Teorema lui Varignon

Teorema lui Varignon este utilizată pe scară largă în statică și în geometria maselor pentru calculul analitic al centrului de greutate al sistemelor de masă continue și discrete , utilizând coordonatele carteziene .

Teorema, care își ia numele de la faimosul său autor, Pierre Varignon ( Caen , 1654 - Paris , 23 decembrie 1722 ), a apărut pentru prima dată în cartea Projet d'une nouvelle mécanique, avec un exposé de l'Opinion de M. Borelli sur les propriétez des poids , publicat în 1682 . ^[1]

Declarație și cerere

Enunțul teoremei este următorul:

„Un sistem de vectori ale căror linii de acțiune coincid în același punct O este echivalent cu rezultatul sistemului aplicat în același punct O. Și, dimpotrivă, un vector aplicat într-un punct O poate fi întotdeauna descompus într-un sistem echivalent de n vectori aplicați în același punct "

Afirmația poate fi exprimată și ca: „Momentul static al unui sistem de forțe față de un punct sau o axă este echivalent cu momentul static al rezultantului aceluiași sistem de forțe față de același punct sau axă”.

Acest rezultat poate fi găsit direct din definiția momentului unui vector . Într-adevăr, momentul rezultat al mai multor vectori $\{{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},...,{\vec {v_{n}}}\}$ ${\ displaystyle \ {{\ vec {v_ {1}}}, {\ vec {v_ {2}}}, ..., {\ vec {v_ {n}}} \}}$ $\ {{\ vec {v_ {1}}}, {\ vec {v_ {2}}}, ..., {\ vec {v_ {n}}} \}$ aplicat în puncte $\{P_{1},P_{2},...,P_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {P_ {1}, P_ {2}, ..., P_ {n} \}}$ $\ {P_ {1}, P_ {2}, ..., P_ {n} \}$ cu liniile de acțiune concurente într-un singur punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , cu privire la stâlp $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ pare a fi, folosind legea transportului transportatorilor și definiția momentului:

$\ {\vec {M_{R,Q}}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {QP}}\wedge {\vec {v_{i}}}$ ${\ displaystyle \ {\ vec {M_ {R, Q}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {QP}} \ wedge {\ vec {v_ {i}}}}$ $\ {\ vec {M _ {{R, Q}}}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ vec {QP}} \ wedge {\ vec {v_ {i}}}$

Considerăm că fiecare vector se descompune de-a lungul direcțiilor principale, (pentru simplitatea pe care o operăm în plan, poate fi generalizată în spațiul tridimensional):

${\vec {v_{i}}}=v_{ix}\cdot {\vec {x}}+v_{iy}\cdot {\vec {y}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v_ {i}}} = v_ {ix} \ cdot {\ vec {x}} + v_ {iy} \ cdot {\ vec {y}}}$ ${\ vec {v_ {i}}} = v _ {{ix}} \ cdot {\ vec {x}} + v _ {{iy}} \ cdot {\ vec {y}}$

și din nou descompunem vectorul de poziție ${\vec {QP}}$ ${\ displaystyle {\ vec {QP}}}$ $\ vec {QP}$ în componentele sale carteziene

${\vec {QP}}=QP_{x}\cdot {\vec {x}}+QP_{y}\cdot {\vec {y}}$ ${\ displaystyle {\ vec {QP}} = QP_ {x} \ cdot {\ vec {x}} + QP_ {y} \ cdot {\ vec {y}}}$ ${\ vec {QP}} = QP_ {x} \ cdot {\ vec {x}} + QP_ {y} \ cdot {\ vec {y}}$

Prin înlocuirea se găsește

${\vec {M_{R,Q}}}=\sum _{i=1}^{n}(QP_{x}\cdot {\vec {x}}+QP_{y}\cdot {\vec {y}})\wedge (v_{ix}\cdot {\vec {x}}+v_{iy}\cdot {\vec {y}})$ ${\ displaystyle {\ vec {M_ {R, Q}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (QP_ {x} \ cdot {\ vec {x}} + QP_ {y} \ cdot { \ vec {y}}) \ wedge (v_ {ix} \ cdot {\ vec {x}} + v_ {iy} \ cdot {\ vec {y}})}$ ${\ vec {M _ {{R, Q}}}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} (QP_ {x} \ cdot {\ vec {x}} + QP_ {y} \ cdot {\ vec {y}}) \ wedge (v _ {{ix}} \ cdot {\ vec {x}} + v _ {{iy}} \ cdot {\ vec {y}})$

Simplificând și dezvoltând produse vectoriale, veți obține

${\vec {M_{R,Q}}}=(QP_{x}\cdot v_{y}-QP_{y}\cdot v_{x}){\vec {z}}$ ${\ displaystyle {\ vec {M_ {R, Q}}} = (QP_ {x} \ cdot v_ {y} -QP_ {y} \ cdot v_ {x}) {\ vec {z}}}$ ${\ vec {M _ {{R, Q}}}} = (QP_ {x} \ cdot v_ {y} -QP_ {y} \ cdot v_ {x}) {\ vec {z}}$

unde este $v_{x}=\sum _{i=1}^{n}v_{ix}$ ${\ displaystyle v_ {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {ix}}$ $v_ {x} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} v _ {{ix}}$ Și $v_{y}=\sum _{i=1}^{n}v_{iy}$ ${\ displaystyle v_ {y} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {iy}}$ $v_ {y} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} v _ {{iy}}$

Cu acest rezultat, calcularea momentului rezultat nu mai implică lucrul cu produse vectoriale, ci cu adăugări și produse simple.

Notă

^ Varignon în „Enciclopedia italiană” - Treccani

Bibliografie

Giulio Mattei, Lecții de mecanică rațională , Pisa, Serviciul de publicare universitară.
Tristano Manacorda, Note despre mecanica rațională , Pisa, Giordano Pellegrini, 1968.
Giovambattista Amendola, Lecții de mecanică rațională cu exerciții motivate pentru studenții Facultății de Inginerie , Pisa, TEP, 2011.

Elemente conexe

[1] Varignon în „Enciclopedia italiană” - Treccani

[1]