Teorema fundamentală a aritmeticii

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Teorema fundamentală a aritmeticii afirmă că:

Orice număr natural mai mare de 1 este fie un număr prim sau poate fi exprimat ca produs al numerelor prime . Această reprezentare este unică, indiferent de ordinea în care apar factorii .

Afirmația este ușor verificabilă pentru numere naturale „mici”: este ușor să descoperiți că 70 este egal cu 2 × 5 × 7 și 100 este echivalent cu 2 × 2 × 5 × 5 sau 2 2 × 5 2 și este egal ușor de verificat că pentru aceste numere nu poate exista o altă descompunere a factorilor primi.

Teorema a fost demonstrată în mod explicit de Gauss în Disquisitiones Arithmeticae ; [1] Euclid , în elemente , împreună cu existența factorizării [2] , dovedise o propoziție, acum cunoscută sub numele de lema lui Euclid [3] , din care derivă proprietatea de factorizare unică.

În teoria inelelor , un analog al proprietății exprimat de teoremă constituie însăși definiția unui inel de factorizare unic .

Dovada teoremei

Afirmația teoremei afirmă existența unei factorizări a numărului prim pentru fiecare număr natural și ulterior unicitatea acestuia. Dovedim cele două afirmații separat.

Dovada existenței

Din definiția numărului prim deducem că fiecare număr mai mare sau egal cu 2 este fie un număr prim, fie poate fi exprimat ca produs al numerelor prime . Acest fapt poate fi dovedit prin inducție :

  • n = 2 este prim, deci satisface ceea ce este declarat.
  • Presupunând că afirmația este adevărată pentru toate numerele de la 2 la n , demonstrăm că este valabilă și pentru n +1. Pentru n +1 există două posibilități: fie este prim, fie este divizibil cu un număr a între 2 și n . Dacă n +1 este divizibil cu a pentru ipoteza inductivă fie a este prim, fie a are un divizor prim p . În acest din urmă caz ​​(prin proprietatea tranzitivă a divizibilității) p este, de asemenea, un divizor al lui n +1. În orice caz, prin urmare, fie n +1 este prim, fie este divizibil cu un prim.

Demonstrația existenței factorizării pentru fiecare număr continuă prin inducție :

  • n = 2 este prim și, prin urmare, este deja considerat banal.
  • Să presupunem că este adevărată existența unei factorizări pentru toate naturale între 2 și n și să o dovedim adevărată și pentru n +1. Având în vedere n +1, avem două cazuri: n +1 este prim (și, prin urmare, este deja luat în calcul) sau n +1 este divizibil cu un prim p (așa cum este demonstrat în prima parte); în acest din urmă caz ​​numărul m = ( n +1) / p este mai mic decât n +1 și, prin urmare, verifică ipoteza inductivă, adică există o factorizare a m . Dar atunci n + 1 = mp adică n +1 este factorizabil (este produsul lui m și p ).

Prin urmare, existența unei factorizări este dovedită pentru fiecare număr natural n .

Demonstrație de unicitate

Dovedim că, dacă un număr admite o factorizare a numărului prim, aceasta este unică.

Pentru absurditate : Să presupunem că există numere care pot fi descompuse în factori primi în mai multe moduri și numim m cel mai mic (care există pentru principiul bunei ordonări ). În primul rând se arată că, având în vedere două factorizări ale lui m , numerele prime care apar în prima factorizare sunt toate distincte de cele din a doua factorizare. De fapt, fie [1] și [2] cele două factorizări diferite ale lui m

unde i și sunt mai întâi, dar diferiți unul de celălalt, adică (dacă a existat un factor identic ne putem întoarce la cazul indicat prin împărțire pentru acel factor și obținerea unui număr care ar avea și două factorizări distincte). Cu toate acestea, în cadrul fiecărei factorizări pot exista factori repetați: de exemplu, 100 = 2 × 2 × 5 × 5.

În acest moment știm asta este diferit de ; fără pierderea generalității putem presupune că . Să spunem atunci

Evident, , din moment ce îl poți scrie ca

.

Acum dovedim asta admite cel puțin două factorizări distincte.

Să începem prin a lua în considerare primul factor al , . Poate fi sau nu prim; dacă nu este, o vom factoriza și noua factorizare a astfel obținut nu ar admite printre factorii săi. De fapt, pentru prima parte a dovezii știm asta este diferit de și nu poate apărea în eventuala factoring a , deoarece dacă s-ar întâmpla asta ar însemna asta

prin urmare ar fi divizibil cu , ceea ce nu este posibil ca este un număr prim.

Luând acum egalitatea supremă a și înlocuirea cu noi obținem

Cu toate acestea, al doilea factor în , vom fi obținut o factorizare de care contine și care, prin urmare, este diferit de cel din , contrar ipotezei că să fie cel mai mic număr care admite mai multe factorizări.

Prin urmare, unicitatea este demonstrată.

Notă

  1. ^ Carl Benjamin Boyer , Istoria matematicii , Milano, Mondadori, 1990, p. 582, ISBN 978-88-04-33431-6 .
  2. ^ Euclid , Cartea VII, Propozițiile 31 și 32 .
  3. ^ Euclid , Cartea VII, Propunerea 30

Bibliografie

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică