Teorema lui Sylvester
În algebra liniară , teorema lui Sylvester permite clasificarea produselor scalare pe un finit dimensional spațiu vectorial prin intermediul unui numeric invariant , care , în real , caz este semnătura în timp ce în complexul caz este rangul .
Teorema
Este un spațiu vectorial de dimensiune n pe teren reale sau complexe numere , pe care un produs scalar este definit pe , Adică, oformă biliniară simetrică .
Două produse scalare Și acestea sunt numite izometrică (sau congruente ) , în cazul în care acestea sunt conectate printr - o izometrie , sau în cazul în care există un automorphism , Adică o liniar transformare bijective , astfel încât:
doi transportatori Și din sunt ortogonale pentru de sine Și radical este subspațiul vectorul dat de vectorii care sunt ortogonale orice vector. Rangul este n minus dimensiunea radicalului, în timp ce un vector este izotropă dacă .
O bază ortogonală de în comparație cu este o bază vector care sunt două câte două ortogonale. Considera și să definească semnătura bazei ca tripleta de numere întregi, în cazul în care:
- este numărul de vectori de baza pentru care .
- este numărul de vectori de baza pentru care .
- este numărul de vectori de baza pentru care .
O astfel de definiție, o va face nici un sens pentru , deoarece nu are naturale ordine .
Afirmație
Există două versiuni ale teoremei lui Sylvester: unul pentru câmpul real și unul pentru cel de complex.
Adevăratele state teorema Sylvester că, dacă este un produs scalar pe spațiul vectorial real de dimensiune n, atunci:
- Există o bază ortogonală pentru .
- Două baze ortogonale pentru ei au aceeași semnătură, care depinde, prin urmare, numai pe .
- Două produse scalare cu aceeași semnătură sunt congruente.
Semnătura este , prin urmare , un invariant complet pentru izometrie (congruență): două spații vectoriale reale cu produs scalar sunt izometrică (congruente) , dacă și numai dacă au aceeași semnătură.
Complexul de state versiune că, dacă este un produs scalar pe spațiul vectorial complex de dimensiune n, atunci:
- Există o bază ortogonală pentru .
- Două baze ortogonale pentru conțin același număr de izotrope vectori, egal cu mărimea radicalului, care depinde , prin urmare , numai pe .
- Două produse scalare cu același rang sunt congruente.
În caz complex rangul este , prin urmare , un invariant complet pentru izometrie (congruență).
Bibliografie
- (RO) DJH GARLING, Clifford algebrelor. O introducere, London Mathematical Society Student Texte, vol. 78, Cambridge, Cambridge University Press , 2011, ISBN 978-1-107-09638-7 , Zbl 1,235.15025 .
- (RO) Norman, CW, Undergraduate algebră, Oxford University Press , 1986, pp. 360-361, ISBN 0-19-853248-2 .
Elemente conexe
linkuri externe
- (RO) legea lui Sylvester pe planetmath .