac {{\ frac {E_ {1}} {R_ {1}}} + {\ frac {E_ {2}} {R_ {2}}} + \ cdots + { \ frac {E_ {n}} {R_ {n}}} + I_ {Cn + 1} + \ cdots + I_ {Cn + m}} {{\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {R_ {n}}}}}}$

Tensiunea $V_{AB}$ ${\ displaystyle V_ {AB}}$ ${\ displaystyle V_ {AB}}$ depinde exclusiv de curenții de pe nodul A (sau B: curenții de pe cele două noduri sunt aceleași cu excepția semnului), prin urmare toate componentele care nu afectează acești curenți sunt irelevante, acestea includ:

impedanță în paralel cu un generator de tensiune;
impedanță care unește două ramuri ambele conținând un generator de tensiune;
impedanță în serie la un generator de curent.

Ultimul caz de luat în considerare este prezența unei impedanțe în paralel cu un generator de curent. În acest caz, curentul generatorului este împărțit în două părți: o parte traversează direct impedanța în paralel, restul ajunge la nod. Rezoluția acestui circuit se poate face prin conversia generatorului paralel de impedanță de curent în echivalentul Thevenin sau prin calcularea curentului care ajunge la nod având în vedere divizorul de curent .

Portalul Electromagnetismului

Portalul de matematică