Teorema lui Sylvester

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În algebra liniară , teorema lui Sylvester permite clasificarea produselor scalare pe un finit dimensional spațiu vectorial prin intermediul unui numeric invariant , care , în real , caz este semnătura în timp ce în complexul caz este rangul .

Teorema

Este un spațiu vectorial de dimensiune n pe teren reale sau complexe numere , pe care un produs scalar este definit pe , Adică, oformă biliniară simetrică .

Două produse scalare Și acestea sunt numite izometrică (sau congruente ) , în cazul în care acestea sunt conectate printr - o izometrie , sau în cazul în care există un automorphism , Adică o liniar transformare bijective , astfel încât:

doi transportatori Și din sunt ortogonale pentru de sine Și radical este subspațiul vectorul dat de vectorii care sunt ortogonale orice vector. Rangul este n minus dimensiunea radicalului, în timp ce un vector este izotropă dacă .

O bază ortogonală de în comparație cu este o bază vector care sunt două câte două ortogonale. Considera și să definească semnătura bazei ca tripleta de numere întregi, în cazul în care:

  • este numărul de vectori de baza pentru care .
  • este numărul de vectori de baza pentru care .
  • este numărul de vectori de baza pentru care .

O astfel de definiție, o va face nici un sens pentru , deoarece nu are naturale ordine .

Afirmație

Există două versiuni ale teoremei lui Sylvester: unul pentru câmpul real și unul pentru cel de complex.

Adevăratele state teorema Sylvester că, dacă este un produs scalar pe spațiul vectorial real de dimensiune n, atunci:

  • Există o bază ortogonală pentru .
  • Două baze ortogonale pentru ei au aceeași semnătură, care depinde, prin urmare, numai pe .
  • Două produse scalare cu aceeași semnătură sunt congruente.

Semnătura este , prin urmare , un invariant complet pentru izometrie (congruență): două spații vectoriale reale cu produs scalar sunt izometrică (congruente) , dacă și numai dacă au aceeași semnătură.

Complexul de state versiune că, dacă este un produs scalar pe spațiul vectorial complex de dimensiune n, atunci:

  • Există o bază ortogonală pentru .
  • Două baze ortogonale pentru conțin același număr de izotrope vectori, egal cu mărimea radicalului, care depinde , prin urmare , numai pe .
  • Două produse scalare cu același rang sunt congruente.

În caz complex rangul este , prin urmare , un invariant complet pentru izometrie (congruență).

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică