Teorema fundamentală a teoriei lui Galois

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , teorema fundamentală a teoriei Galois este o teoremă care arată legătura dintre câmpurile unei extensii Galois și subgrupurile grupului Galois înrudit.

Pentru a descrie exact enunțul teoremei, este necesar să se definească două funcții (pe care le vom indica prin comoditate cu i și j ), care sunt cel mai clasic exemplu de conexiuni Galois .

Corespondențe Galois și proprietăți elementare

Având în vedere o extensie a câmpurilor M / K cu grupul Galois G = Gal ( M / K ), definim i și j după cum urmează:

  • Pentru fiecare intercâmp L (adică astfel încât KLM ), stabilim i ( L ) = Gal ( M / L ), adică subgrupul automorfismelor lui M care lasă elementele lui L fixe .
  • Pentru fiecare subgrup H al lui G , j ( H ), care este indicat clasic cu M H , este intercâmpul format din elementele lui M lăsate fixate de toate automorfismele lui H.

Din definiții este imediat să se demonstreze că aceste corespondențe inversează incluziunile, adică dacă L 1L 2 sunt două câmpuri interioare atunci i ( L 1 ) ≥ i ( L 2 ), în timp ce dacă H 1H 2 sunt două subgrupuri atunci j ( H 1 ) ⊇ j ( H 2 ). Mai mult, nu este dificil de observat că extensia M / K este de Galois dacă și numai dacă j ( G ) = M G este exact câmpul K , în timp ce este întotdeauna adevărat că i ( K ) = G , i ( M ) = {1} și j ({1}) = M.

Declarație în cazul finalizat

În forma sa cea mai clasică, teorema afirmă că, dată fiind o extensie finită Galois M / K cu grupul Galois G = Gal ( M / K ), corespondențele Galois sunt inversele reciproce și, prin urmare, induc o bijecție între mulțimea de câmpuri de M / K și subgrupurile grupului Galois G. Mai mult, astfel de corespondențe inversează incluziunile și indicele în raport cu două subgrupuri este egal cu gradul în raport cu intercâmpurile corespunzătoare, adică dacă H 1H 2 sunt două subgrupuri atunci [ H 1 : H 2 ] = [ j ( H 2 ): j ( H 1 )].

Un corolar al acestei teoreme afirmă că, din nou în ipoteza că M / K este o extensie finită Galois, corespondențele Galois induc o bijecție și între mulțimea de L câmpuri ale lui M / K astfel încât L / K este de Galois și mulțimea de subgrupuri Gal normale ( M / K )

Demonstrație

Dovada teoremei fundamentale este netivială. Punctul esențial este un rezultat al lui Emil Artin care permite controlul gradului unei subextensii de câmpuri cunoscând indicele subgrupurilor de Gal ( M / K ) care lasă aceste câmpuri fixe.

Există, de asemenea, o dovadă destul de simplă care folosește teorema elementului primitiv . Această dovadă pare ignorată de tratatele moderne, poate pentru că necesită o dovadă diferită (dar ușoară) în cazul în care câmpurile analizate sunt câmpuri finite . [1]

Exemplul 1

Se consideră câmpul M = Q (√2, √3) = Q (√2) (√3). Deoarece M se obține prin adăugarea la câmpul Q a elementelor √2 și √3 (care sunt rădăcini, în C , respectiv a polinoamelor x 2 -2 și x 2 -3, ireductibile pe Q ), grupul Galois al lui M pe Q , G = Gal ( M / Q ), este determinat de imaginile √2 și √3. Mai mult, fiecare astfel de automorfism trebuie să trimită √2 într-o rădăcină de x 2 -2, adică într-una din ± √2. Același raționament se aplică și pentru √3 care, prin urmare, poate fi trimis doar într-unul dintre ± √3. Prin urmare, nu este dificil să se demonstreze că elementele lui G sunt:

  1. automorfism identic 1 (care evident lasă ± √2 și ± √3 fixe),
  2. automorfismul f care schimbă √2 și −√2 și lasă fix ± √3,
  3. automorfismul g care schimbă √3 și −√3 și lasă fix ± √2,
  4. automorfismul fg = gf care schimbă √2 și −√2 și √3 și −√3.
Rețeaua subgrupurilor G și intercâmpurile corespunzătoare

Prin urmare, avem asta

iar G este izomorf pentru grupul Klein . Are 5 subgrupuri, fiecare dintre ele corespunzând prin teoremă unui subcâmp al lui K.

