Teorema lui Rolle

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În analiza matematică teorema lui Rolle afirmă că dacă o funcție este continuă într-un interval închis , Diferențiat în fiecare punct deschis al intervalului și își asumă valori egale în extremele intervalului, atunci există cel puțin un punct reclama interna în care derivatul dispare, adică ( punct critic sau staționar).

Istorie

Cunoașterea teoremei lui Rolle este atribuită matematicianului indian Bhaskara (1114–1185). [1] Deși numele teoremei provine de la Michel Rolle , prima sa dovadă din 1691 a acoperit doar cazul funcțiilor polinomiale. Dovada lui Rolle nu a folosit metodele de calcul diferențial, pe care în acel moment al vieții sale le considera falace. Teorema a fost dovedită pentru prima dată de Cauchy în 1823 ca un corolar al dovezii teoremei lui Lagrange . [2] Numele „teorema lui Rolle” a fost folosit pentru prima dată de germanul Moritz Wilhelm Drobisch în 1834 și de italianul Giusto Bellavitis în 1846. [3]

Afirmație

Teorema lui Rolle: dacă este continuu în , derivabil în Și , atunci există astfel încât .

Este . De sine este continuu în , derivabil în și dacă este adevărat , atunci există cel puțin un punct astfel încât . [4]

Semnificație geometrică

Semnificația geometrică a teoremei lui Rolle este următoarea: dacă graficul unei funcții continuă definit pe un interval cu valori în are o tangentă non-verticală la fiecare dintre puncte , cu , și dacă funcția își asumă aceeași valoare la capetele intervalului , atunci există cel puțin un punct reclama interna astfel încât linia tangentă la graficul lui în sens este paralel cu axa absciselor.

Demonstrație

Atâta timp cât funcția pe interval este continuă, în virtutea teoremei Weierstrass admite maxim și minim absolut (pe care le indicăm respectiv cu Și ). Există două cazuri: fie maximul, cât și minimul sunt atinse în extremele intervalului , sau cel puțin unul dintre cele două este atins într-un punct aparținând intervalului .

  1. Maximul și minimul sunt atinse la extrem și, prin urmare, de când , rezultă că . Aceasta implică faptul că funcția este constantă pe parcursul intervalului și, prin urmare, derivata este zero la fiecare punct interval .
  2. Maximul sau minimul este atins în interval. Să luăm în considerare cazul în care se atinge maximul la un moment dat a gamei deschise , acesta este . Prin teorema lui Fermat, atunci derivata este zero la punct .

Necesitatea celor trei ipoteze

Contraexemplu nr. 2. Functia în interval nu este derivabil în unde există un punct unghiular . Prin urmare, teorema lui Rolle nu este valabilă.

Ipotezele privind continuitatea și derivabilitatea funcției au următoarele motive:

  1. cererea de continuitate pe intervalul închis și delimitat este necesară pentru aplicabilitatea teoremei lui Weierstrass , adică pentru a asigura existența unui maxim și minim absolut al funcției în intervalul considerat;
  2. solicitarea diferențierii pe intervalul deschis este necesară pentru aplicabilitatea teoremei lui Fermat pe punctele staționare , adică pentru a asigura staționaritatea funcției în prezența unui punct extrem în interiorul intervalului.

Așa cum se va vedea în contraexemple, acestea sunt cele mai largi ipoteze posibile pentru care se menționează afirmația. Teorema nu se menține dacă doar una dintre cele trei ipoteze eșuează.

  1. De sine nu este continuu pornit Teorema lui Rolle nu este valabilă. Luați în considerare doar contraexemplul astfel încât pentru Și . Funcția este diferențiată în Și dar nu este continuu la momentul respectiv . Pentru această funcție teorema lui Rolle nu este valabilă, de fapt derivata nu este niciodată nulă.
  2. De sine nu este derivabil în Teorema lui Rolle nu este valabilă. Luați în considerare funcția . Este o funcție continuă activată , Mai mult , cu toate acestea nu este diferențiat în prin urmare ipotezele teoremei lui Rolle nu sunt valabile și de fapt derivatul acolo unde există nu este niciodată nul.
  3. De sine Teorema lui Rolle nu este valabilă, ia în considerare doar contraexemplul care este o funcție continuă activată , derivabil pe , dar astfel încât și, de fapt, teorema lui Rolle nu se menține.

În mod clar, faptul că o funcție nu satisface ipotezele teoremei lui Rolle nu implică faptul că nu există puncte în care derivata sa dispare; pur și simplu, prin renunțarea la condițiile lui Rolle, existența unor astfel de puncte nu este garantată.

Generalizare mai mare a derivatelor

Putem, de asemenea, să generalizăm teorema lui Rolle cerând asta are mai multe puncte cu aceeași valoare și o regularitate mai mare. Mai exact, să presupunem că

  • Functia este continuă în interval și derivabil ori în
  • Sunt datele variază de la în astfel încât pentru fiecare de la 1 la , adică în ele funcția își asumă aceeași valoare

Atunci există astfel încât .

Teorema, în special, afirmă că, dacă are o funcție diferențiată de suficiente ori rădăcini (și, prin urmare, au aceeași valoare, adică 0), atunci se va anula în cel puțin un punct intern.

Curba roșie este graficul unei funcții cu trei rădăcini în interval . Deci teorema generalizată ne asigură că a doua derivată (în verde) are și zero în interval

Demonstrație

Dovada utilizează principiul inducției . Pentru este pur și simplu versiunea standard a teoremei lui Rolle. Ca ipoteză inductivă, presupunem generalizarea adevărată pentru și vrem să încercăm pentru . Din teorema standard a lui Rolle, pentru orice număr întreg de la 1 la , există în raza deschisă astfel încât . Prin urmare, prima derivată satisface ipotezele despre intervale închise . Din ipoteza inductivă, există cel puțin una astfel încât -al derivat al , și apoi , în este 0.

Generalizări către alte domenii

Teorema lui Rolle este o proprietate a funcțiilor diferențiate pe numerele reale, care sunt un câmp ordonat . Ca atare, nu se generalizează la alte câmpuri , dar urmează corolarul: dacă un polinom real factorizează (are toate rădăcinile sale) pe numere reale, atunci derivata face același lucru. Unii ar putea numi această proprietate proprietate Rolle . Câmpurile mai generale nu au noțiunea de funcție diferențiată, ci au noțiunea de polinom, care poate fi rupt simbolic. În mod similar, există și câmpuri care nu au ordine, dar au o noțiune a rădăcinii unui polinom construit din câmp. Astfel teorema lui Rolle ne arată că numerele reale au proprietatea Rolle. Orice câmp închis algebric, cum ar fi numerele complexe, are proprietatea Rolle. Cu toate acestea, numerele raționale nu o posedă - de exemplu, este luată în considerare pe rațional, dar derivatul său, , nu o face. Întrebarea care dintre câmpurile satisfac proprietatea Rolle a fost ridicată de Irving Kaplansky în 1972. Pentru câmpurile finite , răspunsul este că numai Și au această proprietate specială; acest lucru a fost dovedit pentru prima dată de Craven și Csordas (1977), iar o dovadă simplă este dată de Ballantine și Roberts (2002).

Notă

  1. ^ RC Gupta, Enciclopedia istoriei științei, tehnologiei și medicinei în culturile non-vestice , p. 156.
  2. ^ A. Besenyei, O scurtă istorie a teoremei valorii medii ( PDF ), abesenyei.web.elte.hu , 17 septembrie 2012.
  3. ^ Vezi Florian Cajori , O istorie a matematicii , p. 224.
  4. ^ PM Soardi , p. 222 .

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică