Teorema lui Van Kampen

O sferă este pur și simplu conectată , deoarece se descompune în două capace deschise

LA

{\ displaystyle A}

LA

Și

B.

{\ displaystyle B}

B.

pur și simplu conectate (sunt homeomorfe la

\mathbb {R} ^{2}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}

\ R ^ 2

) cu intersecție

A\cap B

{\ displaystyle A \ cap B}

A \ cap B

conectat. Aceasta este o aplicație a teoremei Seifert-Van Kampen. Rețineți că intersecția nu este pur și simplu conectată: aceasta nu este o ipoteză necesară pentru teoremă.

În matematică și mai exact în topologia algebrică , teorema Seifert-Van Kampen este unul dintre instrumentele principale pentru calcularea grupului fundamental al unui spațiu topologic . A fost demonstrat independent de Herbert Seifert și Egbert van Kampen la începutul anilor 1930 .

Teorema afirmă că dacă un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o uniune a două deschise $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ că anumite proprietăți ale conexiunii verifică atunci structura grupului său fundamental este exprimabilă în termenii grupurilor fundamentale ale $LA, B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $A, B$ și intersecția dintre $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . În acest fel teorema permite calcularea grupului fundamental al unui spațiu complicat pornind de la grupuri fundamentale de spații mai simple.

Afirmație

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu topologic , unire a două seturi deschise

X=A\cup B

{\ displaystyle X = A \ cup B}

{\ displaystyle X = A \ cup B}

astfel încât toate cele trei sunt deschise

A,B,A\cap B

{\ displaystyle A, B, A \ cap B}

{\ displaystyle A, B, A \ cap B}

sunt conectate prin arcuri . Teorema Seifert-Van Kampen afirmă următorul fapt.

Este $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ un punct de bază în $A\cap B$ ${\ displaystyle A \ cap B}$ $A \ cap B$ . Grupul fundamental al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este produsul amalgamat

\pi (X,x_{0})=\pi (A,x_{0})*_{\pi (A\cap B,x_{0})}\pi (B,x_{0})

{\ displaystyle \ pi (X, x_ {0}) = \ pi (A, x_ {0}) * _ {\ pi (A \ cap B, x_ {0})} \ pi (B, x_ {0} )}}

{\ displaystyle \ pi (X, x_ {0}) = \ pi (A, x_ {0}) * _ {\ pi (A \ cap B, x_ {0})} \ pi (B, x_ {0} )}}

Descriere prin prezentări

Produsul amalgamat poate fi descris concret folosind prezentări .

Dacă grupurile fundamentale ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $A\cap B$ ${\ displaystyle A \ cap B}$ $A \ cap B$ sunt descrise ca prezentări

\pi (A,x_{0})=\langle G_{A}\ |\ R_{A}\rangle ,

{\ displaystyle \ pi (A, x_ {0}) = \ langle G_ {A} \ | \ R_ {A} \ rangle,}

{\ displaystyle \ pi (A, x_ {0}) = \ langle G_ {A} \ | \ R_ {A} \ rangle,}

\pi (B,x_{0})=\langle G_{B}\ |\ R_{B}\rangle ,

{\ displaystyle \ pi (B, x_ {0}) = \ langle G_ {B} \ | \ R_ {B} \ rangle,}

{\ displaystyle \ pi (B, x_ {0}) = \ langle G_ {B} \ | \ R_ {B} \ rangle,}

\pi (A\cap B,x_{0})=\langle G\ |\ R\rangle

{\ displaystyle \ pi (A \ cap B, x_ {0}) = \ langle G \ | \ R \ rangle}

{\ displaystyle \ pi (A \ cap B, x_ {0}) = \ langle G \ | \ R \ rangle}

apoi grupul fundamental al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este descris de prezentare

\pi (X,x_{0})=\langle G_{A}\cup G_{B}\ |\ R_{A}\cup R_{B}\cup R'\rangle

{\ displaystyle \ pi (X, x_ {0}) = \ langle G_ {A} \ cup G_ {B} \ | \ R_ {A} \ cup R_ {B} \ cup R '\ rangle}

{\ displaystyle \ pi (X, x_ {0}) = \ langle G_ {A} \ cup G_ {B} \ | \ R_ {A} \ cup R_ {B} \ cup R '\ rangle}

obținută alături de prezentările de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și adăugarea de noi relații ${R.}^{'}$ ${\ displaystyle R '}$ $R '$ . Aceste noi relații exprimă faptul că șireturile conținute se află în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ că în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt de fapt la fel. Pentru a le defini este necesar să se introducă omomorfisme

i_{A}:\pi (A\cap B,x_{0})\rightarrow \pi (A,x_{0}),

{\ displaystyle i_ {A}: \ pi (A \ cap B, x_ {0}) \ rightarrow \ pi (A, x_ {0}),}

{\ displaystyle i_ {A}: \ pi (A \ cap B, x_ {0}) \ rightarrow \ pi (A, x_ {0}),}

i_{B}:\pi (A\cap B,x_{0})\rightarrow \pi (B,x_{0}),

{\ displaystyle i_ {B}: \ pi (A \ cap B, x_ {0}) \ rightarrow \ pi (B, x_ {0}),}

{\ displaystyle i_ {B}: \ pi (A \ cap B, x_ {0}) \ rightarrow \ pi (B, x_ {0}),}

indusă de incluziuni

A\cap B\hookrightarrow A,\quad A\cap B\hookrightarrow B.

{\ displaystyle A \ cap B \ hookrightarrow A, \ quad A \ cap B \ hookrightarrow B.}

{\ displaystyle A \ cap B \ hookrightarrow A, \ quad A \ cap B \ hookrightarrow B.}

Întregul ${R.}^{'}$ ${\ displaystyle R '}$ $R '$ este deci ansamblul relațiilor de tip

R'=\{i_{A}(g)i_{B}^{-1}(g)\ |\ g\in G\}.

{\ displaystyle R '= \ {i_ {A} (g) i_ {B} ^ {- 1} (g) \ | \ g \ în G \}.}

{\ displaystyle R '= \ {i_ {A} (g) i_ {B} ^ {- 1} (g) \ | \ g \ în G \}.}

Fiecare dintre aceste relații poate fi citită după cum urmează:

i_{A}(g)=i_{B}(g).

{\ displaystyle i_ {A} (g) = i_ {B} (g).}

{\ displaystyle i_ {A} (g) = i_ {B} (g).}

Cazuri speciale

Enunțul general al teoremei este simplificat în unele cazuri. De exemplu, dacă intersecția este pur și simplu conectată, produsul amalgamat este redus la un produs gratuit între grupuri. Ca mai sus, fie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu topologic, unire a două deschise $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ conectat prin arcuri și cu intersecție conectat prin arcuri.

Dacă intersecția $A\cap B$ ${\ displaystyle A \ cap B}$ $A \ cap B$ este pur și simplu conectat, grupul fundamental al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este produsul gratuit

\pi (X,x_{0})=\pi (A,x_{0})*\pi (B,x_{0})\,\!

{\ displaystyle \ pi (X, x_ {0}) = \ pi (A, x_ {0}) * \ pi (B, x_ {0}) \, \!}

{\ displaystyle \ pi (X, x_ {0}) = \ pi (A, x_ {0}) * \ pi (B, x_ {0}) \, \!}

Cu limbajul prezentărilor, acesta este același lucru cu a spune că relațiile adăugate nu apar ${R.}^{'}$ ${\ displaystyle R '}$ $R '$ .

Un alt caz util este acela în care unul dintre cele două este deschis $LA, B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $A, B$ este pur și simplu conectat.

Dacă deschise $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este pur și simplu conectat, grupul fundamental al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este coeficientul

\pi (X,x_{0})=\pi (A,x_{0})/_{N(i_{*}\pi (A\cap B,x_{0}))}

{\ displaystyle \ pi (X, x_ {0}) = \ pi (A, x_ {0}) / _ {N (i _ {*} \ pi (A \ cap B, x_ {0}))}}

{\ displaystyle \ pi (X, x_ {0}) = \ pi (A, x_ {0}) / _ {N (i _ {*} \ pi (A \ cap B, x_ {0}))}}

unde este

i_{*}:\pi (A\cap B,x_{0})\to \pi (A,x_{0})\,\!

{\ displaystyle i _ {*}: \ pi (A \ cap B, x_ {0}) \ to \ pi (A, x_ {0}) \, \!}

{\ displaystyle i _ {*}: \ pi (A \ cap B, x_ {0}) \ to \ pi (A, x_ {0}) \, \!}

este homomorfismul indus de incluziunea e $N(H)$ ${\ displaystyle N (H)}$ ${\ displaystyle N (H)}$ indică normalizarea de $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , care este cel mai mic subgrup normal care conține $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

Afirmația este simplificată și mai mult dacă ambele seturi deschise sunt conectate pur și simplu.

Dacă le deschizi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ambii sunt pur și simplu conectați $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este pur și simplu conectat.

Aplicații

Minge

Teorema Seifert-Van Kampen poate fi utilizată pentru a calcula grupul fundamental al sferei $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ n$ in marime $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$ . Lasa-i sa fie $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ două puncte antipodale în sferă. Cei doi se deschid

A=S^{n}\setminus \{p\},\quad B=S^{n}\setminus \{q\},

{\ displaystyle A = S ^ {n} \ setminus \ {p \}, \ quad B = S ^ {n} \ setminus \ {q \},}

{\ displaystyle A = S ^ {n} \ setminus \ {p \}, \ quad B = S ^ {n} \ setminus \ {q \},}

acoperă sfera și au o intersecție conectată la arc (deoarece $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$ ). Proiecția stereografică arată că $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ambii sunt homeomorfi a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ și, prin urmare, pur și simplu conectat. Prin teorema Seifert-Van Kampen, sfera $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ n$ este, de asemenea, pur și simplu conectat.

Rețineți că intersecția dintre $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este pur și simplu conectat pentru a realiza acest lucru. Pe de altă parte, intersecția trebuie să fie conectată: pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ această tehnică nu funcționează și, de fapt, circumferința $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ nu este pur și simplu conectat.

Buchet de circumferințe

Buchetul din două circumferințe.

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un buchet din două cercuri sau unirea a două cercuri $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ în planul care se intersectează într-un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Circumferințele $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ se intersectează într-un punct, care este pur și simplu conectat. Grupurile fundamentale ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ambii sunt izomorfi a $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb Z$ . Prin aplicarea teoremei lui Van Kampen la aceste două seturi, am obține, prin urmare, produsul gratuit ca grup fundamental

\mathbb {Z} *\mathbb {Z} .

{\ displaystyle \ mathbb {Z} * \ mathbb {Z}.}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} * \ mathbb {Z}.}

Cu toate acestea, procedura utilizată nu este pe deplin corectă, deoarece $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ nu sunt deschise. Cu toate acestea, este posibil să se înlocuiască $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ cu două cartiere deschise potrivite în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pentru a face acest argument riguros.

Grupul fundamental astfel obținut nu este Abelian. Dantela $la b$ ${\ displaystyle ab}$ $ab$ , care se mișcă mai întâi $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și apoi mult $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , nu este echivalent cu capcana $b la$ ${\ displaystyle ba}$ $ba$ .

Taur

Taurul,

Taurul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este homeomorf pentru produsul a două cercuri

T=S^{1}\times S^{1}

{\ displaystyle T = S ^ {1} \ times S ^ {1}}

{\ displaystyle T = S ^ {1} \ times S ^ {1}}

și, prin urmare, are un grup fundamental $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}}$ ${\ mathbb Z} \ times {\ mathbb Z}$ . Acest fapt poate fi verificat și cu teorema Seifert-Van Kampen după cum urmează.

Torul este spațiul coeficient al unui pătrat în raport cu relația de echivalență care identifică perechile de puncte care sunt pe laturile opuse.

Torul poate fi reprezentat ca spațiul coeficient al unui pătrat cu laturile opuse $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ identificat în paralel ca în figură. În taur, laturile $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ devin două cercuri. Cele patru vârfuri ale pătratului sunt toate identificate într-un punct $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , care este intersecția cercurilor $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Lasa-i sa fie $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ punctul central al pătratului e $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ un alt punct intern.

Tu alegi deschiderea $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ca urmare a:

A=T\setminus \{y\},\quad B=T\setminus (a\cup b).

{\ displaystyle A = T \ setminus \ {y \}, \ quad B = T \ setminus (a \ cup b).}

{\ displaystyle A = T \ setminus \ {y \}, \ quad B = T \ setminus (a \ cup b).}

Deschiderea $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este dat de partea interioară a pătratului și, prin urmare, este pur și simplu conectat. Împingerea punctelor de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ radial spre marginea pătratului se construiește o retragere de deformare a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pe unire $a\cup b$ ${\ displaystyle a \ cup b}$ ${\ displaystyle a \ cup b}$ dintre cele două circumferințe. De aici și grupul fundamental al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este grupul unui buchet de două circumferințe. Se pare:

\pi (A)=\mathbb {Z} *\mathbb {Z} =\langle x,y\rangle ,

{\ displaystyle \ pi (A) = \ mathbb {Z} * \ mathbb {Z} = \ langle x, y \ rangle,}

{\ displaystyle \ pi (A) = \ mathbb {Z} * \ mathbb {Z} = \ langle x, y \ rangle,}

\pi (B)=\{e\},

{\ displaystyle \ pi (B) = \ {e \},}

{\ displaystyle \ pi (B) = \ {e \},}

\pi (A\cap B)=\mathbb {Z} =\langle c\rangle .

{\ displaystyle \ pi (A \ cap B) = \ mathbb {Z} = \ langle c \ rangle.}

{\ displaystyle \ pi (A \ cap B) = \ mathbb {Z} = \ langle c \ rangle.}

Intersecția $A\cap B$ ${\ displaystyle A \ cap B}$ $A \ cap B$ este de fapt homeomorf pentru un pătrat fără punct, iar grupul său fundamental este generat de capcană $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ prezentată în figură. În acest moment teorema Seifert-Van Kampen afirmă că

\pi (T)=\langle x,y\ |\ R\rangle

{\ displaystyle \ pi (T) = \ langle x, y \ | \ R \ rangle}

{\ displaystyle \ pi (T) = \ langle x, y \ | \ R \ rangle}

cu

R=\{i_{A}(c)i_{B}(c)^{-1}\}.

{\ displaystyle R = \ {i_ {A} (c) i_ {B} (c) ^ {- 1} \}.}

{\ displaystyle R = \ {i_ {A} (c) i_ {B} (c) ^ {- 1} \}.}

Este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ un arc din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ca în imagine. Generatoarele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din $\pi (T,x_{0})$ ${\ displaystyle \ pi (T, x_ {0})}$ ${\ displaystyle \ pi (T, x_ {0})}$ sunt reprezentate de șireturi $dad^{-1}$ ${\ displaystyle dad ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle dad ^ {- 1}}$ Și $dbd^{-1}$ ${\ displaystyle dbd ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle dbd ^ {- 1}}$ respectiv. Dantela $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este homotop în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la $daba^{-1}b^{-1}d^{-1}$ ${\ displaystyle daba ^ {- 1} b ^ {- 1} d ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle daba ^ {- 1} b ^ {- 1} d ^ {- 1}}$ și apoi primești

i_{A}(c)=daba^{-1}b^{-1}d^{-1}=(dad^{-1})(dbd^{-1})(da^{-1}d^{-1})(db^{-1}d^{-1}).

{\ displaystyle i_ {A} (c) = daba ^ {- 1} b ^ {- 1} d ^ {- 1} = (tata ^ {- 1}) (dbd ^ {- 1}) (din ^ { -1} d ^ {- 1}) (db ^ {- 1} d ^ {- 1}).}

{\ displaystyle i_ {A} (c) = daba ^ {- 1} b ^ {- 1} d ^ {- 1} = (tata ^ {- 1}) (dbd ^ {- 1}) (din ^ { -1} d ^ {- 1}) (db ^ {- 1} d ^ {- 1}).}

Rezultă că

i_{A}(c)=xyx^{-1}y^{-1},\quad i_{B}(c)=0.

{\ displaystyle i_ {A} (c) = xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}, \ quad i_ {B} (c) = 0.}

{\ displaystyle i_ {A} (c) = xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}, \ quad i_ {B} (c) = 0.}

In concluzie

\pi (T)=\langle x,y\ |\ xyx^{-1}y^{-1}\rangle =\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .

{\ displaystyle \ pi (T) = \ langle x, y \ | \ xyx ^ {- 1} y ^ {- 1} \ rangle = \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}.}

{\ displaystyle \ pi (T) = \ langle x, y \ | \ xyx ^ {- 1} y ^ {- 1} \ rangle = \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}.}

Termenul $xyx^{-1}y^{-1}$ ${\ displaystyle xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}}$ este un comutator și indică relația de comutare $xy=yx$ ${\ displaystyle xy = yx}$ $xy = yx$ .

Spațiu cu grup fundamental fundamental ciclic

Spaţiu

X

{\ displaystyle X}

X

se obține ca spațiul coeficient al unui poligon cu

n

{\ displaystyle n}

n

laturi: laturile poligonului sunt toate identificate.

Metoda utilizată pentru a calcula grupul fundamental al torului poate fi generalizată la orice spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ obținută prin identificarea laturilor unui poligon cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ laturile.

De exemplu, ambele $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ obținută prin identificarea fiecărei părți în sensul acelor de ceasornic ca în figură. Aici îl obțineți