Teorema lui Tihonov

În matematică și mai exact în topologie , teorema lui Tihonov sau teorema lui Tychonoff afirmă că produsul oricărei familii de spații topologice compacte este compact. Teorema își ia numele de la Andrei Nikolaevich Tihonov , care a dovedit-o prima dată în 1930 pentru puterile intervalului închis unitar și a declarat versiunea completă, menționând că dovada era analogă cazului particular. Cea mai veche dovadă publicată despre care știm este conținută într-o lucrare din 1937 a lui Eduard Čech .

Multe texte consideră teorema lui Tychonoff ca fiind unul dintre cele mai importante rezultate ale topologiei generale . ^[1]

Definiții

În mod clar, teorema depinde în mod crucial de definiția precisă a compactității și topologiei produsului (lucrarea lui Tychonoff din 1935 definește topologia produsului pentru prima dată). Mai mult, o parte din importanța sa extremă constă tocmai în asigurarea faptului că aceste definiții particulare sunt cele care sunt de fapt corecte (adică cele mai utile).

De fapt, definiția Heine-Borel a compactității - că fiecare acoperire deschisă a unui spațiu admite un acoperire finit - este relativ recentă. Mai popular în secolele al XIX-lea și începutul secolului al XX-lea a fost criteriul Bolzano-Weierstrass conform căruia fiecare succesiune admite o subsecvență convergentă, numită acum compactitate a succesiunii . Aceste condiții sunt echivalente pentru spațiile metrice , dar niciuna nu o implică pe cealaltă din clasa tuturor spațiilor topologice.

Este aproape banal să arătăm că produsul a două spații compacte pentru secvențe este compact pentru secvențe - extragem o subsecvență pentru prima componentă și apoi o subsecvență pentru a doua. Un argument puțin mai elaborat pentru „diagonalizare” stabilește compactitatea prin secvențe a unui produs numărabil de spații compacte prin secvențe. Cu toate acestea, produsul unui număr nenumărat de copii ale intervalului închis unitar nu este compact pentru succesiuni.

Acesta este un eșec critic: dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu complet regulat al lui Hausdorff, există o imersiune naturală a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $[0,1]^{C(X,[0,1])}$ ${\ displaystyle [0,1] ^ {C (X, [0,1])}}$ ${\ displaystyle [0,1] ^ {C (X, [0,1])}}$ , unde este $C(X,[0,1])$ ${\ displaystyle C (X, [0,1])}$ ${\ displaystyle C (X, [0,1])}$ este setul de aplicații continue de la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ . Din compactitatea $[0,1]^{C(X,[0,1])}$ ${\ displaystyle [0,1] ^ {C (X, [0,1])}}$ ${\ displaystyle [0,1] ^ {C (X, [0,1])}}$ Prin urmare, rezultă că fiecare spațiu Hausdorff complet regulat poate fi scufundat într-un spațiu compact Hausdorff (adică poate fi „compactat”). De fapt, această construcție nu este alta decât compactificarea Stone-Čech . Invers, toate subspatiile unui spatiu compact Hausdorff sunt complet Hausdorff regulate, ceea ce permite caracterizarea spatiilor Hausdorff complet regulate ca cele care pot fi compactate. Astfel de spații se numesc acum spații Tychonoff .

Aplicații

Teorema lui Tychonoff este folosită și în dovada teoremei Banach-Alaoglu și în cea a teoremei Ascoli . Mai general, orice tip de construcție care începe de la un obiect destul de general (adesea de natură algebrică sau algebrică-topologică) și are ca rezultat un spațiu compact utilizează probabil teorema lui Tychonoff: de exemplu, reprezentarea lui Gelfand a idealurilor maxime pe un $C^{*}$ ${\ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ {*}$ algebra comutativă, spațiul de piatră al idealurilor maxime ale unei algebre booleene, spectrul Berkovich al unui inel Banach comutativ.

Dovezi ale teoremei lui Tychonoff

1) Dovada lui Tychonoff din 1930 s-a bazat pe conceptul de punct de acumulare complet .

2) Teorema este un corolar aproape imediat al teoremei subbazei lui Alexandru .

Dovezile mai moderne sunt motivate de următoarele considerații: abordarea compactității prin convergența subsecvențelor duce la o demonstrație simplă și clară în cazul unui set de indici numărabil. Cu toate acestea, abordarea convergenței într-un spațiu topologic folosind secvențe este suficientă atunci când spațiul satisface prima axiomă a numărabilității (așa cum fac de fapt spațiile metrice), dar în general acest lucru nu se întâmplă în celelalte cazuri. Cu toate acestea, produsul unui număr numărabil de spații metrice, fiecare cu cel puțin 2 puncte, este de nenumărat. Deci, este firesc să sperăm că o noțiune adecvată de convergență în spații arbitrare duce la un criteriu de compactitate care generalizează compactitatea prin secvențe în spații metrice care se aplică cu ușurință pentru a deduce compactitatea produselor. Am văzut că exact asta se întâmplă.

3) Teoria convergenței prin filtre, datorată lui Henri Cartan și dezvoltată de Bourbaki în 1937, conduce la următorul criteriu: un spațiu este compact dacă și numai dacă converge fiecare ultrafiltru din spațiu. Cu acesta din urmă, demonstrația devine ușoară: (filtrul generat de) imaginea unui ultrafiltru pe spațiul produs sub orice hartă de proiecție este un ultrafiltru pe factorul de spațiu și, prin urmare, converge la cel puțin unul $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ . De aici se arată apoi că ultrafiltrul de pornire converge la $(x_{i})$ ${\ displaystyle (x_ {i})}$ $(x_ {i})$ .

Cu toate acestea, Munkres, în binecunoscutul său manual, oferă o reelaborare a dovezii Cartan-Bourbaki care nu face nicio utilizare explicită a noțiunilor de teorie a filtrelor sau a analogilor preliminari.

4) În mod similar, teoria convergenței Moore-Smith pentru rețele, îmbogățită în continuare de noțiunea Kelley de rețea universală , permite obținerea criteriului conform căruia un spațiu este compact dacă și numai dacă fiecare rețea universală converge pe același spațiu.

Utilizarea acestui criteriu, la rândul său, permite obținerea unei dovezi (Kelley, 1950) a teoremei Tychonoff care este identică, aproape cuvânt cu cuvânt, cu cea a Cartan-Bourbaki pe baza utilizării filtrelor, cu excepția termenului „ rețea universală "în locul" bazei ultrafiltrului ".

5) O demonstrație folosind rețele (dar nu rețele universale) a fost dată în cele din urmă de Paul Chernoff în 1992.

Teorema lui Tychonoff și axioma de alegere

Toate dovezile enumerate mai sus folosesc axioma de alegere (AS) într-un fel. De exemplu, a doua dovadă folosește faptul că fiecare filtru este conținut într-un ultrafiltru (adică un filtru maxim), iar acest lucru este obținut din lema lui Zorn. Lema lui Zorn este folosită și pentru a demonstra teorema lui Kelley, adică fiecare rețea admite o subrețea universală. Într-adevăr, aceste utilizări ale AS sunt esențiale: în 1950 Kelley a demonstrat că teorema lui Tychonoff implică AS. Rețineți că una dintre formulările axiomei de alegere este că produsul cartezian al unei familii de seturi ne-goale este ne-gol; dar deoarece setul gol este cu siguranță compact, dovada nu poate continua de-a lungul unei astfel de căi directe. Astfel, teorema lui Tychonoff se alătură altor teoreme de bază (de exemplu, fiecare spațiu vectorial admite o bază) în a fi echivalent cu AS.

Pe de altă parte, afirmația că fiecare filtru este conținut într-un ultrafiltru nu implică neapărat AS. Într-adevăr, nu este dificil să se demonstreze că este echivalent cu teorema ideală primară booleană (TIPB), un pas intermediar bine cunoscut între teoria mulțimilor bazată pe axiomele Zermelo-Fraenkel (ZF) și teoria ZF mărită a axiomei alegere (ZFC). La prima vedere, a doua dovadă a lui Tychonoff poate sugera că nu este necesar să se utilizeze altceva decât TIPB, ceea ce pare să contrazică cele de mai sus. Cu toate acestea, spațiile în care fiecare filtru convergent are o limită unică sunt exact spațiile Hausdorff. În general, de fapt, pentru fiecare element al setului de indici, trebuie ales un element al setului de limite ne-gol al bazei de ultrafiltru proiectate, iar acest lucru necesită în mod natural AS. Pe de altă parte, acest lucru dovedește, de asemenea, că compactitatea produsului spațiilor compacte Hausdorff poate fi dovedită prin intermediul TIPB și, de fapt, inversul este, de asemenea, adevărat. Studiul puterii teoremei lui Tychonoff pentru diferite clase restrânse de spații este în prezent o zonă activă de cercetare în topologia setului.

Analogul teoremei lui Tychonoff în topologia fără sens nu necesită utilizarea niciunei forme a AS.

Notă

^ Willard, p. 120

Bibliografie

( EN ) Chernoff, Paul N, O simplă dovadă a teoremei lui Tychonoff prin intermediul rețelelor , American Mathematical Monthly 99, 932-934, 1992.
( EN ) Johnstone, Peter T., Stone spaces , Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3, Cambridge University Press, 1982.
(EN) Johnstone, Peter T., Teorema lui Tychonoff fără axioma de alegere, Fundamenta Mathematica 113, 21-35, 1981.
( EN ) Kelley, John L., Convergence in topology , Duke Mathematics Journal 17, 277-283, 1950.
( EN ) Kelley, John L., Teorema produsului Tychonoff implică axioma de alegere , Fundamenta Mathematica 37, 75-76, 1950.
(EN) Munkres, James, Topologie, ediția a II-a, Prentice Hall, 2000.
( EN ) Tychonoff, Andrey N., Über die topologische Erweiterung von Räumen . Mathematische Annalen 102, 544-561, 1929.
(EN) Willard, Stephen, Topologie generală, Dover Publications, 2004.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) dovada teoremei lui Tychonoff în case neterminate , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Willard, p. 120

[1]