Teorema aproximării Weierstrass

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În analiza matematică , teorema de aproximare a lui Weierstrass este un rezultat care afirmă că orice funcție reală continuă definită într-un interval închis și delimitat poate fi aproximată după bunul plac cu un polinom de grad adecvat.

Acest lucru a fost dovedit de Karl Weierstraß în 1885 . Teorema are implicații teoretice și practice importante. Marshall Stone l-a generalizat în 1937 , extinzând domeniul la un anumit tip de spațiu topologic și fără a se limita la polinoame ca funcții aproximative. Rezultatul general este cunoscut sub numele de teorema Stone-Weierstrass .

Afirmație

Având o funcție continuă

definit pe interval , există o succesiune de polinoame

astfel încât

Limita trebuie înțeleasă nu numai punctual, ci și în ceea ce privește convergența uniformă pe compact , asta este cu

O consecință imediată a acestei teoreme este că polinoamele sunt dense în spațiul funcțiilor continue , care, prin urmare, se dovedește a fi un spațiu separabil .

Demonstrație

Observații preliminare

Cu transformare bijectivă

teorema poate fi dovedită, fără pierderea generalității, chiar și numai pentru funcțiile care verifică condiția

Se extinde f (x) pe setând-o egală cu zero în afara [0,1] obținem o funcție uniformă continuă pe orice (funcția de pornire este continuă uniform pe [0,1] de teorema Heine-Cantor ).

Definiția și proprietățile polinoamelor

Pentru fiecare k număr natural, polinoamele

sunt non-negative și monotone descrescătoare în [0,1] . Funcția integrală

este monoton crescând în [0,1] . Proprietatea de normalizare se aplică:

.

Polinoamele care aproximează f (x) sunt funcțiile

.

Se poate arăta că acestea sunt de fapt polinoame prin schimbarea variabilei s = t + x în interiorul primei integrale și folosind teorema binomială în intervalul [0,1] pentru a calcula coeficienții.

Parte principală

Având în vedere proprietatea de normalizare și inegalitatea integrală avem, pentru fiecare x :

Din definiția continuității uniforme a lui f (x) , dată ε / 2> 0 ,

.

Conform teoremei Weierstrass, maximul există

.

După ce am făcut aceste considerații și ținând cont de inegalitatea triunghiulară , devine:

Deoarece 0 <δ <1 , al doilea termen din al doilea membru al ultimei ecuații tinde la zero, deoarece k tinde spre infinit, deci este mai mic decât ε / 2 pentru k suficient de mare. Categoric:

,

acesta este

.

Caz complex

Teorema poate fi extinsă la funcții cu valoare complexă

continua. Dovada este analogă cu cazul real, ținând cont însă că integralele nu sunt cele obișnuite, ci pe căi și că în loc de valoarea absolută din formule avem funcția modulo .

Enunțarea teoremei prin conceptele de spații normate

Folosind terminologia spațiilor normate , teorema afirmă că, cu norma uniformă

,

spațiul funcțional polinoamele de pe intervalul [a, b] sunt dense în spațiu a funcțiilor continue pe acest interval.

În dovada propusă avem acea inegalitate

se păstrează pentru orice x , deci în special se păstrează pentru

.

Prin urmare

.

Urmări

Implicații teoretice

O primă consecință este acel spațiu este separabil deoarece în sine este separabilă, deoarece conține setul dens și numărabil de polinoame cu coeficienți raționali

.

O altă consecință este că orice set este separabil in care este dens. Printre numeroasele exemple de seturi care verifică această condiție, putem menționa spațiul L 1 al funcțiilor cu modul integrabil conform lui Lebesgue în [a, b] .

implicatii practice

În majoritatea problemelor practice în care trebuie evaluată o funcție necunoscută, funcția în cauză este cunoscută ca fiind continuă (sau ipotezată). Teorema ne asigură, prin urmare, că putem găsi întotdeauna, în principiu, un polinom care aproximează funcția necunoscută cu un grad arbitrar de precizie. Evident, este un alt lucru să determinați în mod explicit un algoritm pentru a calcula acest polinom.

Teorema Stone-Weierstrass

Este un spațiu topologic compact Hausdorff e algebra funcțiilor continue cu valori complexe definite în aceasta, cu topologia generată de norma uniformă . Aceasta este o algebră C * în care operatorul * este reprezentat de conjugarea numerelor complexe .

Este . De sine este o subalgebra involutionala a (adică dacă este un sub spațiu închis în ceea ce privește produsul și conjugarea în ) care separă punctele de , adică dacă condiția este valabilă

,

apoi * -algebra generată de unitatea de este dens în .

* -Algebra în cauză este un set care conține funcția constantă și asta, dacă , conține orice alte funcții obținute începând de la și aplicarea unui număr finit de ori a operațiilor de adunare, multiplicare, conjugare complexă sau multiplicare cu un număr complex.

Cazul real al teoremei ( ) se obține ca un caz particular al celui complex, deoarece dacă o succesiune de funcții complexe converge uniform în atunci succesiunea părților reale ale acelorași funcții converge uniform către partea reală a .

Generalizări ulterioare

Există alte două generalizări ale teoremei.

Teorema Stone-Weierstrass pentru rețelele funcțiilor continue

Prima este versiunea în rețea a teoremei Stone-Weierstass.

Este un spațiu topologic compact Hausdorff format din cel puțin două puncte și ambele o rețea conținută în care verifică starea

.

Atunci este dens în .

Teorema episcopului

A doua este o teoremă datorată lui Errett Bishop.

Este un spațiu topologic compact Hausdorff, o subalgebră închisă a spațiului Banach Și o funcție aparținând ; indică o restricție de pe un subset , in timp ce indică spațiul restricțiilor pentru de funcții aparținând .
Este subsetul funcțiilor constante reale. Să luăm în considerare întregul

și noi sunăm subsetul seturilor maxime de conform incluziunii setate . De sine verifica starea

,

asa de .

Bibliografie

Elemente conexe

Controlul autorității Tezaur BNCF 63723 · LCCN (EN) sh94005265 · GND (DE) 4341745-0 · BNF (FR) cb15014506g (dată)
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică