Teorema lui Stokes

În matematică , în special în geometria diferențială , teorema lui Stokes este o afirmație privind integrarea formelor diferențiale care generalizează diverse teoreme de calcul vectorial , cum ar fi teorema divergenței sau teorema rotorului . Este numit după Sir George Gabriel Stokes ( 1819 - 1903 ), deși prima formulare a teoremei a fost atribuită lui William Thomson (Lord Kelvin), care a trimis-o într-o scrisoare către Stokes în iulie 1850 . ^[1]

Introducere

Teorema fundamentală a calculului integral afirmă că dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție reală care admite primitiv pe un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , integralul lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe acest interval poate fi calculat prin intermediul primitivei sale:

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x = F (b) -F (a)}

\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, {\ mathrm d} x = F (b) -F (a)

Atâta timp cât ${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}=f$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} x}} = f}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} x}} = f}$ , poate fi interpretat $\mathrm {d} F(x)=f(x)\mathrm {d} x$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} F (x) = f (x) \ mathrm {d} x}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} F (x) = f (x) \ mathrm {d} x}$ în contextul mai general al formelor diferențiale precum diferențialul extern al formei 0 $F(x)$ ${\ displaystyle F (x)}$ $F (x)$ .

Teorema lui Stokes generalizează teorema fundamentală a calculului luând în considerare o formă n $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ și diferențialul său extern $d\omega$ ${\ displaystyle d \ omega}$ $d \ omega$ . Intervalul $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ este o varietate diferențiată de dimensiune, având mulțimea ca graniță $\{a,b\}$ ${\ displaystyle \ {a, b \}}$ $\ {a, b \}$ : integrarea de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe acest interval poate fi deci extins la integrarea pe o varietate $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ de o ordine majoră și pentru a face acest lucru este necesar ca. $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ atât forma orientabilă, cât și cea diferențială sunt suport compact . Marginea $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , indicat cu $\partial M$ ${\ displaystyle \ partial M}$ $\ partial M$ , este încă o varietate și moștenește orientarea lui $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .

Teorema

Este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ o varietate orientabilă diferențiată de dimensiunea n și let $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ o formă diferențială n cu suport compact activat $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ .

Să presupunem inițial că $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ ambele compatibile în domeniul unei cărți orientate $\{U,\phi \}$ ${\ displaystyle \ {U, \ phi \}}$ $\ {U, \ phi \}$ . Integrala din $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este definit ca:

\int _{\Omega }\alpha =\int _{\phi (U)}\left(\phi ^{-1}\right)^{*}\alpha

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ alpha = \ int _ {\ phi (U)} \ left (\ phi ^ {- 1} \ right) ^ {*} \ alpha}

\ int _ {\ Omega} \ alpha = \ int _ {{\ phi (U)}} \ left (\ phi ^ {{- 1}} \ right) ^ {*} \ alpha

sau prin retragerea $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Mai general, integralul $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este definit având în vedere o partiție de unitate $\{\psi _{i}\}$ ${\ displaystyle \ {\ psi _ {i} \}}$ $\ {\ psi _ {i} \}$ asociat cu acoperirea finisată local $\{U_{i},\phi _{i}\}$ ${\ displaystyle \ {U_ {i}, \ phi _ {i} \}}$ $\ {U_ {i}, \ phi _ {i} \}$ de cărți (orientate constant):

\int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\,\alpha

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ alpha \ equiv \ sum _ {i} \ int _ {U_ {i}} \ psi _ {i} \, \ alpha}

\ int _ {\ Omega} \ alpha \ equiv \ sum _ {i} \ int _ {{U_ {i}}} \ psi _ {i} \, \ alpha

unde fiecare termen din sumă este evaluat prin pull-back in $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ definite anterior. Această definiție nu depinde de alegerea partiției de unitate și a cardurilor.

Afirmație

Teorema lui Stokes afirmă că dacă $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este un formular de suport (n-1) compact pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ Și $\partial \Omega$ ${\ displaystyle \ partial \ Omega}$ $\ partial \ Omega$ este granița $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , asa de:

\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega =\int _{\partial \Omega }\omega \ \ \left(=\oint _{\partial \Omega }\omega \right)

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ mathrm {d} \ omega = \ int _ {\ partial \ Omega} \ omega \ \ \ left (= \ oint _ {\ partial \ Omega} \ omega \ right)}

\ int _ {\ Omega} {\ mathrm {d}} \ omega = \ int _ {{\ partial \ Omega}} \ omega \ \ \ left (= \ oint _ {{\ partial \ Omega}} \ omega \ dreapta)

unde este $\mathrm {d} \omega$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega}$ ${\ mathrm {d}} \ omega$ este derivatul extern al $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , definit prin intermediul structurii multiple. Adică integralul fiecărei forme diferențiale cu un suport compact $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ la frontiera unui soi orientat $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este egal cu integralul derivatului său extern evaluat pe ansamblu $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ .

Cazuri speciale

Teorema gradientului

Același subiect în detaliu: Teorema gradientului .

Teorema gradientului afirmă că:

\int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi

{\ displaystyle \ int _ {\ partial \ gamma} \ phi = \ int _ {\ gamma} \ mathrm {d} \ phi}

\ int _ {{\ partial \ gamma}} \ phi = \ int _ {{\ gamma}} {\ mathrm {d}} \ phi

pentru fiecare formă 0 $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ definit pe o curbă diferențiată $\gamma \subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ gamma \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ gamma \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ . Aceasta este versiunea teoremei lui Stokes cu forme diferențiale 1 definite pe o varietate de dimensiuni 1. Afirmația opusă afirmă că dată o formă diferențială $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ definit pe un domeniu contractabil , dacă este integrantul $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ pe fiecare colector închis este nul atunci există o formă $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ astfel încât $\omega =d\psi$ ${\ displaystyle \ omega = d \ psi}$ $\ omega = d \ psi$ . Pe un domeniu contractabil, fiecare formă închisă este exactă, iar acest rezultat este rezumat de lema lui Poincaré .

Teorema rotorului

Același subiect în detaliu: teorema rotorului .

Teorema rotorului afirmă că fluxul rotorului anumitor câmpuri vectoriale pe suprafețe limită regulate este același cu circuitul câmpului de-a lungul limitei suprafeței:

\int _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\,d\mathbf {s} =\oint _{\partial S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}

{\ displaystyle \ int _ {S} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \, d \ mathbf {s} = \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r} }

{\ displaystyle \ int _ {S} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \, d \ mathbf {s} = \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r} }

.

unde este $\mathbf {F} :\Omega \to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}: \ Omega \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ mathbf F}: \ Omega \ to {\ mathbb {R}} ^ {3}$ un câmp vector de clasă $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ , cu $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un domeniu obișnuit conținut în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3$ , Și $S:D\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle S: D \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ $S: D \ subseteq {\ mathbb {R}} ^ {2} \ to {\ mathbb {R}} ^ {3}$ este o suprafață regulată uneori cu margine $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ $\ partial S.$ .

Câmpul vector $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ poate fi considerat ca o formă 1 și, în acest caz, rotorul este derivatul extern .

Teorema divergenței

Același subiect în detaliu: teorema divergenței .

O regiune

V.

{\ displaystyle V}

V.

legat de

\partial V

{\ displaystyle \ partial V}

\ parțial V

(S în figură), cu

\mathbf {n}

{\ displaystyle \ mathbf {n}}

\ mathbf {n}

vectorul unitar normal de ieșire.

Luați în considerare un întreg $V\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle V \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $V \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ compact mărginit de o suprafață netedă $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ . De sine $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ este un câmp vector diferențiat continuu (de clasă $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ ) definit într-un cartier al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , avem: ^[2]

\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,dv=\oint _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s}

{\ displaystyle \ int _ {V} \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {F} \, dv = \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {s}}

\ int _ {V} {\ mathbf {\ nabla}} \ cdot {\ mathbf {F}} \, dv = \ oint _ {{\ partial V}} {\ mathbf {F}} \ cdot d {\ mathbf {s}}

unde este $d\mathbf {s} =\mathbf {n} \ dS$ ${\ displaystyle d \ mathbf {s} = \ mathbf {n} \ dS}$ $d {\ mathbf {s}} = {\ mathbf {n}} \ dS$ este elementul de suprafață ( $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf {n}$ este vectorul unitar normal de ieșire). Cu alte cuvinte, fluxul de $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ prin suprafața închisă $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ coincide cu integralul divergenței de $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ redat în volum $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din care suprafața este o margine . ^[3] Teorema lui Stokes poate fi utilizată pentru a egala integralul peste un volum n-dimensional al divergenței unui câmp vectorial $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ definit pe regiune $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $U \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ la integralul $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ pe suprafața (de dimensiunea n-1) care constituie marginea $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ :

\int _{U}\nabla \cdot \mathbf {F} \,dV_{n}=\oint _{\partial U}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS_{n-1}

{\ displaystyle \ int _ {U} \ nabla \ cdot \ mathbf {F} \, dV_ {n} = \ oint _ {\ partial U} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n} \, dS_ {n -1}}

\ int _ {U} \ nabla \ cdot {\ mathbf {F}} \, dV_ {n} = \ oint _ {{\ partial U}} {\ mathbf {F}} \ cdot {\ mathbf {n}} \, dS _ {{n-1}}

Într-o notație mai concisă putem scrie:

\int _{V}{\dfrac {\partial F_{i}}{\partial x_{i}}}dV=\int _{S}F_{i}n_{i}\,dS

{\ displaystyle \ int _ {V} {\ dfrac {\ partial F_ {i}} {\ partial x_ {i}}} dV = \ int _ {S} F_ {i} n_ {i} \, dS}

\ int _ {V} {\ dfrac {\ partial F_ {i}} {\ partial x_ {i}}} dV = \ int _ {S} F_ {i} n_ {i} \, dS

astfel încât prin înlocuire $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ cu câmp tensorial $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ de ordinul n obținem generalizarea: ^[4]

\int _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}dV=\int _{S}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,dS

{\ displaystyle \ int _ {V} {\ dfrac {\ partial T_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {q} \ cdots i_ {n}}} {\ partial x_ {i_ {q}}} } dV = \ int _ {S} T_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {q} \ cdots i_ {n}} n_ {i_ {q}} \, dS}

\ int _ {V} {\ dfrac {\ partial T _ {{i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {q} \ cdots i_ {n}}}} {\ partial x _ {{i_ {q} }}}} dV = \ int _ {S} T _ {{i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {q} \ cdots i_ {n}}} n _ {{i_ {q}}} \, dS

unde contracția indicilor are loc la ambii membri ai relației, pentru cel puțin un indice. Relația anterioară, care se menține în trei dimensiuni, poate fi extinsă la varietăți de dimensiuni arbitrare. ^[5] ^[6]

Notă

^ Olivier Darrigol. Electrodinamica de la Ampere la Einstein , p. 146. Oxford University Press, 2002
^ MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Vector Analysis (2nd Edition) , Schaum's Outlines, McGraw Hill (SUA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 .
^ Eric Weisstein, MathWorld - Teorema divergenței , la mathworld.wolfram.com , 2010.
^ KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Metode matematice pentru fizică și inginerie , Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 .
^ JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, Gravitation , WH Freeman & Co, 1973, pp. 85-86, §3.5, ISBN 0-7167-0344-0 .
^ R. Penrose, Drumul către realitate , cărți de epocă, 2007, ISBN 0-679-77631-1 .

Bibliografie

( EN ) Morse, PM și Feshbach, H. „Teorema lui Stokes”. În Metode de fizică teoretică , Partea I. New York: McGraw-Hill, p. 43, 1953.
(EN) Stewart, James. Calcul: concepte și contexte . A 2-a ed. Pacific Grove, CA: Brooks / Cole, 2001.
(EN) Stewart, James. Calcul: Funcții transcendentale timpurii . A 5-a ed. Brooks / Cole, 2003.
( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
( DE ) Joos, Georg. Theoretische Physik . Ediția a XIII-a Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden 1980. ISBN 3-400-00013-2

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere din teorema lui Stokes

linkuri externe

( EN ) LD Kudryavtsev, formula Stokes , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Olivier Darrigol. Electrodinamica de la Ampere la Einstein , p. 146. Oxford University Press, 2002

[2] MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Vector Analysis (2nd Edition) , Schaum's Outlines, McGraw Hill (SUA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 .

[mathworld-3] Eric Weisstein, MathWorld - Teorema divergenței , la mathworld.wolfram.com , 2010.

[4] KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Metode matematice pentru fizică și inginerie , Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 .

[5] JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, Gravitation , WH Freeman & Co, 1973, pp. 85-86, §3.5, ISBN 0-7167-0344-0 .

[6] R. Penrose, Drumul către realitate , cărți de epocă, 2007, ISBN 0-679-77631-1 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]