  • Subgrupul trivial (care conține doar identitatea) corespunde tuturor M = Q (√2, √3).
  • Întregul grup G corespunde taberei de bază Q.
  • Subgrupul cu două elemente {1, f } corespunde intervalului Q (√3), deoarece f fixează √3.
  • Subgrupul cu două elemente {1, g } corespunde intervalului Q (√2), deoarece g fixează √2.
  • Subgrupul a două elemente {1, fg } corespunde intervalului Q (√6), deoarece fg fixează √6.

Rețineți că teorema are și consecința că Q (√3), Q (√2) și Q (√6) au gradul 2 peste Q și că nu există alte intercâmpuri ale lui M în afară de cele enumerate.

Exemplul 2

Acum oferim un exemplu simplu de extensie non-abeliană , adică astfel încât grupul relativ al lui Galois să fie non- abelian .

Să considerăm un câmp de divizare M al polinomului x 3 −2 pe K = Q. Este ușor să demonstrezi că M = Q (θ, ω), unde θ este o rădăcină cubică de 2, iar ω este una dintre cele două rădăcini cubice primitive ale unității . De exemplu, dacă avem nevoie ca M să fie conținut în câmpul complexelor , C , putem lua ca θ rădăcina cub reală a lui 2 și ca ω numărul

Se poate arăta că G = Gal ( M / Q ) are șase elemente și că este izomorf pentru grupul simetric de trei obiecte. Apoi dovedim că G este generat de două automorfisme, f și g , care sunt determinate de imaginile respective ale lui θ și ω,

prin urmare:

Rețeaua subgrupurilor G și intercâmpurile corespunzătoare

Subgrupurile lui G și intercâmpurile corespunzătoare sunt după cum urmează:

  • întregul grup G corespunde taberei de bază Q
  • grupul trivial {1} ​​corespunde întregului câmp M = Q (θ, ω).
  • singurul subgrup de ordinul 3, {1, f , f 2 }, numit grup alternativ de grad 3 (care în acest caz este izomorf pentru grupul ciclic cu trei elemente), corespunde intercâmpului Q (ω), care are grad doi pe Q ( polinomul minim al lui ω este x 2 + x + 1), corespunzător faptului că subgrupul are indicele doi în G. Mai mult, acest subgrup este normal în G , ceea ce corespunde faptului că Q (ω) / Q este o extensie a lui Galois.
  • Există trei subgrupuri de ordinul 2, și anume {1, g }, {1, gf } și {1, gf 2 }, care corespund respectiv celor trei subcâmpuri Q (θ), Q (ωθ) și Q2 θ) . Rețineți că aceste subgrupuri nu sunt normale în G și acest lucru corespunde faptului că aceste intercâmpuri nu sunt Galois pe Q. De exemplu, Q (θ) conține o singură rădăcină a polinomului (ireductibil pe Q ) x 3 −2 și, prin urmare, nu poate fi normal pe Q.

Aplicații

Teorema convertește dificultățile în studierea structurii intercâmpurilor unei extensii Galois în problema mai tratabilă decât studierea unui anumit grup finit .

De exemplu, pentru a demonstra că o ecuație generică de gradul cinci nu poate fi rezolvată de radicali (vezi teorema lui Abel-Ruffini ), reformulăm mai întâi problema în termeni de extensii radicale (extensii de formă F (α) / F , unde α este o a doua rădăcină a unui element al lui F ) și apoi folosim teorema fundamentală pentru a converti problema inițială într-o nouă problemă a teoriei grupurilor care poate fi ușor rezolvată (tocmai se dovedește că o ecuație (pe Q ) este rezolvabilă de radicali dacă și numai dacă grupul Galois al acestui polinom este rezolvabil).

Teorii precum teoria lui Kummer și teoria câmpului de clasă se bazează pe studiul teoremei fundamentale.

Caz infinit

Există, de asemenea, o versiune a teoremei fundamentale care se aplică extensiilor algebrice Galois M / K. Aceasta implică definirea unei structuri topologice de grup pe grupul Galois Gal ( M / K ), topologia Krull . Apoi se dovedește că, cu această topologie, Gal ( M / K ) este un grup profund .

Teorema fundamentală din versiunea infinită afirmă că conexiunile Galois induc o bijecție între setul de intercâmpuri și setul de subgrupuri Gal ( M / K ) care sunt închise în raport cu topologia Krull.

Prin urmare, se poate observa că, în general, conexiunile Galois nu mai induc o bjecție între setul de intercâmpuri și setul tuturor subgrupurilor lui Gal ( M / K ).

Notă

  1. ^ Marcus, Daniel: „Câmpuri numerice”, Anexa 2. Springer-Verlag, 1977.

Bibliografie

Alte proiecte

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică