Teorema extensiei Tietze

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , teorema extensiei lui Tietze , numită, pur și simplu, teorema lui Tietze , este o teoremă de topologie generală care, sub anumite ipoteze, afirmă posibilitatea prelungirii oricărei funcții continue la valori reale , definite pe un subset al unui spațiu topologic normal , la o funcție continuă definită pe întreg spațiul.

Condiții

Spațiile topologice care se bucură de această proprietate importantă sunt spații normale . Acestea sunt spații pentru care, datorită lemei lui Urysohn , este deja cunoscută bogăția funcțiilor reale continue non- triviale . Această lemă ne permite să construim funcții cu care este posibil să „separăm” orice pereche de seturi disjuncte închise prin intermediul funcțiilor reale continue adecvate [1] . Oricât de profundă ar fi, o astfel de proprietate ne permite să construim doar funcții foarte rudimentare, constante pe fiecare dintre cele două seturi închise pe care intenționăm să le separăm.

Pe de altă parte, teorema lui Tietze asigură faptul că, datorită acestor funcții „rudimentare”, este posibil să se deducă existența unui set foarte bogat de funcții reale continue, construite pur și simplu pornind de la o funcție continuă arbitrară definită pe orice subspatiu închis.

Afirmație

Teorema afirmă că fiecare funcție continuă, definită pe un sub spațiu închis al unui spațiu topologic normal, cu valori într-un interval [-1,1], poate fi extinsă la o funcție continuă reală cu valori în același interval. În simboluri:

De sine este continuu, cu închis și normal, atunci există continuu și astfel încât pentru fiecare .

Demonstrație

Pentru a demonstra teorema este necesară următoarea lemă preliminară, care asigură existența, ca să spunem așa, extensii aproximative. Lasa-i sa fie Și definit ca mai sus și continuă cu Închis. Există atunci continuu și astfel încât pentru fiecare .

De fapt, cele două seturi sunt considerate disjuncte Și . Sunt seturi închise, deoarece sunt imagini inverse ale celor închise printr-o funcție continuă. Lema lui Urysohn asigură existența unei funcții continue asta merită pe Și pe . Este imediat să verificăm dacă satisface inegalitatea cerută.

Dovada teoremei lui Tietze este o aplicație recursivă a lemei. Intreaba-te pe tine insuti (si in consecinta, ). Se găsește unul continuă astfel încât:

pe .

Trecem apoi la luarea în considerare a funcției pentru care, a fi trebuie pus . Găsim apoi o funcție astfel încât:

pe .

Pasul făcut se repetă din nou și, procedând prin inducție, este posibil să se demonstreze existența unei succesiuni de funcții cu valori reale și continue , astfel încât, pentru fiecare index n , avem:

Și:

Prin plasare

vom avea că fiecare termen al seriei de funcții este dominat de termenul corespunzător al secvenței . Acest lucru asigură convergența uniformă către o funcție continuă (vezi convergența totală a unei serii de funcții ).

De asemenea, inegalitatea

asigură că setul de funcții converge lin către în ansamblu .

Prin urmare constituie extensia continuă cerută de teză.

Cerința ca setul de definiții al funcției de pornire să fie închis este inerentă problemei în sine. Se știe, din contraexemple de bază luate din analiza matematică elementară, că nu este posibil să se garanteze, în general, extinderea continuă a funcțiilor definite pe subseturi neînchise ale unui spațiu normal. Gândiți-vă, de exemplu, la funcție : funcția este continuă pe platou, nu este închisă, constă din reali diferiți de 0, dar nu este extensibilă continuu la zero și, prin urmare, nu poate fi extinsă la o funcție continuă definită pe raza non-negativă.

Notă

  1. ^ Același lucru se poate spune, evident și într-un mod echivalent, pentru orice pereche de mulțimi (nu neapărat închise) fără puncte de aderență în comun (sau într-un mod echivalent, ale cărui margini nu se intersectează).

Bibliografie

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică