Teorema diagonalizabilității

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În algebra liniară , teorema diagonalizabilității este un instrument care oferă o condiție necesară și suficientă pentru ca o matrice pătrată să poată fi diagonalizată .

Teorema

Este o matrice pătrată de ordine cu valori într-un câmp (cum ar fi câmpul numerelor reale sau complexe ). Polinomul caracteristic al este un polinom de grad n definit astfel:

Rădăcinile din aparținând domeniului sunt valorile proprii ale . [1] Orice valoare proprie are propria sa multiplicitate ca rădăcină a polinomului caracteristic, numită multiplicitate algebrică. [2] O valoare proprie cu multiplicitate algebrică 1 se numește simplă.

autospace relativ la valoarea proprie este ansamblul tuturor vectorilor proprii care au ca valoare proprie, plus vectorul nul: [3]

Se spune multiplicitate geometrică (sau nulitate) a dimensiunea spațiului automat referitoare la . O valoare proprie pentru care se menține egalitatea dintre cele două multiplicități (algebrică și geometrică) se numește regulată.

Afirmație

Teorema diagonalizabilității afirmă că poate fi diagonalizată dacă și numai dacă sunt îndeplinite ambele condiții:

  • Suma multiplicităților algebrice ale valorilor sale proprii este .
  • Multiplicitățile algebrice și geometrice ale fiecărei valori proprii sunt coincidente.

Sau echivalent, asta este diagonalizabil dacă și numai dacă suma multiplicităților geometrice ale valorilor sale proprii este .

Urmări

Primul punct al teoremei implică faptul că polinomul caracteristic are toate rădăcinile sale în domeniu, adică poate fi luat în considerare ca produs al polinoamelor de gradul 1. Mai mult, a spus Și respectiv multiplicitatea algebrică și geometrică a unei valori proprii , sunt valabile următoarele inegalități pentru fiecare valoare proprie:

În consecință, teorema diagonalizabilității are drept corolar următoarele fapte:

  • Dacă polinomul caracteristic are rădăcini distincte în domeniu, este diagonalizabil.
  • Dacă există o valoare proprie astfel încât asa de nu este diagonalizabil.
  • Forma diagonală a unui endomorfism nu este identificată în mod unic, ci este definită dacă nu există permutări pe diagonala principală.

Exemple

Verificăm dacă următoarea matrice nu este diagonalizabilă:

Polinomul său caracteristic are o singură rădăcină (care este 1 de când ), cu multiplicitate algebrică 2. Prin urmare, primul punct al teoremei este satisfăcut. În acest moment multiplicitatea geometrică a valorii proprii 1 poate fi doar 1 sau 2. Aceasta este egală cu mărimea nucleului de Matricea are rangul 1, deci prin teorema rangului nucleul său are dimensiune Prin urmare, multiplicitatea geometrică este 1, multiplicitatea algebrică este 2, prin urmare matricea nu este diagonalizabilă.

Notă

  1. ^ Lang , p. 228 .
  2. ^ Lang , p. 230 .
  3. ^ Prin definiție, un vector propriu este întotdeauna diferit de zero. Din acest motiv, adăugăm vectorul nul în definiția spațiului egal.

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică