Unicitatea teoremei ridicării
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
Teorema unicității ridicării este o teoremă a matematicii și mai exact a topologiei . Teorema prezintă o proprietate crucială a acoperirilor .
Enunțarea teoremei
Teorema unicității ridicării afirmă că, dacă este conectat , două ascensoare coincidente într-un singur punct trebuie să coincidă pe toate punctele (adică sunt aceeași funcție). Cu alte cuvinte:
Acoperirea se va da între spații topologice
și o funcție continuă
definit pe un spațiu conectat . De asemenea, sunt
două ascensoare ale . Dacă există în astfel încât asa de pentru fiecare în .
Demonstrație
Să luăm în considerare setul de puncte în care cele două ascensoare coincid:
Prin ipoteză, este un element al . Arătăm asta și complementare sunt amândoi deschiși: de vreme ce este conectat, va urma asta și, prin urmare, că cele două funcții coincid peste tot.
Dat în , este o conexiune deschisă acoperită uniform cu conținând . Lasa-i sa fie componentele conectate conținând respectiv Și . Să luăm în considerare deschiderea :
De sine aparține lui , asa de prin urmare , și ca restricție a în aer liber este injectiv rezultă că pentru fiecare în , și apoi este cuprins în întregime în . Acest lucru demonstrează că E deschis.
De sine nu aparține asa de Și sunt disjuncte și, prin urmare, sunt și disjuncte și : aceasta dovedește că complementaritatea E deschis.
Generalizări
Teorema este valabilă chiar dacă este doar un homeomorfism local .