Teorema lui Thales

În geometrie , teorema lui Thales este o teoremă referitoare la legăturile dintre segmentele omoloage create pe transversale de un pachet de linii paralele.

Enunțarea și demonstrația sunt în mod tradițional, așa cum sugerează și numele, atribuite lui Thales din Milet , un filozof grec, căruia mitul îi atribuie alte 4 teoreme geometrice, chiar dacă istoricii matematicii sunt de acord să îi atribuie cunoștințele, dar nu realul. autorul, deoarece s-ar părea că proprietățile proporționalității, exprimate în teoremă, erau deja cunoscute încă din vremea vechilor babilonieni (într-un text al secolului al XVII-lea î.Hr., a se vedea Revue d'Assyriologie, XXXI, pp. 61 și următoarele) . Prima demonstrație a cărei documentație este conținută în Elementele lui Euclid, datând din secolul al III-lea î.Hr.

În engleză, teorema lui Thales înseamnă de obicei teorema conform căreia un unghi inscripționat într-un semicerc este corect .

Afirmație

Enunțul teoremei este următorul:

"Un pachet de linii paralele care intersectează două linii transversale determină pe ele clase de segmente direct proporționale ."

Teorema afirmă în practică că dacă sunt luate trei paralele $a,\ b,\ c$ ${\ displaystyle a, \ b, \ c}$ $a, \ b, \ c$ tăierea a două linii transversale $\scriptstyle r$ ${\ displaystyle \ scriptstyle r}$ $\ scriptstyle r$ Și $\scriptstyle r'$ ${\ displaystyle \ scriptstyle r '}$ $\ scriptstyle r '$ - respectiv în puncte $\scriptstyle A\ B\ C$ ${\ displaystyle \ scriptstyle A \ B \ C}$ $\ scriptstyle A \ B \ C$ Și $\scriptstyle A'\ B'\ C'$ ${\ displaystyle \ scriptstyle A '\ B' \ C '}$ $\ scriptstyle A '\ B' \ C '$ -, atunci raportul dintre segmentele omoloage ale unuia și celuilalt este întotdeauna constant.

AB:A'B'=BC:B'C'

{\ displaystyle AB: A'B '= BC: B'C'}

AB: A'B '= BC: B'C'

Mai mult, dacă AC și A'C ', segmente omoloage, au aceeași relație între ele ca AB cu A'B' și BC cu B'C ', adică

{AB \over A'B'}={BC \over B'C'}={AC \over A'C'}={\frac {AB+BC}{A'B'+B'C'}}

{\ displaystyle {AB \ over A'B '} = {BC \ over B'C'} = {AC \ over A'C '} = {\ frac {AB + BC} {A'B' + B'C '}}}

{AB \ over A'B '} = {BC \ over B'C'} = {AC \ over A'C '} = {\ frac {AB + BC} {A'B' + B'C '}}

Este astfel posibil să găsiți lungimea oricăruia dintre segmentele cuaternului, cu condiția să aveți cel puțin unul din același transvers și doi din celălalt sau suma lor.

AB={\frac {A'B'\times BC}{B'C'}}={\frac {AC\times (A'C'-B'C')}{A'C'}}={\frac {BC\times A'B'}{A'C'-A'B'}}

{\ displaystyle AB = {\ frac {A'B '\ times BC} {B'C'}} = {\ frac {AC \ times (A'C'-B'C ')} {A'C'} } = {\ frac {BC \ times A'B '} {A'C'-A'B'}}}

AB = {\ frac {A'B '\ times BC} {B'C'}} = {\ frac {AC \ times (A'C'-B'C ')} {A'C'}} = { \ frac {BC \ times A'B '} {A'C'-A'B'}}

Aceste relații sunt valabile pentru orice pereche de segmente omoloage.

Demonstrație

Euclid dovedește ^[1] teorema lui Thales în mod indirect, folosind proporționalitatea dintre ariile triunghiurilor; prin urmare, legătura dintre următoarea dovadă și rezultatul final poate să nu fie atât de ușor de înțeles.

„ Dacă o linie dreaptă este trasată paralel cu una dintre laturile unui triunghi, atunci tăiați proporțional laturile triunghiului ... ”

( Elemente , VI 2 )

Dat fiind un triunghi ABC, tăiat de un segment DE paralel cu una dintre laturile sale (în acest caz BC). Teza teoremei poate fi scrisă astfel: ^[2]

\scriptstyle BD\ :\ AD\ =\ CE\ :\ AE

{\ displaystyle \ scriptstyle BD \: \ AD \ = \ CE \: \ AE}

\ scriptstyle BD \: \ AD \ = \ CE \: \ AE

Extremele DE sunt unite cu contrariile laturii paralele, evidențiind astfel cele două triunghiuri BDE și CDE. Aceste triunghiuri sunt echestheses, deoarece au aceeași bază și sunt între aceleași paralele DE și BC ^[3] .
Segmentul DE a creat și triunghiul ADE și, întrucât „cantități” egale corespund unor rapoarte egale cu aceeași „magnitudine” [Prop. V.7], triunghiul BDE este la ADE precum CDE la ADE ^[4] .

\scriptstyle BDE\ :\ ADE\ =\ CDE\ :\ ADE

{\ displaystyle \ scriptstyle BDE \: \ ADE \ = \ CDE \: \ ADE}

\ scriptstyle BDE \: \ ADE \ = \ CDE \: \ ADE

Dar triunghiul BDE este ADE, așa cum BD este DA, deoarece având aceeași înălțime (în acest caz DE), acestea trebuie să fie una la alta ca bazele respective [Prop. VI.1], la fel cum, din același motiv, triunghiul CDE este ADE, așa cum CE este EA. Prin urmare, BD este pentru DA, precum CE pentru EA ^[5] .

\scriptstyle BD\ :\ AD\ =\ CE\ :\ AE\ \

{\ displaystyle \ scriptstyle BD \: \ AD \ = \ CE \: \ AE \ \}

\ scriptstyle BD \: \ AD \ = \ CE \: \ AE \ \

Cvd .

Viceversa este valabilă și, prin urmare, dat un pachet de linii drepte tăiate de două transversale, spunând că sunt paralele sau spunând că împart segmentele transversale în clase proporționale sunt enunțuri echivalente.

Două corolari complementare derivă din teorema lui Thales, care împreună constituie propoziția originală a lui Euclid:

O linie paralelă cu latura unui triunghi determină segmente proporționale pe celelalte două laturi.

O linie care determină pe două laturi ale unui segment triunghiular proporțional, este paralelă cu a treia latură.

Urmări

Triunghiuri similare

Prin aplicarea teoremei lui Thales triunghiurilor, al doilea criteriu de similaritate al triunghiurilor poate fi dovedit:

Două triunghiuri, având perechi de laturi proporționale și unghiul inclusiv congruent, sunt similare.

Dacă, după cum afirmă a doua parte a propoziției euclidiene, toate segmentele omoloage sunt proporționale $\scriptstyle {AB \over AC}={BB' \over CC'}={B'B'' \over C'C''}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {AB \ over AC} = {BB '\ over CC'} = {B'B '' \ over C'C ''}}$ $\ scriptstyle {AB \ over AC} = {BB '\ over CC'} = {B'B '' \ over C'C ''}$ , atunci B'C 'și B''C' 'sunt paralele cu BC și, prin urmare, triunghiurile ABC, AB'C' AB''C '', sunt triunghiuri similare.
Acest lucru permite stabilirea unei serii de legături nu numai între segmentele omoloage ale traverselor, ci și pe paralele.

AB:AB'=AC:AC'=BC:B'C'

{\ displaystyle AB: AB '= AC: AC' = BC: B'C '}

AB: AB '= AC: AC' = BC: B'C '

^[6]

O condiție necesară pentru validitatea acestor relații este aceea $\scriptstyle A=A'$ ${\ displaystyle \ scriptstyle A = A '}$ $\ scriptstyle A = A '$ : numai așa, de fapt, transversalele pot fi asimilate laturilor unui triunghi, din a cărui similitudine derivă proporționalitatea segmentelor paralele.

Din aceasta găsim lungimea segmentului generic B'C ', prin următoarele relații. $B'C'={AB'\times BC \over AB}$ ${\ displaystyle B'C '= {AB' \ ori BC \ peste AB}}$ $B'C '= {AB' \ ori BC \ peste AB}$

Omotomie

În transformările planului , teorema lui Thales este, de asemenea, capabilă să explice transformări precum homotei este capabil să păstreze proporțiile figurilor neschimbate.

BCD și B'C'D 'sunt figuri similare: avem, de exemplu, că BC și B'C' în ceea ce privește A pot fi văzute ca a treia latură a două triunghiuri similare, unde A este centrul homotei și AB / AB ' relația aceluiași.

fundal

Legenda spune, după cum spune Plutarh ^[7] , că Thales călătorind în Egipt în căutarea preoților din valea Nilului de la care să învețe cunoștințe astronomice, urcând pe râu s-ar fi oprit în apropierea Platoului Giza , atras de mărimea piramidei. al lui Keops , unde faraonul Amasis , după ce a ajuns să cunoască faima înțeleptului, l-a provocat să-i ofere măsurarea corectă a înălțimii.

Thales știa că, la un anumit moment al zilei, umbra noastră se potrivește exact cu înălțimea noastră ^[8] și, prin urmare, pentru a îndeplini sarcina aparent dificilă, el nu ar fi făcut altceva decât să aștepte ora potrivită și să-și demonstreze abilitățile, uluind același faraon. care și-a spus:

„... Uimit de felul în care [el] măsura piramida fără cea mai mică jenă și fără instrumente. Plantarea unui pol la marginea umbrei aruncate de piramidă, deoarece razele soarelui, investind polul și piramida au format două triunghiuri, [el] a demonstrat că înălțimea polului și cea a piramidei sunt în aceeași proporția în care stau umbrele lor. "

( Plutarh , Convivium of the Seven Wise Men )

Nu știm dacă Thales a dovedit cu adevărat teorema care îi poartă numele sau dacă (mult mai probabil) a folosit pur și simplu proprietatea exprimată în declarația sa, după ce a învățat-o de la alții, poate de la caldeeni , așa cum susțin unii cercetători; dacă totuși se dorește să se considere anecdota ca neîntemeiată, trebuie neapărat să presupunem că a avut o bună cunoaștere a proprietăților menționate și a implicațiilor inerente triunghiurilor similare ^[9] .

Pentru ca proiecția umbrei să fie egală cu înălțimea, este necesar ca razele soarelui să lovească obiectul cu o înclinație egală cu 45 °, precum diagonala unui pătrat , care, având în vedere latitudinea de aproximativ 30 ° nord a Marea Piramidă, implică faptul că Thales a fost prezent pe loc sau în ziua de 21 noiembrie sau 20 ianuarie, o eventualitate destul de puțin probabilă; pe de altă parte, este mai ușor să ipotezăm că a folosit umbra piramidei pentru a măsura înălțimea acesteia, dar prin exploatarea relației pe care o are cu aceasta, luând ca referință relația omologă dintre post și proiecția sa.

Notă

^ Pentru a facilita identificarea înălțimilor, un triunghi unghiular a fost folosit ca referință, dar dovada originală, oferită de Euclid, are o valoare generală pentru fiecare tip de triunghi.
^ Laturile triunghiului AB și AC pot fi înțelese ca segmente ale liniilor transversale r ', iar DE și BC ca elemente ale unui pachet de linii paralele, prin urmare, dovada teoremei apare prin verificarea relației pe segmentele laturile tăiate de DE.
^ La propoziția 38 a primei cărți de elemente , se arată că două triunghiuri având aceeași bază și conținute în aceleași paralele au aceeași zonă. Lucrul este destul de intuitiv deja din formula zonei $B*h/2$ ${\ displaystyle B * h / 2}$ $B * h / 2$ , deoarece baza, constituită din DE și înălțimile, într-un caz DB și în celălalt proiecția în albastru, sunt de asemenea egale, ariile celor două triunghiuri pot fi egale doar.
^ Termenul magnitudine este un termen generic, așa cum a folosit Euclid în primele sale axiome, dar este o afirmație generală care în acest caz se referă la ariile triunghiurilor, a căror relație poate fi rezumată după cum urmează
^ Triunghiurile sunt văzute dintr-un alt punct de vedere, dar nimic nu se schimbă: BD și AD sunt văzute ca baze și DE ca înălțime, la fel se întâmplă pentru CE și EA și înălțimea lor h. Înlocuirea raporturilor cu ariile triunghiurilor verifică proporțiile $\scriptstyle {BDE \over ADE}={\frac {BD\times DE/2}{AD\times DE)/2}}={BD \over AD}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {BDE \ over ADE} = {\ frac {BD \ times DE / 2} {AD \ times DE) / 2}} = {BD \ over AD}}$ $\ scriptstyle {BDE \ over ADE} = {\ frac {BD \ times DE / 2} {AD \ times DE) / 2}} = {BD \ over AD}$ Și $\scriptstyle {CDE \over ADE}={\frac {CE\times h/2}{EA\times h/2}}={CE \over EA}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {CDE \ over ADE} = {\ frac {CE \ times h / 2} {EA \ times h / 2}} = {CE \ over EA}}$ $\ scriptstyle {CDE \ over ADE} = {\ frac {CE \ times h / 2} {EA \ times h / 2}} = {CE \ over EA}$
^ aceste relații sunt uneori cunoscute sub numele de Teorema Mică a lui Thales
^ Convivium of the Seven Wise Men (2, 147 A)
^ Diogenes Laertius , Lives
^ Pentru a consolida teza, există o altă anecdotă, care spune că Thales a fost primul om care a demonstrat cum distanța unei nave pe mare putea fi cunoscută doar prin observarea înălțimii catargului.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe teorema lui Thales

linkuri externe

Teorema în versiunea Java , pe math.it. Adus la 22 octombrie 2006 (arhivat din original la 31 decembrie 2006) .
( EN ) Elementele lui Euclid (dovadă tradusă din greacă)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Pentru a facilita identificarea înălțimilor, un triunghi unghiular a fost folosit ca referință, dar dovada originală, oferită de Euclid, are o valoare generală pentru fiecare tip de triunghi.

[2] Laturile triunghiului AB și AC pot fi înțelese ca segmente ale liniilor transversale r ', iar DE și BC ca elemente ale unui pachet de linii paralele, prin urmare, dovada teoremei apare prin verificarea relației pe segmentele laturile tăiate de DE.

[3] La propoziția 38 a primei cărți de elemente , se arată că două triunghiuri având aceeași bază și conținute în aceleași paralele au aceeași zonă. Lucrul este destul de intuitiv deja din formula zonei $B*h/2$ ${\ displaystyle B * h / 2}$ $B * h / 2$ , deoarece baza, constituită din DE și înălțimile, într-un caz DB și în celălalt proiecția în albastru, sunt de asemenea egale, ariile celor două triunghiuri pot fi egale doar.

[4] Termenul magnitudine este un termen generic, așa cum a folosit Euclid în primele sale axiome, dar este o afirmație generală care în acest caz se referă la ariile triunghiurilor, a căror relație poate fi rezumată după cum urmează

[5] Triunghiurile sunt văzute dintr-un alt punct de vedere, dar nimic nu se schimbă: BD și AD sunt văzute ca baze și DE ca înălțime, la fel se întâmplă pentru CE și EA și înălțimea lor h. Înlocuirea raporturilor cu ariile triunghiurilor verifică proporțiile $\scriptstyle {BDE \over ADE}={\frac {BD\times DE/2}{AD\times DE)/2}}={BD \over AD}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {BDE \ over ADE} = {\ frac {BD \ times DE / 2} {AD \ times DE) / 2}} = {BD \ over AD}}$ $\ scriptstyle {BDE \ over ADE} = {\ frac {BD \ times DE / 2} {AD \ times DE) / 2}} = {BD \ over AD}$ Și $\scriptstyle {CDE \over ADE}={\frac {CE\times h/2}{EA\times h/2}}={CE \over EA}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {CDE \ over ADE} = {\ frac {CE \ times h / 2} {EA \ times h / 2}} = {CE \ over EA}}$ $\ scriptstyle {CDE \ over ADE} = {\ frac {CE \ times h / 2} {EA \ times h / 2}} = {CE \ over EA}$

[6] ste relații sunt uneori cunoscute sub numele de Teorema Mică a lui Thales

[7] Convivium of the Seven Wise Men (2, 147 A)

[8] Diogenes Laertius , Lives

[9] Pentru a consolida teza, există o altă anecdotă, care spune că Thales a fost primul om care a demonstrat cum distanța unei nave pe mare putea fi cunoscută doar prin observarea înălțimii catargului.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]