Teorema Rouché-Capelli

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Teorema Rouché-Capelli este o teoremă algebră liniară care permite caracterizarea setului de soluții ale unui sistem de ecuații liniare (posibil goale) prin intermediul rangului matricei complete și al matricei incomplete.

Își ia numele de la matematicianul francez Eugène Rouché , creatorul său, și de la matematicianul italian Alfredo Capelli , care l-a rescris într-un mod mai simplu. Numele lui Fontené , Kronecker și Frobenius sunt, de asemenea, asociate cu această teoremă, care este în principal de interes didactic.

Teorema Rouché-Capelli

Să luăm în considerare sistemul de ecuații liniare :

în care coeficienții sistemului liniar (și deci al matricelor) și componentele vectorilor sunt elemente ale unui câmp , cum ar fi cel al numerelor reale sau complexe .

Sistemul este reprezentat fidel de matrice :

respectiva matrice asociată sistemului. Se obține din juxtapunerea matricei coeficienți și o coloană suplimentară , numită coloana termenilor cunoscuți. Matricile Și sunt numite incomplete și , respectiv , complete .

Teorema Rouché-Capelli afirmă că există soluții pentru sistem dacă și numai dacă rangul matricei complete este egal cu rangul matricei incomplete:

Dacă există soluții, acestea formează un subspatiu afin de in marime . În special, dacă câmpul este infinit avem că dacă atunci soluția este unică, altfel există soluții infinite. [1]
Următoarele două relații sunt:

  • ,

unde este este numărul de necunoscute și este numărul de ecuații din sistem.

Demonstrație

Sistemul poate fi descris mai compact, prin introducerea vectorului de coordonate:

și folosind produsul matricilor și vectorilor , după cum urmează:

Această relație spune un vector cunoscut vrem să fie imaginea unui vector necunoscut obținută prin aplicare liniară asociat cu matricea coeficientului:

Deci, sistemul admite soluția dacă și numai dacă este imaginea a cel puțin un vector din , adică dacă și numai dacă face parte din imaginea . Se observă că imaginea de este generat liniar de vectorii dați de coloanele lui . Prin urmare este conținut în imagine dacă și numai dacă intervalul coloanelor din conține , adică dacă și numai dacă întinderea coloanelor din este egal cu intervalul coloanelor din . Această ultimă afirmație este echivalentă cu a cere ca cele două matrice să aibă același rang.

Dacă există o soluție , orice altă soluție este scrisă ca , unde este este o soluție a sistemului liniar omogen asociat: [2]

Intr-adevar:

Spațiul soluțiilor, obținut prin traducerea nucleului cu vectorul , este deci subspatiul afin dat de:

Dimensiunea spațiului soluției sistemului complet este egală cu dimensiunea spațiului soluției sistemului omogen asociat. [3]

Soluțiile sistemului liniar omogen asociat sunt nucleul aplicației , iar prin teorema dimensiunii nucleul este un subspatiu vectorial al dimensiunii . De aici spațiul soluțiilor, obținut prin translatarea nucleului cu vectorul , este un subspatiu afin de aceeasi marime.

Notă

  1. ^ Faptul că soluțiile formează un subspatiu afin de dimensiune se exprimă și spunând că acestea au grade de libertate. Unele texte rezumă acest fapt scriind, cu abuz de notație, că există soluții.
  2. ^ S. Lang , pagina 177 .
  3. ^ S. Lang , pagina 178 .

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică