Teorema lui Pascal

În geometrie , teorema lui Pascal , de Blaise Pascal , este una dintre teoremele de bază ale teoriei conice . Având în vedere că sunteți puncte ordonate $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ , $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ , $A_{3}$ ${\ displaystyle A_ {3}}$ ${\ displaystyle A_ {3}}$ , $A_{4}$ ${\ displaystyle A_ {4}}$ $A_ {4}$ , $A_{5}$ ${\ displaystyle A_ {5}}$ $A_ {5}$ , $A_{6}$ ${\ displaystyle A_ {6}}$ ${\ displaystyle A_ {6}}$ a unei conici identifică un hexagon inscripționat în ea, teorema lui Pascal oferă o condiție grafică caracteristică pentru ca un hexagon dat să fie înscris într-o conică.

Teorema

O singură conică trece prin cinci puncte generice

Un rezultat clasic al teoriei conice afirmă că doar o conică trece prin 5 puncte generice. Prin „generic” înțelegem în acest caz că cele 5 puncte trebuie distinse și că nu există 4 aliniate între ele, adică situate pe aceeași linie : adjectivul „generic” sugerează că 5 puncte „luate la întâmplare” se potrivesc cu siguranță acestei proprietăți.

Condiție pentru al șaselea punct

Prin urmare, cinci puncte generice determină o conică. Teorema lui Pascal oferă o condiție pentru ca un al șaselea punct să aparțină conicii:

Lasa-i sa fie $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ , $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ , $A_{3}$ ${\ displaystyle A_ {3}}$ ${\ displaystyle A_ {3}}$ , $A_{4}$ ${\ displaystyle A_ {4}}$ $A_ {4}$ , $A_{5}$ ${\ displaystyle A_ {5}}$ $A_ {5}$ , $A_{6}$ ${\ displaystyle A_ {6}}$ ${\ displaystyle A_ {6}}$ șase puncte în avion și sunt $B_{1}$ ${\ displaystyle B_ {1}}$ $B_ {1}$ , $B_{2}$ ${\ displaystyle B_ {2}}$ $B_2$ , $B_{3}$ ${\ displaystyle B_ {3}}$ ${\ displaystyle B_ {3}}$ punctele comune, respectiv, la linii $A_{1}A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$ ${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$ Și $A_{4}A_{5}$ ${\ displaystyle A_ {4} A_ {5}}$ ${\ displaystyle A_ {4} A_ {5}}$ , la taxe $A_{3}A_{4}$ ${\ displaystyle A_ {3} A_ {4}}$ ${\ displaystyle A_ {3} A_ {4}}$ Și $A_{6}A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {6} A_ {1}}$ ${\ displaystyle A_ {6} A_ {1}}$ , la taxe $A_{2}A_{3}$ ${\ displaystyle A_ {2} A_ {3}}$ ${\ displaystyle A_ {2} A_ {3}}$ Și $A_{5}A_{6}$ ${\ displaystyle A_ {5} A_ {6}}$ ${\ displaystyle A_ {5} A_ {6}}$ .

Cele șase puncte inițiale aparțin unei conici dacă și numai dacă cele trei puncte $B_{1}$ ${\ displaystyle B_ {1}}$ $B_ {1}$ , $B_{2}$ ${\ displaystyle B_ {2}}$ $B_2$ , $B_{3}$ ${\ displaystyle B_ {3}}$ ${\ displaystyle B_ {3}}$ aparțin unei linii, numită linia lui Pascal.

Cazul particular în care cele șase puncte sunt conținute într-o conică degenerată , adică unirea a două linii drepte, are ca rezultat teorema Pappo-Pascal .

Generalizări

În 1847 teorema a fost generalizată de August Ferdinand Möbius : dat fiind că un poligon cu $4n+2$ ${\ displaystyle 4n + 2}$ ${\ displaystyle 4n + 2}$ laturile sunt inscripționate într-o conică, laturile opuse sunt prelungite până când se usucă $2n+1$ ${\ displaystyle 2n + 1}$ ${\ displaystyle 2n + 1}$ puncte. De sine $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ dintre aceste puncte sunt pe aceeași linie, apoi și ultimul punct se află pe el.