Unicitatea teoremei ridicării

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Teorema unicității ridicării este o teoremă a matematicii și mai exact a topologiei . Teorema prezintă o proprietate crucială a acoperirilor .

Enunțarea teoremei

Teorema unicității ridicării afirmă că, dacă este conectat , două ascensoare coincidente într-un singur punct trebuie să coincidă pe toate punctele (adică sunt aceeași funcție). Cu alte cuvinte:

Acoperirea se va da între spații topologice

și o funcție continuă

definit pe un spațiu conectat . De asemenea, sunt

două ascensoare ale . Dacă există în astfel încât asa de pentru fiecare în .

Demonstrație

Să luăm în considerare setul de puncte în care cele două ascensoare coincid:

Prin ipoteză, este un element al . Arătăm asta și complementare sunt amândoi deschiși: de vreme ce este conectat, va urma asta și, prin urmare, că cele două funcții coincid peste tot.

Dat în , este o conexiune deschisă acoperită uniform cu conținând . Lasa-i sa fie componentele conectate conținând respectiv Și . Să luăm în considerare deschiderea :

De sine aparține lui , asa de prin urmare , și ca restricție a în aer liber este injectiv rezultă că pentru fiecare în , și apoi este cuprins în întregime în . Acest lucru demonstrează că E deschis.

De sine nu aparține asa de Și sunt disjuncte și, prin urmare, sunt și disjuncte și : aceasta dovedește că complementaritatea E deschis.

Generalizări

Teorema este valabilă chiar dacă este doar un homeomorfism local .

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică