Teorema descompunerii

Teorema descompunerii , numită și teorema lui Pellegrini ^[1] , este o teoremă de rețea liniară care permite transformarea unei rețele generice N într-un alt N 'care face analiza mai ușoară și care evidențiază principalele sale proprietăți.

Afirmație

Rețea liniară generică N.

Rețea liniară echivalentă N '.

Implementarea circuitului cu trei terminale prin intermediul unui generator independent W _r și a unei imitații X _p .

Fie e , h , u , w , q = q ' , e t = t' să fie șase noduri arbitrare ale rețelei N și $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ un generator independent de tensiune sau curent poziționat între e și h , în timp ce $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este cantitatea de ieșire, fie că este o tensiune sau un curent, relativ la ramura de imitație ^[2] $X_{u}$ ${\ displaystyle X_ {u}}$ ${\ displaystyle X_ {u}}$ conectat între u și w . Acum conexiunea qq ' este tăiată și un circuit cu trei terminale ("TTC" ^[3] ) este introdus între cele două noduri q și q' și nodul t = t ' ca în figura b ( $W_{r}$ ${\ displaystyle W_ {r}}$ ${\ displaystyle W_ {r}}$ Și $W_{p}$ ${\ displaystyle W_ {p}}$ ${\ displaystyle W_ {p}}$ sunt cantități omogene, tensiuni sau curenți, relativ la porțile qt și q't = q't ' ale TTC).

Astfel încât cele două rețele N și N 'sunt echivalente pentru fiecare $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , trebuie să se aplice cele două constrângeri $W_{r}=W_{p}$ ${\ displaystyle W_ {r} = W_ {p}}$ ${\ displaystyle W_ {r} = W_ {p}}$ Și ${\bar {W_{r}}}={\bar {W_{p}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {W_ {r}}} = {\ bar {W_ {p}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {W_ {r}}} = {\ bar {W_ {p}}}}$ , unde bara de deasupra literei indică cantitatea duală.

Circuitul cu trei terminale menționat mai sus poate fi implementat, de exemplu, prin conectarea unui generator de tensiune sau curent ideal independent $W_{p}$ ${\ displaystyle W_ {p}}$ ${\ displaystyle W_ {p}}$ între q ' și t' și o imitație $X_{p}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ între q și t .

Funcții de rețea

Cu referire la rețeaua N ', sunt definite următoarele funcții de rețea :

$A\equiv {\frac {U}{W_{p}}}|_{S=0}\!\,$ ${\ displaystyle A \ equiv {\ frac {U} {W_ {p}}} | _ {S = 0} \! \,}$ ${\ displaystyle A \ equiv {\ frac {U} {W_ {p}}} | _ {S = 0} \! \,}$ ; $\beta \equiv {\frac {W_{r}}{U}}|_{S=0}\!\,$ ${\ displaystyle \ beta \ equiv {\ frac {W_ {r}} {U}} | _ {S = 0} \! \,}$ ${\ displaystyle \ beta \ equiv {\ frac {W_ {r}} {U}} | _ {S = 0} \! \,}$ ; $X_{i}\equiv {\frac {W_{p}}{\bar {W_{p}}}}|_{S=0}\!\,$ ${\ displaystyle X_ {i} \ equiv {\ frac {W_ {p}} {\ bar {W_ {p}}}} | _ {S = 0} \! \,}$ ${\ displaystyle X_ {i} \ equiv {\ frac {W_ {p}} {\ bar {W_ {p}}}} | _ {S = 0} \! \,}$

$\gamma \equiv {\frac {U}{S}}|_{W_{p}=0}\!\,$ ${\ displaystyle \ gamma \ equiv {\ frac {U} {S}} | _ {W_ {p} = 0} \! \,}$ ${\ displaystyle \ gamma \ equiv {\ frac {U} {S}} | _ {W_ {p} = 0} \! \,}$ ; $\alpha \equiv {\frac {W_{r}}{S}}|_{W_{p}=0}\!\,$ ${\ displaystyle \ alpha \ equiv {\ frac {W_ {r}} {S}} | _ {W_ {p} = 0} \! \,}$ ${\ displaystyle \ alpha \ equiv {\ frac {W_ {r}} {S}} | _ {W_ {p} = 0} \! \,}$ ; $\rho \equiv {\frac {\bar {W_{p}}}{S}}|_{W_{p}=0}\!\,$ ${\ displaystyle \ rho \ equiv {\ frac {\ bar {W_ {p}}} {S}} | _ {W_ {p} = 0} \! \,}$ ${\ displaystyle \ rho \ equiv {\ frac {\ bar {W_ {p}}} {S}} | _ {W_ {p} = 0} \! \,}$

din care, datorită principiului suprapunerii efectelor , avem:

$W_{r}=\alpha S+\beta AW_{p}$ ${\ displaystyle W_ {r} = \ alpha S + \ beta AW_ {p}}$ ${\ displaystyle W_ {r} = \ alpha S + \ beta AW_ {p}}$

${\bar {W_{p}}}=\rho S+{\frac {W_{p}}{X_{i}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {W_ {p}}} = \ rho S + {\ frac {W_ {p}} {X_ {i}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {W_ {p}}} = \ rho S + {\ frac {W_ {p}} {X_ {i}}}}$ .

Prin urmare, prima constrângere pentru echivalența rețelelor este îndeplinită dacă $W_{p}={\frac {\alpha }{1-\beta A}}S$ ${\ displaystyle W_ {p} = {\ frac {\ alpha} {1- \ beta A}} S}$ ${\ displaystyle W_ {p} = {\ frac {\ alpha} {1- \ beta A}} S}$ .

În plus,

${\bar {W_{r}}}={\frac {W_{r}}{X_{p}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {W_ {r}}} = {\ frac {W_ {r}} {X_ {p}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {W_ {r}}} = {\ frac {W_ {r}} {X_ {p}}}}$

${\bar {W_{p}}}=\left({\frac {1}{X_{i}}}+{\frac {\rho }{\alpha }}(1-\beta A)\right)W_{r}$ ${\ displaystyle {\ bar {W_ {p}}} = \ left ({\ frac {1} {X_ {i}}} + {\ frac {\ rho} {\ alpha}} (1- \ beta A) \ dreapta) W_ {r}}$ ${\ displaystyle {\ bar {W_ {p}}} = \ left ({\ frac {1} {X_ {i}}} + {\ frac {\ rho} {\ alpha}} (1- \ beta A) \ dreapta) W_ {r}}$

de aceea a doua constrângere pentru echivalența rețelelor este valabilă dacă ${\frac {1}{X_{p}}}={\frac {1}{X_{i}}}+{\frac {\rho }{\alpha }}(1-\beta A)$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {X_ {p}}} = {\ frac {1} {X_ {i}}} + {\ frac {\ rho} {\ alpha}} (1- \ beta A) }$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {X_ {p}}} = {\ frac {1} {X_ {i}}} + {\ frac {\ rho} {\ alpha}} (1- \ beta A) }$ ^[4]

Funcție de transfer

Luând în considerare expresia funcțiilor de rețea $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ Și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , prima constrângere pentru echivalența rețelelor și că, datorită principiului suprapunerii efectelor, $U=\gamma S+AW_{p}$ ${\ displaystyle U = \ gamma S + AW_ {p}}$ ${\ displaystyle U = \ gamma S + AW_ {p}}$ , funcția de transfer $A_{f}\equiv {\frac {U}{S}}$ ${\ displaystyle A_ {f} \ equiv {\ frac {U} {S}}}$ ${\ displaystyle A_ {f} \ equiv {\ frac {U} {S}}}$ este dat de

$A_{f}={\frac {\alpha A}{1-\beta A}}+\gamma$ ${\ displaystyle A_ {f} = {\ frac {\ alpha A} {1- \ beta A}} + \ gamma}$ ${\ displaystyle A_ {f} = {\ frac {\ alpha A} {1- \ beta A}} + \ gamma}$ .

În cazul în care circuitul examinat este un amplificator de feedback, rețeaua funcționează $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ Și $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ ia în considerare non-idealitățile acestui amplificator. În special:

$\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ ia în considerare natura non-ideală a rețelei de comparare a intrărilor
$\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ ia în considerare non-unidirecționalitatea lanțului de reacție
$\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ ia în considerare non-unidirecționalitatea lanțului de amplificare.

Dacă putem considera acest amplificator ideal, asta este dacă $\alpha =1$ ${\ displaystyle \ alpha = 1}$ $\ alfa = 1$ , $\rho =0$ ${\ displaystyle \ rho = 0}$ $\ rho = 0$ Și $\gamma =0$ ${\ displaystyle \ gamma = 0}$ $\ gamma = 0$ , funcția de transfer este redusă la expresia cunoscută care derivă din teoria clasică a reacției:

$A_{f}={\frac {A}{1-\beta A}}$ ${\ displaystyle A_ {f} = {\ frac {A} {1- \ beta A}}}$ ${\ displaystyle A_ {f} = {\ frac {A} {1- \ beta A}}}$ .

Calculul impedanței și admiterii între două noduri

Prin teorema descompunerii, calculul impedanței (sau admiterii ) dintre două noduri este destul de simplificat.

Impedanță

Tăiat pentru calculul impedanței dintre nodurile k = h și j = e = q .

Să introducem un generator generic $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ între nodurile j = e = q și k = h între care vrem să calculăm impedanța $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ . Efectuând o tăietură ca în figură, observăm că imitația $X_{p}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ rezultă în serie cu $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și este traversat de același curent furnizat de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Dacă alegem o sursă de tensiune de intrare $V_{s}=S$ ${\ displaystyle V_ {s} = S}$ ${\ displaystyle V_ {s} = S}$ și, în consecință, un curent $I_{s}={\bar {S}}$ ${\ displaystyle I_ {s} = {\ bar {S}}}$ ${\ displaystyle I_ {s} = {\ bar {S}}}$ , și o impedanță $Z_{p}=X_{p}$ ${\ displaystyle Z_ {p} = X_ {p}}$ ${\ displaystyle Z_ {p} = X_ {p}}$ , putem face următoarele considerații:

$Z={\frac {V_{s}}{I_{s}}}={\frac {V_{s}}{I_{r}}}=Z_{p}{\frac {V_{s}}{V_{r}}}=Z_{p}{\frac {V_{s}}{V_{p}}}=Z_{p}{\frac {1-\beta A}{\alpha }}$ ${\ displaystyle Z = {\ frac {V_ {s}} {I_ {s}}} = {\ frac {V_ {s}} {I_ {r}}} = Z_ {p} {\ frac {V_ {s }} {V_ {r}}} = Z_ {p} {\ frac {V_ {s}} {V_ {p}}} = Z_ {p} {\ frac {1- \ beta A} {\ alpha}} }$ ${\ displaystyle Z = {\ frac {V_ {s}} {I_ {s}}} = {\ frac {V_ {s}} {I_ {r}}} = Z_ {p} {\ frac {V_ {s }} {V_ {r}}} = Z_ {p} {\ frac {V_ {s}} {V_ {p}}} = Z_ {p} {\ frac {1- \ beta A} {\ alpha}} }$ .

Având în vedere că $\alpha ={\frac {V_{r}}{V_{s}}}|_{V_{p}=0}={\frac {Z_{p}}{Z_{p}+Z_{b}}}$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {V_ {r}} {V_ {s}}} | _ {V_ {p} = 0} = {\ frac {Z_ {p}} {Z_ {p} + Z_ { b}}}}$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {V_ {r}} {V_ {s}}} | _ {V_ {p} = 0} = {\ frac {Z_ {p}} {Z_ {p} + Z_ { b}}}}$ , unde este $Z_{b}$ ${\ displaystyle Z_ {b}}$ ${\ displaystyle Z_ {b}}$ este impedanța văzută între nodurile k = h și t prin eliminare $Z_{p}$ ${\ displaystyle Z_ {p}}$ ${\ displaystyle Z_ {p}}$ și scurtcircuitând generatorii de tensiune prezenți, se obține impedanța $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ între nodurile j și k sub forma:

$Z=\left(Z_{p}+Z_{b}\right)\left(1-\beta A\right)$ ${\ displaystyle Z = \ left (Z_ {p} + Z_ {b} \ right) \ left (1- \ beta A \ right)}$ ${\ displaystyle Z = \ left (Z_ {p} + Z_ {b} \ right) \ left (1- \ beta A \ right)}$

Admitere

Tăiat pentru calculul admiterii între nodurile k = h = t și j = e = q .

Procedați într-un mod similar cu cel precedent, doar că de data aceasta se face o tăietură ca în figura din lateral, observând că $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ rezultă acum în paralel cu $X_{p}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ . Având în vedere un generator de curent de intrare $I_{s}=S$ ${\ displaystyle I_ {s} = S}$ ${\ displaystyle I_ {s} = S}$ (în consecință, există o tensiune $V_{s}={\bar {S}}$ ${\ displaystyle V_ {s} = {\ bar {S}}}$ ${\ displaystyle V_ {s} = {\ bar {S}}}$ ) și o admitere $Y_{p}=X_{p}$ ${\ displaystyle Y_ {p} = X_ {p}}$ ${\ displaystyle Y_ {p} = X_ {p}}$ , admiterea $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ între nodurile j și k se calculează după cum urmează:

$Y={\frac {I_{s}}{V_{s}}}={\frac {I_{s}}{V_{r}}}=Y_{p}{\frac {I_{s}}{I_{r}}}=Y_{p}{\frac {I_{s}}{I_{p}}}=Y_{p}{\frac {1-\beta A}{\alpha }}$ ${\ displaystyle Y = {\ frac {I_ {s}} {V_ {s}}} = {\ frac {I_ {s}} {V_ {r}}} = Y_ {p} {\ frac {I_ {s }} {I_ {r}}} = Y_ {p} {\ frac {I_ {s}} {I_ {p}}} = Y_ {p} {\ frac {1- \ beta A} {\ alpha}} }$ ${\ displaystyle Y = {\ frac {I_ {s}} {V_ {s}}} = {\ frac {I_ {s}} {V_ {r}}} = Y_ {p} {\ frac {I_ {s }} {I_ {r}}} = Y_ {p} {\ frac {I_ {s}} {I_ {p}}} = Y_ {p} {\ frac {1- \ beta A} {\ alpha}} }$ .

Având în vedere că $\alpha ={\frac {I_{r}}{I_{s}}}|_{I_{p}=0}={\frac {Y_{p}}{Y_{p}+Y_{b}}}$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {I_ {r}} {I_ {s}}} | _ {I_ {p} = 0} = {\ frac {Y_ {p}} {Y_ {p} + Y_ { b}}}}$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {I_ {r}} {I_ {s}}} | _ {I_ {p} = 0} = {\ frac {Y_ {p}} {Y_ {p} + Y_ { b}}}}$ , unde este $Y_{b}$ ${\ displaystyle Y_ {b}}$ ${\ displaystyle Y_ {b}}$ este admiterea văzută între nodurile k = h și t prin eliminare $Y_{p}$ ${\ displaystyle Y_ {p}}$ ${\ displaystyle Y_ {p}}$ iar prin deschiderea generatoarelor actuale prezente se obține admiterea $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sub forma:

$Y=\left(Y_{p}+Y_{b}\right)\left(1-\beta A\right)$ ${\ displaystyle Y = \ left (Y_ {p} + Y_ {b} \ right) \ left (1- \ beta A \ right)}$ ${\ displaystyle Y = \ left (Y_ {p} + Y_ {b} \ right) \ left (1- \ beta A \ right)}$

Observații

Implementarea circuitului cu trei terminale prin intermediul unui generator independent

W_{p}

{\ displaystyle W_ {p}}

{\ displaystyle W_ {p}}

și un angajat

{\bar {W_{p}}}

{\ displaystyle {\ bar {W_ {p}}}}

{\ displaystyle {\ bar {W_ {p}}}}

Realizarea TTC prin intermediul unui generator independent $W_{p}$ ${\ displaystyle W_ {p}}$ ${\ displaystyle W_ {p}}$ și o imitație $X_{p}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ este util și intuitiv pentru calcularea imitanției $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ între două noduri, dar prezintă, ca și pentru celelalte funcții de rețea, dificultatea de calcul $X_{p}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ din ecuația de echivalență care poate fi evitată cu utilizarea unui generator dependent ${\bar {W_{p}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {W_ {p}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {W_ {p}}}}$ in locul $X_{p}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$ și angajarea, în ceea ce privește $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , Formula lui Blackman ^[5] . Această realizare a TTC, ca un exemplu izbitor de reacție, permite, de asemenea, să ia în considerare în reacție o rețea constând dintr-un generator de tensiune și două impedanțe în serie.

Notă

^ Bruno Pellegrini, primul absolvent de inginerie electronică la Pisa și probabil printre primii trei din Italia, a fost profesor emerit al Universității din Pisa .
^ Immittenza este un termen care combină conceptul de impedanță și im am mettenza. Poate fi convenabil să folosiți acest termen atunci când faceți referire la un număr complex care ar putea fi atât o impedanță, cât și o admitere.
^ "TTC" este acronimul termenului englezesc t hree t erminal c ircuit.
^ Rețineți că, pentru calculul lui X _p , sunt necesare funcții de rețea care, la rândul lor, depind de X _p . Pentru a continua cu calculele, este necesar să facem o tăietură astfel încât să avem ρ = 0, pentru a avea X _p = X _i .
^ RB Blackman, Efectul feedback-ului asupra impedanței , Bell System Tech. J. 22, 269 (1943).

Bibliografie

B. Pellegrini, Considerații privind teoria feedback-ului , High Frequency 41, 825 (1972).
B. Pellegrini, Teoria îmbunătățită a feedback-ului , Tranzacțiile IEEE pe circuite și sisteme 56, 1949 (2009).

Elemente conexe

Inginerie Portal Puteți ajuta Wikipedia prin completarea lui Engineering

[1] Bruno Pellegrini, primul absolvent de inginerie electronică la Pisa și probabil printre primii trei din Italia, a fost profesor emerit al Universității din Pisa .

[2] Immittenza este un termen care combină conceptul de impedanță și im am mettenza. Poate fi convenabil să folosiți acest termen atunci când faceți referire la un număr complex care ar putea fi atât o impedanță, cât și o admitere.

[3] "TTC" este acronimul termenului englezesc t hree t erminal c ircuit.

[4] Rețineți că, pentru calculul lui X _p , sunt necesare funcții de rețea care, la rândul lor, depind de X _p . Pentru a continua cu calculele, este necesar să facem o tăietură astfel încât să avem ρ = 0, pentru a avea X _p = X _i .

[5] RB Blackman, Efectul feedback-ului asupra impedanței , Bell System Tech. J. 22, 269 (1943).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]