În matematică , teorema fundamentală a calculului integral , numită și teorema Torricelli-Barrow , stabilește o legătură importantă între conceptele de integral și derivat pentru funcțiile cu valoare reală ale unei variabile reale .
În special, demonstrează că calcularea valorii integralei unei funcții , pornind de la un punct fix {\ displaystyle a} până la un punct variabil {\ displaystyle x} din domeniul său, este exact echivalent cu găsirea unei primitive a funcției în sine. Prima parte a teoremei se numește prima teoremă fundamentală a calculului și garantează existența primitivului pentru funcții continue, adică orice funcție continuă este derivata unei alte funcții. A doua parte a teoremei este numită a doua teoremă fundamentală a calculului și permite calcularea integralei definite a unei funcții prin oricare dintre primitivele sale.
O primă versiune a teoremei se datorează lui James Gregory , [1] în timp ce Isaac Barrow a furnizat o versiune mai generală. [2] Isaac Newton , student al lui Barrow, și Gottfried Leibniz au finalizat ulterior dezvoltarea teoriei matematice în care este stabilită teorema.
Prima parte
Este {\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}} o funcție integrabilă . Este definită o funcție integrală a {\ displaystyle f} functia {\ displaystyle F} astfel încât:
- {\ displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \ mathop {} \! \ mathrm {d} t, \ qquad a \ leq x \ leq b.}
De sine {\ displaystyle f} este limitat atunci {\ displaystyle F} este o funcție continuă în {\ displaystyle [a, b]} .
Dacă și {\ displaystyle f} este o funcție continuă în {\ displaystyle (a, b)} , asa de {\ displaystyle F} se poate diferenția în toate punctele în care {\ displaystyle f} este continuu și avem: [3]
- {\ displaystyle F ^ {\ prime} (x) = f (x),}
acesta este {\ displaystyle F} se dovedește a fi o primitivă a {\ displaystyle f.}
Demonstrație |
---|
De sine {\ displaystyle f} poate fi integrat în {\ displaystyle [a, b]} , atunci proprietatea aditivității integralei se menține. Luați în considerare, în cadrul intervalului {\ displaystyle [a, b]} un interval mic {\ displaystyle [x- \ epsilon, x + \ epsilon]} care conține punctul {\ displaystyle x} generic. Poti sa scrii: - {\ displaystyle F (x- \ epsilon) = \ int _ {a} ^ {x- \ epsilon} f (t) \ mathrm {d} t}
- {\ displaystyle F (x + \ epsilon) = \ int _ {a} ^ {x- \ epsilon} f (t) \ mathrm {d} t + \ int _ {x- \ epsilon} ^ {x + \ epsilon } f (t) \ mathrm {d} t}
prin urmare: - {\ displaystyle F (x + \ epsilon) -F (x- \ epsilon) = \ int _ {x- \ epsilon} ^ {x + \ epsilon} f (t) \ mathrm {d} t.}
De sine {\ displaystyle f} este limitată, atunci există o valoare {\ displaystyle M> f} astfel încât pe toată gama {\ displaystyle [a, b]} apare: - {\ displaystyle F (x + \ epsilon) -F (x- \ epsilon) = \ int _ {x- \ epsilon} ^ {x + \ epsilon} f (t) \ mathrm {d} t <M \ cdot 2 \ epsilon.}
Aceasta corespunde definiției continuității lui {\ displaystyle F} în sens {\ displaystyle x,} trecerea limitei pentru {\ displaystyle \ epsilon \ to 0.} Dacă în plus funcția {\ displaystyle f} este, de asemenea, continuu la un moment dat {\ displaystyle x,} atunci funcția integrală {\ displaystyle F} este diferențiat în acel moment și derivatul său este a {\ displaystyle F '(x) = f (x).} De fapt, luați în considerare raportul incremental al {\ displaystyle F} : - {\ displaystyle {{F (x + h) -F (x)} \ over {h}} = {{1} \ over {h}} \ left [\ int _ {a} ^ {x + h} f (t) \ mathrm {d} t- \ int _ {a} ^ {x} f (t) \ mathrm {d} t \ right].}
Pentru proprietatea de aditivitate a integralei, putem scrie: - {\ displaystyle {{1} \ over {h}} \ left [\ int _ {a} ^ {x + h} - \ int _ {a} ^ {x} \ right] = {{1} \ over { h}} \ left [\ int _ {a} ^ {x} + \ int _ {x} ^ {x + h} - \ int _ {a} ^ {x} \ right] = {{1} \ over {h}} \ int _ {x} ^ {x + h}.}
Din teorema medie integrală rezultă că există un punct {\ displaystyle c_ {h}} , în raza de acțiune {\ displaystyle [x, x + h],} astfel încât: - {\ displaystyle {{1} \ over {h}} \ int _ {x} ^ {x + h} f (t) \ mathrm {d} t = f (c_ {h}).}
Prin urmare, avem: - {\ displaystyle {{F (x + h) -F (x)} \ over {h}} = {{1} \ over {h}} \ int _ {x} ^ {x + h} f (t) \ mathrm {d} t = f (c_ {h}).}
Cand {\ displaystyle h \ to 0} avem: - {\ displaystyle \ lim _ {h \ rightarrow 0} c_ {h} = x,}
atâta timp cât {\ displaystyle x \ leq c_ {h} \ leq x + h.} Mai mult, în virtutea continuității {\ displaystyle f} , avem: - {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} f (c_ {h}) = f (\ lim _ {h \ to 0} c_ {h}) = f (x)}
și se poate concluziona că: - {\ displaystyle F '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {{F (x + h) -F (x)} \ over {h}} = f (x),}
sau teza. |
Corolarul primei teoreme
Este {\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}} o funcție continuă care admite o primitivă {\ displaystyle G} pe {\ displaystyle [a, b]} . Adică există {\ displaystyle G (x)} astfel încât:
- {\ displaystyle G '(x) = f (x).}
De sine {\ displaystyle f} este integrabil avem: [4]
- {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \; \ mathrm {d} x = G (b) -G (a).}
Această relație se numește formula fundamentală a calculului integral .
Demonstrație |
---|
Întrucât prin ipoteză {\ displaystyle f \ colon [a, b] \ mapsto \ mathbb {R}} este integrabil, poate fi pus ca în prima parte a teoremei: - {\ displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \; \ mathrm {d} t,}
astfel încât să fie: - {\ displaystyle F (b) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \; \ mathrm {d} x, \ qquad F (a) = \ int _ {a} ^ {a} f ( x) \; \ mathrm {d} x = 0, \ qquad F (b) -F (a) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \; \ mathrm {d} x.}
Din teorema anterioară obținem că: - {\ displaystyle F ^ {\ prime} (x) = f (x),}
atâta timp cât {\ displaystyle f} este continuu din ipotezele. Pe cealaltă ipoteză că {\ displaystyle G '(x) = f (x)} rezultă că - {\ displaystyle F ^ {\ prime} (x) = G ^ {\ prime} (x),}
pentru fiecare {\ displaystyle x \ în [a, b].} Printr-un corolar al teoremei lui Lagrange , există deci o constantă {\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}} astfel încât {\ displaystyle F (x) -G (x) = c} , adică: - {\ displaystyle F (x) = G (x) + c,}
din care se obține, înlocuind funcția integrală {\ displaystyle F (x)} primitivul generic {\ displaystyle G (x) + c:} - {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \; \ mathrm {d} x = F (b) -F (a) = G (b) -G (a).}
|
A doua parte
Este {\ displaystyle f \ colon [a, b] \ mapsto \ mathbb {R}} o funcție integrabilă Riemann pe domeniul său și care admite primitiv, adică există
- {\ displaystyle F '(x) = f (x),}
pentru fiecare {\ displaystyle x \ in [a, b]} , asa de
- {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a).}
Demonstrație |
---|
Atâta timp cât {\ displaystyle f} este integrabil Riemann, există și este unic pentru fiecare partiție a setului de integrare - {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {N} f (t_ {i}) (x_ {i} -x_ {i-1}),}
unde este {\ displaystyle t_ {i}} este un element al {\ displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i}],} {\ displaystyle x_ {0} = a,} {\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} x_ {n} = b} și pentru fiecare {\ displaystyle i} {\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} (x_ {i} -x_ {i-1}) = 0.} Din {\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} (x_ {i} -x_ {i-1}) = 0} Și{\ displaystyle t_ {i} \ in [x_ {i-1}, x_ {i}]} urmează {\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} x_ {i-1} = \ lim _ {N \ to \ infty} x_ {i} = \ lim _ {N \ to \ infty} t_ {i}. } Pentru că pentru cealaltă ipoteză {\ displaystyle F '(x) = f (x)} , aplicând observațiile anterioare la definiția derivatului pe care îl obținem - {\ displaystyle f (t_ {i}) = \ lim _ {x \ to t_ {i}} {\ frac {F (t_ {i}) - F (x)} {t_ {i} -x}} = \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {F (\ lim _ {N \ to \ infty} x_ {i}) - F (x_ {i-1})} {x_ {i} -x_ { i-1}}} = \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {F (x_ {i}) - F (x_ {i-1})} {x_ {i} -x_ {i-1 }}}}
prin continuitate a {\ displaystyle F} în {\ displaystyle t_ {i}} (implicit de existența derivatului în acel moment). Înlocuind expresia găsită pentru {\ displaystyle f (t_ {i})} în suma Riemann pe care o avem - {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} f (t_ {i}) (x_ {i} -x_ {i-1}) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {F (x_ {i}) - F (x_ {i-1})} {(x_ {i} -x_ {i-1})}} (x_ {i} -x_ {i-1} ) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} F (x_ {i}) - F (x_ {i-1}),}
care este o serie telescopică , atunci {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} F (x_ {i}) - F (x_ {i-1}) = \ lim _ {n \ to \ infty} F (x_ {n} ) -F (x_ {0}).} Amintindu-mi asta{\ displaystyle F (x_ {0}) = F (a)} este asta {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} F (x_ {n}) = F (b)} , prin tranzitivitatea identității obținem - {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a).}
QED |
Relația dintre cele două teoreme
Din a doua teoremă dacă {\ displaystyle G '(t) = f (t)} pe {\ displaystyle [a, b],} de sine {\ displaystyle f} este integrabil, apoi pentru fiecare {\ displaystyle x \ in [a, b]}
- {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {x} f (t) \ mathrm {d} t = G (x) -G (a).}
Noi definim
- {\ displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \ mathrm {d} t = G (x) -G (a).}
Atâta timp cât {\ displaystyle F} este suma funcțiilor diferențiabile {\ displaystyle F '(x) = G' (x)} dar {\ displaystyle G '(x) = f (x)} asa de {\ displaystyle F '(x) = f (x).} Dacă asumăm suplimentar ipoteza de continuitate a {\ displaystyle f} prima teoremă este derivată cu precizie din a doua și din proprietățile de bază ale derivatei.
Invers, prima teoremă fundamentală a calculului are încă o ipoteză decât a doua (continuitatea lui {\ displaystyle f} ), prin urmare, acest lucru nu poate rezulta (în cazul său general) din celălalt.
Luând un exemplu concret, formula fundamentală a calculului , folosind doar prima teoremă, nu a putut fi aplicată
- {\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ sin {\ frac {1} {x}} și {\ textrm {se}} \ x \ neq 0, \\ 0 și {\ textrm { dacă}} \ x = 0, \ end {cases}}}
care este integrabil și admite primitiv, dar este discontinuu în, în timp ce este încă valabil pentru a doua teorema.
Teorema fundamentală a calculului integral Lebesgue
Continuitatea absolută este o condiție necesară și suficientă pentru validitatea teoremei fundamentale a calculului integral în contextul teoriei integrale a lui Lebesgue . O functie {\ displaystyle f} definit pe intervalul compact {\ displaystyle [a, b]} la valori în {\ displaystyle \ mathbb {R}} este absolut continuu dacă are o derivată {\ displaystyle f '} definit aproape peste tot și integrabil conform lui Lebesgue astfel încât:
- {\ displaystyle f (x) = f (a) + \ int _ {a} ^ {x} f '(t) \ mathrm {d} t, \ qquad \ forall x \ in [a, b].}
În mod echivalent, există o funcție {\ displaystyle g} pe {\ displaystyle [a, b]} integrabil conform lui Lebesgue astfel încât:
- {\ displaystyle f (x) = f (a) + \ int _ {a} ^ {x} g (t) \ mathrm {d} t, \ qquad \ forall x \ in [a, b].}
Această definiție a continuității absolute se numește teorema fundamentală a calculului integral a lui Lebesgue . Dacă sunt îndeplinite condițiile echivalente anterioare, avem {\ displaystyle g = f '} aproape peste tot.
Descriere
Enunțul teoremei poate fi prezentat folosind diferite puncte de vedere:
Abordare fizică
Să presupunem că avem un punct care se mișcă de-a lungul unei linii a cărei poziție în timp {\ displaystyle t} este identificat prin funcție {\ displaystyle F (t) \ equiv s (t)} . Instantanee Viteza {\ displaystyle v (t)} în orice moment este egal cu derivata {\ displaystyle {\ dot {s}} (t) = ds (t) / dt} . Spațiul parcurs {\ displaystyle s (b) -s (a)} în intervalul de timp de la {\ displaystyle a} la {\ displaystyle b} este dată de diferența dintre pozițiile ocupate în momente {\ displaystyle a} Și {\ displaystyle b} și, pe de altă parte, spațiul parcurs va fi, de asemenea, egal cu suma spațiilor parcurse în fiecare moment. Deci, dacă împărțiți intervalul de timp în intervale foarte mici:
- {\ displaystyle [a, b] = \ Delta t_ {1} \ cup \ dots \ cup \ Delta t_ {N},}
putem trata mișcarea în fiecare interval de timp ca și cum viteza ar fi aproximativ constantă, deci spațiul parcurs în {\ displaystyle i} -intervalul de timp este:
- {\ displaystyle \ Delta s_ {i} \ sim v (t_ {i}) \ cdot \ Delta t_ {i}, \ qquad \ Delta F_ {i} \ sim F '(t_ {i}) \ cdot \ Delta t_ {the}.}
Spațiul acoperit în întregul interval de timp {\ displaystyle [a, b]} este egal cu suma spațiilor acoperite în toate intervalele de timp{\ displaystyle \ Delta t_ {i},} acesta este:
- {\ displaystyle s (b) -s (a) = \ Delta s_ {1} + \ dots + \ Delta s_ {N} \ sim v (t_ {1}) \ cdot \ Delta t_ {1} + \ dots + v (t_ {N}) \ cdot \ Delta t_ {N},}
și în mod similar în cealaltă notație:
- {\ displaystyle F (b) -F (a) = \ Delta F_ {1} + \ dots + \ Delta F_ {N} \ sim F '(t_ {1}) \ cdot \ Delta t_ {1} + \ dots + F '(t_ {N}) \ cdot \ Delta t_ {N}.}
Datorită definiției integralei Riemann , suma pentru al doilea membru tinde {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} F '(t) \ mathrm {d} t} când intervalele de timp considerate au lungimi arbitrare mici.
Abordarea algebrică
Având în vedere o sumă {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} a_ {k}} și o succesiune {\ displaystyle A_ {0}, A_ {1}, \ ldots, A_ {N}} astfel încât {\ displaystyle a_ {k} = A_ {k} -A_ {k-1},} apoi, datorită proprietății asociative a adunării, suma este simplificată:
- {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} a_ {k} = a_ {N} + a_ {N-1} + \ cdots + a_ {1} = (A_ {N} -A_ {N- 1}) + (A_ {N-1} -A_ {N-2}) + \ cdots + (A_ {1} -A_ {0}) = A_ {N} -A_ {0},}
adică se reduce la diferența de {\ displaystyle A_ {k}} pe „extremele” setului pe care variază {\ displaystyle k.} Acest tip de sume „scurtate” se numesc sume telescopice . Analogia cu formula fundamentală a calculului:
- {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} F ^ {\ prime} (t) \; \ mathrm {d} t = F (b) -F (a)}
nu este întâmplător. Să presupunem că aproximăm integralul derivatei {\ displaystyle F ^ {\ prime}} prin intermediul unei sume finite de arii de dreptunghiuri cu o bază lungă {\ displaystyle h = 1 / n} și înălțime {\ displaystyle F ^ {\ prime} (x_ {k})} imaginându-vă că ați împărțit intervalul {\ displaystyle [a, b]} în {\ displaystyle n} sub-intervale {\ displaystyle [x_ {k}, x_ {k + 1}]} lung {\ displaystyle 1 / n} , cu {\ displaystyle x_ {0} = a} Și {\ displaystyle x_ {n} = b} . Integrala aproximativă este dată de însumare:
- {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} hF '(x_ {k}) = h (F' (x_ {n-1}) + \ cdots + F '(x_ {0}) )}}
și este posibil să se aproximeze derivatele care apar în însumare cu raporturile incrementale , deoarece:
- {\ displaystyle F '(x_ {k}) \ sim {\ frac {F (x_ {k + 1}) - F (x_ {k})} {h}}.}
Înlocuind aceste cantități aproximative în însumare avem:
- {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} hF '(x_ {k}) \ sim h \ left ({\ frac {F (x_ {n}) - F (x_ {n-1 })} {h}} + {\ frac {F (x_ {n-1}) - F (x_ {n-2})} {h}} + \ cdots + {\ frac {F (x_ {1} ) -F (x_ {0})} {h}} \ right)}
și simplificând obținem:
- {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} hF '(x_ {k}) \ sim F (x_ {n}) - F (x_ {n-1}) + F (x_ {n -1}) - F (x_ {n-2}) + \ cdots + F (x_ {1}) - F (x_ {0}).}
În concluzie, simplificând toate completările de semn opus avem:
- {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} hF '(x_ {k}) \ sim F (x_ {n}) - F (x_ {0}) = F (b) -F ( la).}
Dovadă alternativă
Argumentul tocmai prezentat poate fi folosit (cu modificări minore) pentru a dovedi formula fundamentală a calculului. Luați în considerare pentru fiecare {\ displaystyle n} o aproximare a integralei Riemann a {\ displaystyle F ^ {\ prime} (x)} similar cu precedentul, dar în care este calculat {\ displaystyle F ^ {\ prime}} pe valori {\ displaystyle {\ bar {x}} _ {k}} în cadrul fiecărui interval {\ displaystyle [x_ {k}, x_ {k + 1}]} :
- {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} hF '({\ bar {x}} _ {k}) = h (F' ({\ bar {x}} _ {n-1 }) + \ cdots + F '({\ bar {x}} _ {0}))}
in care {\ displaystyle {\ bar {x}} _ {k}} este dată de teorema lui Lagrange aplicată {\ displaystyle F} în interval {\ displaystyle [x_ {k}, x_ {k} +1]} , acesta este:
- {\ displaystyle hF ^ {\ prime} ({\ bar {x}} _ {k}) = F (x_ {k}) - F (x_ {k + 1}).}
Apoi, făcute simplificările necesare, avem:
- {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} hF '({\ bar {x}} _ {k}) = F (x_ {n}) - F (x_ {n-1}) + F (x_ {n-1}) - F (x_ {n-2}) + \ cdots + F (x_ {1}) - F (x_ {0}) = F (x_ {n}) - F ( x_ {0}) = F (b) -F (a).}
Pe de altă parte, din definiția integralei Riemann trebuie să convergă integralul aproximativ considerat (dacă {\ displaystyle F ^ {\ prime}} este integrabil conform lui Riemann) pentru {\ displaystyle n \ to \ infty} la integral {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} F ^ {\ prime} (x) \ mathrm {d} x} ; și, prin urmare, se dovedește formula fundamentală a calculului.
Generalizări
Teorema poate fi generalizată în mai multe direcții. În primul rând putem lua în considerare extensiile noțiunii de derivată în spațiile euclidiene cu mai multe dimensiuni (conceptul de funcție diferențiată și derivată parțială ) și integrarea pe varietăți de forme diferențiale . Analogii teoremei fundamentale a calculului în acest context sunt teorema lui Ostrogradsky , teorema lui Kelvin și generalizarea lor: teorema lui Stokes .
În contextul integrării conform lui Lebesgue, teorema fundamentală a calculului devine mai generală și mai puternică și afirmă că integralul unei funcții sumabile este o funcție absolut continuă (și, prin urmare, diferențiată aproape peste tot), a cărei derivată slabă este integrandul însuși. Desigur, dacă presupunem mai multe ipoteze de regularitate (de exemplu, continuitatea integrandului), obținem imediat teorema fundamentală a calculului de mai sus.
Prin schimbarea din nou a tipului de metodă de integrare implicată, se obțin versiuni și mai puternice ale teoremei: folosind așa-numita „ integral gauge ”, definită în diferite moduri de Denjoy , Perron , Henstock și Kurzweil , de fapt se poate demonstra că a doua teorema fără a deține presupuneri despre funcția {\ displaystyle F ^ {\ prime}} .
Se poate lua în considerare și noțiunea de diferențialitate și integrabilitate pe planul complex (vezi funcțiile holomorfe și meromorfe ), în acest caz analogii teoremei fundamentale de calcul sunt teorema integrală a lui Cauchy și teorema reziduală .
Notă
- ^ Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History , Mathematical Association of America, 2004, p. 114 .
- ^ Lecturile geometrice ale lui Isaac Barrow, traduse, cu note și dovezi, și o discuție cu privire la progresul făcut în lucrarea predecesorilor săi în infinitesimal ...
- ^ W. Rudin , pagina 130 .
- ^ W. Rudin , pagina 131 .
Bibliografie
- Paolo Marcellini , Carlo Sbordone Mathematical Analysis One , Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2 , 1998, paragrafele 86 și 87.
- Walter Rudin , Principiile analizei matematice , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .
Elemente conexe
Alte proiecte
linkuri externe