Teorema lui Noether

În matematică și fizică , teorema lui Noether , numită și teorema simetriei , datorită lui Emmy Noether , evidențiază legătura dintre simetriile unui sistem fizic și cantitățile conservate . Exemple importante sunt impulsul dacă sistemul are o simetrie pentru translațiile spațiale , impulsul unghiular pentru sistemele invariante pentru rotații și energia pentru simetriile de timp.

Generalitate

Mai concret, teorema lui Noether stabilește că la fiecare simetrie a Lagrangianului , adică la fiecare transformare continuă a coordonatelor generalizate $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ Și ${\dot {q}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ dot q} _ {i}$ și eventual timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , ceea ce lasă Lagrangianul neschimbat ${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ , corespunde unei cantități conservate . De exemplu, dacă urmează transformarea $q(t)\to q(t)+\varepsilon$ ${\ displaystyle q (t) \ to q (t) + \ varepsilon}$ ${\ displaystyle q (t) \ to q (t) + \ varepsilon}$ , unde este $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ este o cantitate infinitesimală, avem că:

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} = 0}

adică $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ este o coordonată ciclică , adică Lagrangianul nu depinde în mod explicit de ea, atunci $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ se păstrează:

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=\mathbf {p} ={\text{costante}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} = \ mathbf {p} = {\ text {constant}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} = \ mathbf {p} = {\ text {constant}}}

unde este $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ este momentul conjugat cu coordonata $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ .

Teorema, care este formulată și pentru simetriile acțiunii funcționale, a fost publicată de Emmy Noether în 1918 în articolul „Invariante Variationsprobleme”, care a apărut în Gottinger Nachrichten . ^[1] ^[2]

Introducere

În cel mai simplu caz poate fi considerat un punct material de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ într-o dimensiune cu poziție $\mathbf {q} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} (t)}$ ${\ mathbf q} (t)$ și viteză ${\dot {\mathbf {q} }}=d\mathbf {q} /dt$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = d \ mathbf {q} / dt}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = d \ mathbf {q} / dt}$ , descris de lagrangian ${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q})}$ . Elanul $\mathbf {p} =\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {\mathbf {q} }}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}$ a punctului material și a rezistenței $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ agent pe el:

\mathbf {F} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}}}

sunt legate de ecuația Euler-Lagrange :

{F}={\dot {p}}

{\ displaystyle {F} = {\ dot {p}}}

{\ displaystyle {F} = {\ dot {p}}}

care constituie ecuația de mișcare a sistemului. Să presupunem că traducem poziția punctului din $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ la $\mathbf {q} ^{\prime }$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} ^ {\ prime}}$ cu o transformare spațială parametrizată de variabilă $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , adică $\mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} (s)$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} ^ {\ prime} = \ mathbf {q} (s)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} ^ {\ prime} = \ mathbf {q} (s)}$ . Dacă Lagrangianul rămâne neschimbat în urma transformării, atunci derivatul său în raport cu $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ Nu-i nimic:

{\frac {d}{ds}}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }}(s),\mathbf {q} (s))=0

{\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}} (s), \ mathbf {q} (s)) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}} (s), \ mathbf {q} (s)) = 0}

Teorema lui Noether afirmă că în acest caz cantitatea $J=\mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} (s)/ds$ ${\ displaystyle J = \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {q} (s) / ds}$ ${\ displaystyle J = \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {q} (s) / ds}$ se păstrează, adică ${\dot {J}}=0$ ${\ displaystyle {\ dot {J}} = 0}$ ${\ punct J} = 0$ . Se spune că $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este o constantă a mișcării .

În mod echivalent, dacă punctul material are o poziție $\mathbf {q} =(q_{1},\dots ,q_{n})$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})}$ ${\ mathbf q} = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})$ iar dacă Lagrangianul nu depinde de vreo variabilă $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ ecuațiile Euler-Lagrange:

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0,\quad i=1,\dots ,n

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} = 0, \ quad i = 1, \ dots, n}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} = 0, \ quad i = 1, \ dots, n}

arată că dacă $\partial {\mathcal {L}}/\partial {q}_{i}=0$ ${\ displaystyle \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial {q} _ {i} = 0}$ ${\ displaystyle \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial {q} _ {i} = 0}$ apoi cantitatea $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i} = \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ displaystyle p_ {i} = \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial {\ dot {q}} _ {i}}$ se păstrează , având o derivată temporală nulă.

Când o funcție este invariantă față de o transformare continuă care implică una sau mai multe variabile, se spune că funcția are una sau mai multe simetrii . Teorema lui Noether poate fi de asemenea enunțată luând în considerare, în loc de Lagrangian, simetriile acțiunii asociate cu mișcarea sistemului, care este integrala Lagrangianului în ceea ce privește timpul. ^[3]

Afirmație

Având în vedere un sistem de coordonate generalizat $\mathbf {q} =(q_{1},\dots ,q_{n})$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})}$ la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de libertate cu viteza $\mathbf {\dot {q}} =({\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{n})$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} = ({\ dot {q}} _ {1}, \ dots, {\ dot {q}} _ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} = ({\ dot {q}} _ {1}, \ dots, {\ dot {q}} _ {n})}$ și o funcție $\mathbf {f} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} (t)}$ , dacă urmează transformarea infinitesimală:

t\to t,\quad q_{i}(t)\to q_{i}(t)+\varepsilon f_{i}(t),\quad {\dot {q}}_{i}(t)\to {\dot {q}}_{i}(t)+\varepsilon {\dot {f}}_{i}(t)

{\ displaystyle t \ to t, \ quad q_ {i} (t) \ to q_ {i} (t) + \ varepsilon f_ {i} (t), \ quad {\ dot {q}} _ {i} (t) \ to {\ dot {q}} _ {i} (t) + \ varepsilon {\ dot {f}} _ {i} (t)}

{\ displaystyle t \ to t, \ quad q_ {i} (t) \ to q_ {i} (t) + \ varepsilon f_ {i} (t), \ quad {\ dot {q}} _ {i} (t) \ to {\ dot {q}} _ {i} (t) + \ varepsilon {\ dot {f}} _ {i} (t)}

Lagrangianul ${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ nu se schimbă, atunci cantitățile:

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}f_{i}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} f_ {i}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} f_ {i}}

sunt constante de mișcare, adică sunt conservate . ^[4]

În cazul unei transformări care implică și timpul, adică $t\to t+\varepsilon$ ${\ displaystyle t \ to t + \ varepsilon}$ ${\ displaystyle t \ to t + \ varepsilon}$ , avem asta:

{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}\right]

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {L}}} {dt}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ ddot {q}} _ {i} \ right]}

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {L}}} {dt}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ ddot {q}} _ {i} \ right]}

și din moment ce ecuația mișcării are forma ( ecuația Euler-Lagrange ):

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0,\quad \forall i

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} = 0, \ quad \ forall i}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} = 0, \ quad \ forall i}

primul termen dintre paranteze poate fi rescris pentru a avea:

{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\left[\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right){\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}\right]

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {L}}} {dt}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [\ left ({\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right) {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ ddot {q }} _ {i} \ right]}

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {L}}} {dt}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [\ left ({\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right) {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ ddot {q }} _ {i} \ right]}

adică:

{\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}}}

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}}}

unde este ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$ este Hamiltonianul , transformarea Legendre a Lagrangianului:

{\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {L}}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i }}} {\ dot {q}} _ {i} - {\ mathcal {L}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i }}} {\ dot {q}} _ {i} - {\ mathcal {L}}}

Daca atunci ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ nu depinde în mod explicit de timp ( $-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0$ ${\ displaystyle - \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial t = 0}$ ${\ displaystyle - \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial t = 0}$ ) asa de ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$ este păstrat ( $d{\mathcal {H}}/dt=0$ ${\ displaystyle d {\ mathcal {H}} / dt = 0}$ ${\ displaystyle d {\ mathcal {H}} / dt = 0}$ , adică ${\mathcal {H}}={\text{costante}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ text {constant}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ text {constant}}}$ ).

Simetriile acțiunii

Teorema lui Noether poate fi afirmată luând în considerare, în locul Lagrangianului, acțiunea funcțională integrală ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ :

{\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) \, \ mathrm {d} t}

Asuma ca ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ este invariant în ceea ce privește transformarea:

t\to {\bar {t}}(\mathbf {q} ,t,\lambda )

{\ displaystyle t \ to {\ bar {t}} (\ mathbf {q}, t, \ lambda)}

{\ displaystyle t \ to {\ bar {t}} (\ mathbf {q}, t, \ lambda)}

q_{i}\to {\bar {q}}_{i}(\mathbf {q} ,t,\lambda )\qquad \mathbf {q} \to \mathbf {\bar {q}} (\mathbf {q} ,t,\lambda )

{\ displaystyle q_ {i} \ to {\ bar {q}} _ {i} (\ mathbf {q}, t, \ lambda) \ qquad \ mathbf {q} \ to \ mathbf {\ bar {q}} (\ mathbf {q}, t, \ lambda)}

{\ displaystyle q_ {i} \ to {\ bar {q}} _ {i} (\ mathbf {q}, t, \ lambda) \ qquad \ mathbf {q} \ to \ mathbf {\ bar {q}} (\ mathbf {q}, t, \ lambda)}

unde este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este un parametru continuu, adică apare:

\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,\tau )\,\mathrm {d} \tau =\int _{t_{1}'}^{t_{2}'}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {\bar {q}} }},\mathbf {\bar {q}} ,\tau )\,\mathrm {d} \tau

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, \ tau) \, \ mathrm {d} \ tau = \ int _ {t_ {1} '} ^ {t_ {2}'} {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {\ bar {q}}}}, \ mathbf {\ bar {q}}, \ tau) \, \ mathrm {d} \ tau}

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, \ tau) \, \ mathrm {d} \ tau = \ int _ {t_ {1} '} ^ {t_ {2}'} {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {\ bar {q}}}}, \ mathbf {\ bar {q}}, \ tau) \, \ mathrm {d} \ tau}

unde extremele integrării variază în timpul transformării. Luând în considerare o variantă $\delta \lambda$ ${\ displaystyle \ delta \ lambda}$ ${\ displaystyle \ delta \ lambda}$ infinitezimal:

\qquad \delta t={\bar {t}}-t=A(\mathbf {q} ,t)\delta \lambda \qquad \delta \mathbf {q} =\mathbf {\bar {q}} ({\bar {t}})-\mathbf {q} (t)=B(\mathbf {q} ,t)\delta \lambda

{\ displaystyle \ qquad \ delta t = {\ bar {t}} - t = A (\ mathbf {q}, t) \ delta \ lambda \ qquad \ delta \ mathbf {q} = \ mathbf {\ bar {q }} ({\ bar {t}}) - \ mathbf {q} (t) = B (\ mathbf {q}, t) \ delta \ lambda}

{\ displaystyle \ qquad \ delta t = {\ bar {t}} - t = A (\ mathbf {q}, t) \ delta \ lambda \ qquad \ delta \ mathbf {q} = \ mathbf {\ bar {q }} ({\ bar {t}}) - \ mathbf {q} (t) = B (\ mathbf {q}, t) \ delta \ lambda}

cantitatea stocată este:

\left({\mathcal {L}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)A(\mathbf {q} ,t)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}B(\mathbf {q} ,t)=-{\mathcal {H}}A(\mathbf {q} ,t)+p_{i}B(\mathbf {q} ,t)

{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {L}} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ dot {q} } _ {i} \ right) A (\ mathbf {q}, t) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} B (\ mathbf {q}, t) = - {\ mathcal {H}} A (\ mathbf {q}, t) + p_ {i} B (\ mathbf {q}, t)}

{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {L}} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ dot {q} } _ {i} \ right) A (\ mathbf {q}, t) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} B (\ mathbf {q}, t) = - {\ mathcal {H}} A (\ mathbf {q}, t) + p_ {i} B (\ mathbf {q}, t)}

unde este ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$ se numește hamiltonian și $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ este momentul liniar conjugat cu coordonata $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ . ^[5]

Demonstrație

Demonstrația 1

Luați în considerare un sistem fizic descris de un câmp $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ . Când o anumită cantitate este invariantă sub o transformare a sistemului, atunci Lagrangianul corespunzător este simetric, adică dacă $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este transformat printr-o transformare infinitesimală $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ ca:

\psi \rightarrow \psi +\alpha \Delta \psi

{\ displaystyle \ psi \ rightarrow \ psi + \ alpha \ Delta \ psi}

\ psi \ rightarrow \ psi + \ alpha \ Delta \ psi

Lagrangianul ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal {L}}$ , trebuind să fie invariant, trebuie să devină:

{\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {L}}+\alpha \partial _{\mu }{\mathcal {J}}^{\mu }

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ rightarrow {\ mathcal {L}} + \ alpha \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {J}} ^ {\ mu}}

{\ mathcal {L}} \ rightarrow {\ mathcal {L}} + \ alpha \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {J}} ^ {\ mu}

unde este ${\mathcal {J}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {J}}}$ ${\ mathcal {J}}$ reprezintă un curent de o anumită cantitate care curge prin suprafața integralei care definește acțiunea.

În general, variația de ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal {L}}$ poate fi scris ca:

\alpha \Delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}(\alpha \Delta \psi )+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\partial _{\mu }(\alpha \Delta \psi )

{\ displaystyle \ alpha \ Delta {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} (\ alpha \ Delta \ psi) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ partial _ {\ mu} (\ alpha \ Delta \ psi)}

\ alpha \ Delta {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} (\ alpha \ Delta \ psi) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ partial _ {\ mu} (\ alpha \ Delta \ psi)

Având în vedere derivatul unui produs, al doilea termen poate fi rescris ca:

\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\alpha \Delta \psi \right)-\alpha \Delta \psi \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ alpha \ Delta \ psi \ dreapta) - \ alpha \ Delta \ psi \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ dreapta)}

\ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ alpha \ Delta \ psi \ right) - \ alpha \ Delta \ psi \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ right)

Prin substituirea și luarea unui factor comun $\alpha \Delta \psi$ ${\ displaystyle \ alpha \ Delta \ psi}$ $\ alpha \ Delta \ psi$ primesti:

-\alpha \Delta \psi \left(\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}\right)+\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\alpha \Delta \psi \right)

{\ displaystyle - \ alpha \ Delta \ psi \ left (\ partial _ {\ mu} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} \ right) + \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ alpha \ Delta \ psi \ right)}

{\ displaystyle - \ alpha \ Delta \ psi \ left (\ partial _ {\ mu} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} \ right) + \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ alpha \ Delta \ psi \ right)}

Reamintind ecuația Euler-Lagrange , cele de mai sus devin:

\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\alpha \Delta \psi \right)

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ alpha \ Delta \ psi \ dreapta)}

\ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ alpha \ Delta \ psi \ right)

sau:

\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\alpha \Delta \psi \right)=\alpha \partial _{\mu }{\mathcal {J}}^{\mu }

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ alpha \ Delta \ psi \ dreapta) = \ alpha \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {J}} ^ {\ mu}}

\ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ alpha \ Delta \ psi \ right) = \ alpha \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {J}} ^ {\ mu}

Prin rescrierea întregului, putem vedea cum există o conservare a curentului ${\mathcal {J}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {J}}}$ ${\ mathcal {J}}$ observând că:

\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\Delta \psi -{\mathcal {J}}^{\mu }\right)=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ Delta \ psi - {\ mathcal {J}} ^ {\ mu} \ right) = 0}

\ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ Delta \ psi - {\ mathcal {J }} ^ {\ mu} \ right) = 0

Demonstrația 2

Să presupunem variabile dependente $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ sunt astfel încât acțiunea , dată de integralul Lagrangianului :

{\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) \, \ mathrm {d} t}

este invariant în raport cu variațiile infinitezimale ale acestora. Cu alte cuvinte, ecuația Euler-Lagrange trebuie îndeplinită:

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=0

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} = 0}

Să presupunem că integralul acțiunii este invariant în raport cu o simetrie continuă. O astfel de simetrie este reprezentată de un flux $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ care acționează asupra variabilelor în felul următor:

t\rightarrow t'=t+\varepsilon \tau

{\ displaystyle t \ rightarrow t '= t + \ varepsilon \ tau}

{\ displaystyle t \ rightarrow t '= t + \ varepsilon \ tau}

\mathbf {q} (t)\rightarrow \mathbf {q} '(t')=\phi (\mathbf {q} (t),\varepsilon )=\phi (\mathbf {q} (t'-\varepsilon \tau ),\varepsilon )

{\ displaystyle \ mathbf {q} (t) \ rightarrow \ mathbf {q} '(t') = \ phi (\ mathbf {q} (t), \ varepsilon) = \ phi (\ mathbf {q} (t '- \ varepsilon \ tau), \ varepsilon)}

{\ displaystyle \ mathbf {q} (t) \ rightarrow \ mathbf {q} '(t') = \ phi (\ mathbf {q} (t), \ varepsilon) = \ phi (\ mathbf {q} (t '- \ varepsilon \ tau), \ varepsilon)}

unde este $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ este o variabilă reală care cuantifică creșterea debitului, în timp ce $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ este o constantă reală legată de translația fluxului în timp (poate fi zero). Avem:

{\dot {\mathbf {q} }}(t)\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'(t')={\frac {d}{dt}}\phi (\mathbf {q} (t),\varepsilon )={\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}(\mathbf {q} (t'-\varepsilon \tau ),\varepsilon )\cdot {\dot {\mathbf {q} }}(t'-\varepsilon \tau )

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} (t) \ rightarrow {\ dot {\ mathbf {q}}} '(t') = {\ frac {d} {dt}} \ phi (\ mathbf {q} (t), \ varepsilon) = {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} (\ mathbf {q} (t '- \ varepsilon \ tau), \ varepsilon) \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} (t '- \ varepsilon \ tau)}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} (t) \ rightarrow {\ dot {\ mathbf {q}}} '(t') = {\ frac {d} {dt}} \ phi (\ mathbf {q} (t), \ varepsilon) = {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} (\ mathbf {q} (t '- \ varepsilon \ tau), \ varepsilon) \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} (t '- \ varepsilon \ tau)}

iar acțiunea integrală devine:

{\begin{aligned}{\mathcal {S}}'(\varepsilon )=\int _{t_{1}+\varepsilon \tau }^{t_{2}+\varepsilon \tau }{\mathcal {L}}[{\dot {\mathbf {q} }}'(t'),\mathbf {q} '(t'),t']\,\mathrm {d} t'=\int _{t_{1}+\varepsilon \tau }^{t_{2}+\varepsilon \tau }{\mathcal {L}}\left[{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}(\mathbf {q} (t'-\varepsilon \tau ),\varepsilon )\cdot {\dot {\mathbf {q} }}(t'-\varepsilon \tau ),\ \phi (\mathbf {q} (t'-\varepsilon \tau ),\varepsilon ),\ t'\right]\,\mathrm {d} t'\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {S}} '(\ varepsilon) = \ int _ {t_ {1} + \ varepsilon \ tau} ^ {t_ {2} + \ varepsilon \ tau} {\ mathcal {L}} [{\ dot {\ mathbf {q}}} '(t'), \ mathbf {q} '(t'), t '] \, \ mathrm {d} t' = \ int _ {t_ {1} + \ varepsilon \ tau} ^ {t_ {2} + \ varepsilon \ tau} {\ mathcal {L}} \ left [{\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q} }} (\ mathbf {q} (t '- \ varepsilon \ tau), \ varepsilon) \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} (t' - \ varepsilon \ tau), \ \ phi (\ mathbf {q} (t '- \ varepsilon \ tau), \ varepsilon), \ t' \ right] \, \ mathrm {d} t '\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {S}} '(\ varepsilon) = \ int _ {t_ {1} + \ varepsilon \ tau} ^ {t_ {2} + \ varepsilon \ tau} {\ mathcal {L}} [{\ dot {\ mathbf {q}}} '(t'), \ mathbf {q} '(t'), t '] \, \ mathrm {d} t' = \ int _ {t_ {1} + \ varepsilon \ tau} ^ {t_ {2} + \ varepsilon \ tau} {\ mathcal {L}} \ left [{\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q} }} (\ mathbf {q} (t '- \ varepsilon \ tau), \ varepsilon) \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} (t' - \ varepsilon \ tau), \ \ phi (\ mathbf {q} (t '- \ varepsilon \ tau), \ varepsilon), \ t' \ right] \, \ mathrm {d} t '\ end {align}}}

Acțiunea poate fi considerată doar ca o funcție a $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ . Calculul derivatei în $\varepsilon =0$ ${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$ $\ varepsilon = 0$ și exploatând simetria obținem:

{\begin{aligned}0&={\frac {d{\mathcal {S}}'}{d\varepsilon }}(0)={\mathcal {L}}[{\dot {\mathbf {q} }}(t_{2}),\mathbf {q} (t_{2}),t_{2}]\tau -{\mathcal {L}}[{\dot {\mathbf {q} }}(t_{1}),\mathbf {q} (t_{1}),t_{1}]\tau \\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\tau +{\frac {\partial \phi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \mathbf {q} ^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}\tau +{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\tau \right)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {d {\ mathcal {S}} '} {d \ varepsilon}} (0) = {\ mathcal {L}} [{\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {2}), \ mathbf {q} (t_ {2}), t_ {2}] \ tau - {\ mathcal {L}} [{\ dot {\ mathbf {q}} } (t_ {1}), \ mathbf {q} (t_ {1}), t_ {1}] \ tau \\ [6pt] & {} + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2 }} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} \ left (- {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} { \ dot {\ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ varepsilon}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ left (- {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial \ mathbf {q} ^ {2}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} ^ {2} \ tau + {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial \ varepsilon \ partial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} - {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ ddot {\ mathbf {q}}} \ tau \ right) \, \ mathrm {d} t \ end {align}} }

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {d {\ mathcal {S}} '} {d \ varepsilon}} (0) = {\ mathcal {L}} [{\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {2}), \ mathbf {q} (t_ {2}), t_ {2}] \ tau - {\ mathcal {L}} [{\ dot {\ mathbf {q}} } (t_ {1}), \ mathbf {q} (t_ {1}), t_ {1}] \ tau \\ [6pt] & {} + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2 }} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} \ left (- {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} { \ dot {\ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ varepsilon}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ left (- {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial \ mathbf {q} ^ {2}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} ^ {2} \ tau + {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial \ varepsilon \ partial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} - {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ ddot {\ mathbf {q}}} \ tau \ right) \, \ mathrm {d} t \ end {align}} }

Ecuația Euler-Lagrange implică faptul că:

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\tau \right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\tau +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}\tau +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\tau ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\tau +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \mathbf {q} ^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}\tau +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\tau

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac { \ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} \ tau \ right) = \ left ({\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ right) {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ left ({\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} \ right) {\ dot {\ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ partial {\ mathcal { L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ ddot {\ mathbf {q}}} \ tau = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ dot { \ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial \ mathbf {q} ^ {2}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} \ right) {\ dot {\ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} { \ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ ddot {\ mathbf {q}}} \ tau}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac { \ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} \ tau \ right) = \ left ({\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ right) {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ left ({\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} \ right) {\ dot {\ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ partial {\ mathcal { L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ ddot {\ mathbf {q}}} \ tau = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ dot { \ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial \ mathbf {q} ^ {2}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} \ right) {\ dot {\ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} { \ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ ddot {\ mathbf {q}}} \ tau}

și înlocuind în ecuația anterioară ajungem la:

{\begin{aligned}0&={\frac {d{\mathcal {S}}'}{d\varepsilon }}(0)={\mathcal {L}}[\mathbf {q} (t_{2}),{\dot {\mathbf {q} }}(t_{2}),t_{2}]\tau -{\mathcal {L}}[\mathbf {q} (t_{1}),{\dot {\mathbf {q} }}(t_{1}),t_{1}]\tau -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}(t_{2})\tau +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}(t_{1})\tau \\[6pt]&+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,\mathrm {d} t\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {d {\ mathcal {S}} '} {d \ varepsilon}} (0) = {\ mathcal {L}} [\ mathbf {q} ( t_ {2}), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {2}), t_ {2}] \ tau - {\ mathcal {L}} [\ mathbf {q} (t_ {1} ), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {1}), t_ {1}] \ tau - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {2}) \ tau + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ dot { \ mathbf {q}}} (t_ {1}) \ tau \\ [6pt] & + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L} }} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ varepsilon}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot { \ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial \ varepsilon \ partial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} \, \ mathrm {d} t \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {d {\ mathcal {S}} '} {d \ varepsilon}} (0) = {\ mathcal {L}} [\ mathbf {q} ( t_ {2}), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {2}), t_ {2}] \ tau - {\ mathcal {L}} [\ mathbf {q} (t_ {1} ), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {1}), t_ {1}] \ tau - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {2}) \ tau + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ dot { \ mathbf {q}}} (t_ {1}) \ tau \\ [6pt] & + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L} }} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ varepsilon}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot { \ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial \ varepsilon \ partial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} \, \ mathrm {d} t \ end {align}}}

Apoi, folosind din nou ecuația Euler - Lagrange:

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \varepsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \phi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac { \ partial \ phi} {\ partial \ varepsilon}} \ right) = \ left ({\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot { \ mathbf {q}}}}} \ right) {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ varepsilon}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot { \ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial \ varepsilon \ partial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ varepsilon}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L }}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial \ varepsilon \ partial \ mathbf {q}}} {\ dot { \ mathbf {q}}}}

{\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal L}} {\ partial {\ dot {{\ mathbf {q}}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ varepsilon}} \ right) = \ left ({\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial {\ mathcal L}} {\ partial {\ dot {{\ mathbf {q }}}}}} \ right) {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ varepsilon}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal L}} {\ partial {\ dot {{\ mathbf {q }}}}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial \ varepsilon \ partial {\ mathbf {q}}}} {\ dot {{\ mathbf {q}}}} = { \ frac {\ partial {\ mathcal L}} {\ partial {\ mathbf {q}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ varepsilon}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal L }} {\ partial {\ dot {{\ mathbf {q}}}}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial \ varepsilon \ partial {\ mathbf {q}}}} { \ dot {{\ mathbf {q}}}}

și inserând în raportul anterior se poate scrie:

0={\mathcal {L}}[\mathbf {q} (t_{2}),{\dot {\mathbf {q} }}(t_{2}),t_{2}]\tau -{\mathcal {L}}[\mathbf {q} (t_{1}),{\dot {\mathbf {q} }}(t_{1}),t_{1}]\tau -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}(t_{2})\tau +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}(t_{1})\tau +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \varepsilon }}(t_{2})-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \varepsilon }}(t_{1})

{\ displaystyle 0 = {\ mathcal {L}} [\ mathbf {q} (t_ {2}), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {2}), t_ {2}] \ tau - {\ mathcal {L}} [\ mathbf {q} (t_ {1}), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {1}), t_ {1}] \ tau - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ dot { \ mathbf {q}}} (t_ {2}) \ tau + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac { \ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {1}) \ tau + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} { \ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ varepsilon}} (t_ {2}) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L} }} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ varepsilon}} (t_ {1})}

{\ displaystyle 0 = {\ mathcal {L}} [\ mathbf {q} (t_ {2}), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {2}), t_ {2}] \ tau - {\ mathcal {L}} [\ mathbf {q} (t_ {1}), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {1}), t_ {1}] \ tau - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ dot { \ mathbf {q}}} (t_ {2}) \ tau + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac { \ partial \ phi} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {1}) \ tau + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} { \ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ varepsilon}} (t_ {2}) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L} }} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ varepsilon}} (t_ {1})}

da cui si evince che la quantità:

\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\right)\tau -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \varepsilon }}

\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\right)\tau -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \varepsilon }}

\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\right)\tau -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \varepsilon }}

è una costante del moto, ovvero è una quantità conservata.

Dato che $\phi [\mathbf {q} ,0]=\mathbf {q}$ $\phi [\mathbf {q} ,0]=\mathbf {q}$ $\phi [{\mathbf q},0]={\mathbf q}$ si ha:

{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}=1

{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {q} }}=1

{\frac {\partial \phi }{\partial {\mathbf {q}}}}=1

e la quantità conservata si semplifica assumendo la forma:

\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\right)\tau -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \varepsilon }}

\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\right)\tau -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \varepsilon }}

\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\right)\tau -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \phi }{\partial \varepsilon }}

Nella derivazione si è assunto che il flusso non varia nel tempo, e un risultato più generale si ottiene in un modo equivalente.

Dimostrazione 3

Si consideri una varietà liscia $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ e una varietà bersaglio $T$ ${\displaystyle T}$ $T$ . Sia ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ lospazio delle configurazioni delle funzioni lisce da $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ a $T$ ${\displaystyle T}$ $T$ . In modo più generale si possono considerare sezioni del fibrato lungo $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ . In meccanica classica , ad esempio, $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ è la varietà monodimensionale $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb{R}$ che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è lo spazio delle fasi , il fibrato cotangente dello spazio delle posizioni generalizzate .

L' azione è un funzionale del tipo:

{\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R}

{\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R}

{\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb{R}

che mappa su $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb{R}$ (e non su $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ ${\mathbb {C}}$ per ragioni fisiche). Affinché l'azione sia locale è necessario imporre ulteriori restrizioni sul funzionale: se $\phi \in {\mathcal {C}}$ $\phi \in {\mathcal {C}}$ $\phi \in {\mathcal {C}}$ si assume che $S(\phi )$ $S(\phi )$ $S(\phi )$ sia l' integrale su $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ della lagrangiana ${\mathcal {\mathcal {L}}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,...,x)$ ${\mathcal {\mathcal {L}}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,...,x)$ ${\mathcal {{\mathcal L}}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,...,x)$ , che è funzione di $\phi$ $\phi$ $\phi$ , delle sue derivate e della posizione. Esplicitamente, l'azione è definita nel seguente modo:

{\mathcal {S}}[\phi ]\equiv \int _{M}{\mathcal {\mathcal {L}}}(\phi (x),\partial \phi (x),\partial \partial \phi (x),...,x)d^{n}x\qquad \forall \phi \in {\mathcal {C}}

{\mathcal {S}}[\phi ]\equiv \int _{M}{\mathcal {\mathcal {L}}}(\phi (x),\partial \phi (x),\partial \partial \phi (x),...,x)d^{n}x\qquad \forall \phi \in {\mathcal {C}}

{\mathcal S}[\phi ]\equiv \int _{M}{\mathcal {{\mathcal L}}}(\phi (x),\partial \phi (x),\partial \partial \phi (x),...,x)d^{n}x\qquad \forall \phi \in {\mathcal {C}}

La maggior parte delle volte si assume che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, sebbene questo non sia vero in generale.

Se $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ è compatto , le condizioni al contorno si ottengono specificando i valori di $\phi$ $\phi$ $\phi$ sulla frontiera . In caso contrario si possono fornire opportuni limiti per $\phi$ $\phi$ $\phi$ quando $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ tende all' infinito . Questo rende possibile ottenere l'insieme delle funzioni $\phi$ $\phi$ $\phi$ tali che tutte le derivate funzionali di $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ su $\phi$ $\phi$ $\phi$ sono nulle e $\phi$ $\phi$ $\phi$ soddisfa le condizioni al contorno date. Tale insieme è determinato, considerando le condizioni al contorno, dalle soluzioni on shell delle equazioni di Eulero-Lagrange:

{\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial \phi }}=0

{\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial \phi }}=0

{\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {{\mathcal L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {{\mathcal L}}}}{\partial \phi }}=0

Il membro sinistro è la derivata funzionale dell'azione rispetto a $\phi$ $\phi$ $\phi$ . In meccanica classica la lagrangiana è data dalla differenza tra l' energia cinetica $T$ ${\displaystyle T}$ $T$ e l' energia potenziale $U$ ${\displaystyle U}$ $U$ .

Si consideri una trasformazione infinitesima su ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ generata da un funzionale $Q$ ${\displaystyle Q}$ $Q$ tale che:

Q\left[\int _{N}{\mathcal {\mathcal {L}}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]\approx \int _{\partial N}f^{\mu }[\phi (x),\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ]\mathrm {d} s_{\mu }

Q\left[\int _{N}{\mathcal {\mathcal {L}}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]\approx \int _{\partial N}f^{\mu }[\phi (x),\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ]\mathrm {d} s_{\mu }

Q\left[\int _{N}{\mathcal {{\mathcal L}}}\,{\mathrm {d}}^{n}x\right]\approx \int _{{\partial N}}f^{\mu }[\phi (x),\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ]{\mathrm {d}}s_{{\mu }}

per ogni sottovarietà $N$ ${\displaystyle N}$ $N$ . In modo equivalente:

Q[{\mathcal {\mathcal {L}}}(x)]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }(x)\quad \forall x

Q[{\mathcal {\mathcal {L}}}(x)]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }(x)\quad \forall x

Q[{\mathcal {{\mathcal L}}}(x)]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }(x)\quad \forall x

dove:

{\mathcal {\mathcal {L}}}(x)={\mathcal {\mathcal {L}}}[\phi (x),\partial _{\mu }\phi (x),x]

{\mathcal {\mathcal {L}}}(x)={\mathcal {\mathcal {L}}}[\phi (x),\partial _{\mu }\phi (x),x]

{\mathcal {{\mathcal L}}}(x)={\mathcal {{\mathcal L}}}[\phi (x),\partial _{\mu }\phi (x),x]

Se questo vale on shell e off shell allora $Q$ ${\displaystyle Q}$ $Q$ genera una simmetria off shell . Se invece vale solo on shell, allora $Q$ ${\displaystyle Q}$ $Q$ genera una simmetria on shell . Il funzionale $Q$ ${\displaystyle Q}$ $Q$ è un generatore un gruppo di simmetria di Lie a un parametro.

Per il teorema di Eulero–Lagrange per ogni $N$ ${\displaystyle N}$ $N$ si ha, on shell:

Q\left[\int _{N}{\mathcal {\mathcal {L}}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right]Q[\phi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}Q[\phi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\approx \int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }

Q\left[\int _{N}{\mathcal {\mathcal {L}}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right]Q[\phi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}Q[\phi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\approx \int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }

Q\left[\int _{N}{\mathcal {\mathcal {L}}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right]Q[\phi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}Q[\phi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\approx \int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }

Dato che questo vale per ogni $N$ ${\displaystyle N}$ $N$ vale la relazione:

\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}Q[\phi ]-f^{\mu }\right]\approx 0

\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}Q[\phi ]-f^{\mu }\right]\approx 0

\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {{\mathcal L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}Q[\phi ]-f^{\mu }\right]\approx 0

che è l' equazione di continuità per la corrente di Noether $J^{\mu }$ $J^{\mu }$ $J^\mu$ associata alla simmetria, definita da: ^[6]

J^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}Q[\phi ]-f^{\mu }

J^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\mathcal {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}Q[\phi ]-f^{\mu }

J^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\mathcal {{\mathcal L}}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}Q[\phi ]-f^{\mu }

Se si integra la corrente di Noether su una sezione di tipo tempo si ottiene una quantità conservata detta carica di Noether .

Teoria quantistica dei campi ^[7]

Nel formalismo della seconda quantizzazione è possibile scrivere il teorema di Noether come relazione tra funzioni di correlazione . Siano $O_{1}...O_{n}$ $O_{1}...O_{n}$ $O_{1}...O_{n}$ n operatori generici. La funzione di correlazione è per definizione:

$<O_{1}...O_{n}>={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\int D\phi e^{-{\mathcal {S}}}O_{1}...O_{n}$ $<O_{1}...O_{n}>={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\int D\phi e^{-{\mathcal {S}}}O_{1}...O_{n}$ $<O_{1}...O_{n}>={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\int D\phi e^{-{\mathcal {S}}}O_{1}...O_{n}$

con ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal S}$ azione, ${\mathcal {Z}}$ ${\mathcal {Z}}$ ${\mathcal {Z}}$ funzione di partizione e $D\phi$ $D\phi$ $D\phi$ la misura su tutti i campi fondamentali presenti nell'azione. Considero una generica trasformazione nei campi fondamentali $\phi \longrightarrow \phi '$ $\phi \longrightarrow \phi '$ $\phi \longrightarrow \phi '$ tale che

${\mathcal {S}}(\phi )={\mathcal {S}}'(\phi ')+\delta {\mathcal {S}}(\phi ')$ ${\mathcal {S}}(\phi )={\mathcal {S}}'(\phi ')+\delta {\mathcal {S}}(\phi ')$ ${\mathcal {S}}(\phi )={\mathcal {S}}'(\phi ')+\delta {\mathcal {S}}(\phi ')$

$O_{i}(\phi )=O'_{i}(\phi ')+\delta O_{i}(\phi ')$ $O_{i}(\phi )=O'_{i}(\phi ')+\delta O_{i}(\phi ')$ $O_{i}(\phi )=O'_{i}(\phi ')+\delta O_{i}(\phi ')$

Sarà quindi valida la seguente relazione:

$\int D\phi e^{-{\mathcal {S}}(\phi )}O_{1}...O_{n}=\int D\phi 'e^{-{\mathcal {S}}'(\phi ')-\delta {\mathcal {S}}(\phi ')}(O_{1}+\delta O_{1})...(O_{n}+\delta O_{n})$ $\int D\phi e^{-{\mathcal {S}}(\phi )}O_{1}...O_{n}=\int D\phi 'e^{-{\mathcal {S}}'(\phi ')-\delta {\mathcal {S}}(\phi ')}(O_{1}+\delta O_{1})...(O_{n}+\delta O_{n})$ $\int D\phi e^{-{\mathcal {S}}(\phi )}O_{1}...O_{n}=\int D\phi 'e^{-{\mathcal {S}}'(\phi ')-\delta {\mathcal {S}}(\phi ')}(O_{1}+\delta O_{1})...(O_{n}+\delta O_{n})$

Espandendo al primo ordine $e^{-\delta {\mathcal {S}}(\phi ')}\approx 1-\delta {\mathcal {S}}(\phi ')$ $e^{-\delta {\mathcal {S}}(\phi ')}\approx 1-\delta {\mathcal {S}}(\phi ')$ $e^{-\delta {\mathcal {S}}(\phi ')}\approx 1-\delta {\mathcal {S}}(\phi ')$ . Nella relazione precedente i termini di ordine 0 si elidono, al primo ordine è quindi verificata la seguente relazione:

$\int D\phi e^{-{\mathcal {S}}(\phi )}\delta {\mathcal {S}}(\phi )O_{1}...O_{n}=\int D\phi e^{-{\mathcal {S}}(\phi )}\sum _{i=1}^{n}O_{1}...\delta O_{i}...O_{n}$ $\int D\phi e^{-{\mathcal {S}}(\phi )}\delta {\mathcal {S}}(\phi )O_{1}...O_{n}=\int D\phi e^{-{\mathcal {S}}(\phi )}\sum _{i=1}^{n}O_{1}...\delta O_{i}...O_{n}$ $\int D\phi e^{-{\mathcal {S}}(\phi )}\delta {\mathcal {S}}(\phi )O_{1}...O_{n}=\int D\phi e^{-{\mathcal {S}}(\phi )}\sum _{i=1}^{n}O_{1}...\delta O_{i}...O_{n}$

in cui la sommatoria nel termine di destra indica la somma su tutti i possibili prodotti degli operatori in cui compare una volta sola un $\delta O$ $\delta O$ $\delta O$ . Nel caso di un solo operatore si ha:

$<\delta {\mathcal {S}}\ O>=<\delta O>\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$ $<\delta {\mathcal {S}}\ O>=<\delta O>\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$ $<\delta {\mathcal {S}}\ O>=<\delta O>\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

Considero ora una trasformazione che soddisfi le ipotesi del teorema di Noether (simmetria continua dell'azione) che posso quindi scrivere come:

$\phi '=\phi +i\epsilon \chi$ $\phi '=\phi +i\epsilon \chi$ $\phi '=\phi +i\epsilon \chi$

con $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ parametro globale piccolo e $\chi$ $\chi$ $\chi$ generica funzione dei campi fondamentali e delle $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ . Localizzo $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ , rompendo la simmetria dell'azione altrimenti valida, ed espando in serie al primo ordine. La differenza nell'azione è quindi scrivibile come la somma di due termini, uno proporzionale a $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ che sarà nullo poiché l'azione è invariante per la trasformazione globale ed uno proporzionale a $\partial _{\mu }\epsilon (x)$ $\partial _{\mu }\epsilon (x)$ $\partial _{\mu }\epsilon (x)$ che scrivo come:

$\delta {\mathcal {S}}=\int d^{4}x{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi =i\int {\mathcal {d}}^{4}xJ_{\mu }(x)\partial _{\mu }\epsilon (x)=-i\int d^{4}x\epsilon (x)\partial _{\mu }J_{\mu }(x)$ $\delta {\mathcal {S}}=\int d^{4}x{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi =i\int {\mathcal {d}}^{4}xJ_{\mu }(x)\partial _{\mu }\epsilon (x)=-i\int d^{4}x\epsilon (x)\partial _{\mu }J_{\mu }(x)$ $\delta {\mathcal {S}}=\int d^{4}x{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi =i\int {\mathcal {d}}^{4}xJ_{\mu }(x)\partial _{\mu }\epsilon (x)=-i\int d^{4}x\epsilon (x)\partial _{\mu }J_{\mu }(x)$

per l'ultimo passaggio si è integrato per parti. Analogamente si vede che

$\delta O=i\int d^{4}x\epsilon (x){\frac {\delta O}{\delta \phi (x)}}\chi (x)$ $\delta O=i\int d^{4}x\epsilon (x){\frac {\delta O}{\delta \phi (x)}}\chi (x)$ $\delta O=i\int d^{4}x\epsilon (x){\frac {\delta O}{\delta \phi (x)}}\chi (x)$

Da $(1)$ ${\displaystyle (1)}$ $(1)$ segue che:

$\int d^{4}z\epsilon (z)<\partial _{\mu }J_{\mu }(z)O(y)>=\int d^{4}z\epsilon (z)<{\frac {\delta O(y)}{\delta \phi (z)}}\chi (z)>$ $\int d^{4}z\epsilon (z)<\partial _{\mu }J_{\mu }(z)O(y)>=\int d^{4}z\epsilon (z)<{\frac {\delta O(y)}{\delta \phi (z)}}\chi (z)>$ $\int d^{4}z\epsilon (z)<\partial _{\mu }J_{\mu }(z)O(y)>=\int d^{4}z\epsilon (z)<{\frac {\delta O(y)}{\delta \phi (z)}}\chi (z)>$

Localizzo $\epsilon (z)$ $\epsilon (z)$ $\epsilon (z)$ imponendo la condizione $\epsilon (z)=\epsilon \delta (x-z)$ $\epsilon (z)=\epsilon \delta (xz)$ $\epsilon (z)=\epsilon \delta (x-z)$ . Dalla definizione della delta di Dirac :

$<\partial _{\mu }J_{\mu }(x)O(y)>=<{\frac {\delta O(y)}{\delta \phi (x)}}\chi (x)>$ $<\partial _{\mu }J_{\mu }(x)O(y)>=<{\frac {\delta O(y)}{\delta \phi (x)}}\chi (x)>$ $<\partial _{\mu }J_{\mu }(x)O(y)>=<{\frac {\delta O(y)}{\delta \phi (x)}}\chi (x)>$

Questa condizione estende il risultato del teorema di Noether rendendolo valido anche a livello quantistico. Nel caso $O(y)$ ${\displaystyle O(y)}$ $O(y)$ si una stringa di operatori locali definiti lontani da x si ottiene

$<\partial _{\mu }J_{\mu }(x)O(y)>=0\qquad x\neq y$ $<\partial _{\mu }J_{\mu }(x)O(y)>=0\qquad x\neq y$ $<\partial _{\mu }J_{\mu }(x)O(y)>=0\qquad x\neq y$

che rappresenta l'analogo della conservazione della corrente in teoria dei campi classica.

Integrando sul volume

$\int d^{3}x<\partial _{\mu }J_{\mu }(x)O(y)>=\int d^{3}x<\partial _{0}J_{0}(x)O(y)>+\int d^{3}x<\nabla \cdot {\mathbf {J}}(x)O(y)>=0$ $\int d^{3}x<\partial _{\mu }J_{\mu }(x)O(y)>=\int d^{3}x<\partial _{0}J_{0}(x)O(y)>+\int d^{3}x<\nabla \cdot {\mathbf {J}}(x)O(y)>=0$ $\int d^{3}x<\partial _{\mu }J_{\mu }(x)O(y)>=\int d^{3}x<\partial _{0}J_{0}(x)O(y)>+\int d^{3}x<\nabla \cdot {\mathbf {J}}(x)O(y)>=0$

Per il teorema della divergenza in una teoria di campo a volume infinito il secondo termine è nullo. Sia

${\bar {J_{0}}}(x_{0})\equiv \int d^{3}xJ_{0}(x)$ ${\bar {J_{0}}}(x_{0})\equiv \int d^{3}xJ_{0}(x)$ ${\bar {J_{0}}}(x_{0})\equiv \int d^{3}xJ_{0}(x)$

Si è quindi dimostrato che

$<\partial _{0}{\bar {J}}_{0}(x_{0})O(y)>=0$ $<\partial _{0}{\bar {J}}_{0}(x_{0})O(y)>=0$ $<\partial _{0}{\bar {J}}_{0}(x_{0})O(y)>=0$

${\bar {J}}_{0}(x_{0})$ ${\bar {J}}_{0}(x_{0})$ ${\bar {J}}_{0}(x_{0})$ è quindi una carica conservata.

Esempio

Supponiamo di trattare un sistema bidimensionale, e di considerare una trasformazione di coordinate ${\vec {x}}=(x,y)\rightarrow {\vec {f}}$ ${\vec {x}}=(x,y)\rightarrow {\vec {f}}$ ${\vec {x}}=(x,y)\rightarrow {\vec {f}}$ così definita:

f_{1}=x+s\qquad f_{2}=y

f_{1}=x+s\qquad f_{2}=y

f_{{1}}=x+s\qquad f_{{2}}=y

Secondo il teorema, si ha che:

{\frac {\partial f_{1}}{\partial s}}=1\qquad {\frac {\partial f_{2}}{\partial s}}=0

{\frac {\partial f_{1}}{\partial s}}=1\qquad {\frac {\partial f_{2}}{\partial s}}=0

{\frac {\partial f_{1}}{\partial s}}=1\qquad {\frac {\partial f_{2}}{\partial s}}=0

Quindi, automaticamente si conserverà la quantità:

p_{1}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial s}}(t,0)\,p_{i}=\mathrm {costante}

p_{1}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial s}}(t,0)\,p_{i}=\mathrm {costante}

p_{1}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial s}}(t,0)\,p_{i}=\mathrm {costante}

Questo significa che per un sistema che ha un'invarianza per traslazioni nella direzione $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ , si conserverà il momento lineare (quantità di moto) in quella direzione.

Note

^ Yvette Kosmann-Schwarzbach - The Noether Theorems
^ E. Noether, Invariante Variationsprobleme . Göttingen 1918, pp. 235-257. Traduzione di MA Tavel in Transport Theory and Statistical Mechanics (1971), pp. 183-207
^ Thompson, WJ, Angular Momentum: an illustrated guide to rotational symmetries for physical systems , vol. 1, Wiley, 1994, p. 5, ISBN 0-471-55264-X .
^ Alberto Nicolis - The Noether theorem ( PDF ), su phys.columbia.edu . URL consultato il 19 settembre 2015 (archiviato dall' url originale il 13 maggio 2015) .
^ www-physics.ucsd.edu - Noether's Theorem
^ Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory , Basic Books, 1995, p. 18, ISBN 0-201-50397-2 .
^ Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644167 .

Bibliografia

( EN ) The heritage of Emmy Noether in algebra, geometry and physics . Bar Ilan University, Tel Aviv (Israel), 2-3 dicembre 1996
( EN ) Herbert Goldstein, Classical Mechanics , 2nd, Reading MA, Addison-Wesley, 1980, pp. 588–596, ISBN 0-201-02918-9 .
( EN ) Yvette Kosmann-Schwarzbach , The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century , Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer-Verlag , 2011, ISBN 978-0-387-87868-3 .
( EN ) Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics , 4th, New York, Dover Publications, 1970, pp. 401–5, ISBN 0-486-65067-7 .
( EN ) Dwight E. Neuenschwander, Emmy Noether's Wonderful Theorem , Johns Hopkins University Press, 2010, ISBN 978-0-8018-9694-1 .
( EN ) Hanca, J.; Tulejab, S.; Hancova, M., Symmetries and conservation laws: Consequences of Noether's theorem , in American Journal of Physics , vol. 72, n. 4, 2004, pp. 428–35, Bibcode : 2004AmJPh..72..428H , DOI : 10.1119/1.1591764 .
( EN ) Merced Montesinos e Ernesto Flores, Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether's theorem , in Revista Mexicana de Física , vol. 52, 2006, p. 29, Bibcode : 2006RMxF...52...29M , arXiv : hep-th/0602190 .
( EN ) Sardanashvily, G., Gauge conservation laws in a general setting. Superpotential , in International Journal of Geometric Methods in Modern Physics , vol. 6, n. 06, 2009, p. 1047, Bibcode : 2009arXiv0906.1732S , DOI : 10.1142/S0219887809003862 , arXiv : 0906.1732 .

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) DV Alekseevskii, Noether theorem , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
Noether's Theorem at MathPages.

Portale Matematica

Portale Meccanica

[1] Yvette Kosmann-Schwarzbach - The Noether Theorems

[2] E. Noether, Invariante Variationsprobleme . Göttingen 1918, pp. 235-257. Traduzione di MA Tavel in Transport Theory and Statistical Mechanics (1971), pp. 183-207

[3] Thompson, WJ, Angular Momentum: an illustrated guide to rotational symmetries for physical systems , vol. 1, Wiley, 1994, p. 5, ISBN 0-471-55264-X .

[4] Alberto Nicolis - The Noether theorem ( PDF ), su phys.columbia.edu . URL consultato il 19 settembre 2015 (archiviato dall' url originale il 13 maggio 2015) .

[5] www-physics.ucsd.edu - Noether's Theorem

[Peskin-6] Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory , Basic Books, 1995, p. 18, ISBN 0-201-50397-2 .

[7] Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644167 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]