Teoreme cu punct fix

În matematică , teoremele punctului fix se referă la rezultate care, în diverse contexte, inclusiv analiza matematică , geometrie sau topologie , arată existența a cel puțin unui punct fix pentru o anumită funcție definită în diferite spații.

Tipuri de rezultate

În special, în contextul analizei, se pot distinge unele categorii:

Contracția teoreme (în special contracției teorema sau un punct fix teorema lui Banach a lui)
Teoreme de compactitate (rezultate Brouwer , Schauder , Schaefer , Kakutani și altele)
Teoreme de hărți non-expansive (studiate în special de Browder, Göhde și Kirk)
Teoreme de aplicare a condensării (folosind măsurători de non-compactitate) (Darbo și Sadovskii)
Teoreme de ordine, care se bazează pe proprietățile monotoniei (Bourbaki, Kneser, Amann și de exemplu teorema Knaster-Tarski )
Teoreme ale indexului punctului fix
Teoreme mixte (de exemplu , teorema lui Krasnoselskii )

Analize

Următoarele teoreme sunt utilizate în analiza matematică , în special în câmpurile ecuațiilor diferențiale ordinare și ecuațiilor diferențiale parțiale .

Teorema punctului fix (sau contracție) a lui Banach afirmă că o contracție pe un spațiu metric complet are un singur punct fix.
Teorema funcției contractive afirmă că o funcție contractivă definită într-un compact are un singur punct fix.
Teorema funcției non-expansive afirmă că o funcție non-expansivă definită într-un compact și convex are cel puțin un punct fix.
Teorema Caristi (sau Caristi- Kirk ) este o altă generalizare a teoremei lui Banach.
Teorema Browder-Göhde-Kirk este o altă teoremă pe hărțile non-expansive.
Teorema punctului fix al lui Brouwer afirmă că o funcție continuă definită de un subset compact și convex al spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ în sine are întotdeauna un punct fix.
Teorema punctului fix al lui Schauder afirmă (într-una din versiunile sale) că dacă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este un subgrup închis , convex și non-gol al unui spațiu Banach $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $f\colon C\to C$ ${\ displaystyle f \ colon C \ to C}$ ${\ displaystyle f \ colon C \ to C}$ este o funcție continuă cu imagine compactă , atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ are cel puțin un punct fix.
Teorema lui Kellogg adaugă o condiție de unicitate condițiilor teoremelor Brouwer și Schauder.
Teorema lui Schaefer care reformulează teorema lui Schauder pentru a nu necesita în mod explicit declararea setului $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , închis și convex, al punctului anterior.
Teorema lui Rothe consideră o funcție care trimite granița unui set deschis în deschiderea însăși.
Teorema lui Altman folosește o estimare a normei.
Teorema lui Tihonov se aplică oricărui spațiu vector topologic $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ local convex . Teorema menționată stabilește că pentru fiecare set compact, convex, non-gol $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , și pentru fiecare funcție continuă $f\colon X\to X$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to X}$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to X}$ există (cel puțin) un punct fix pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .
Teorema lui Kakutani ia în considerare corespondențele cu valori stabilite.
Teorema lui Krasnoselskii consideră o funcție $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ care este suma unei contracții și a unei funcții compacte. Este o combinație între teorema punctului fix al lui Schauder și teorema contracției.
Teorema Darbo-Sadovskii
Teorema Atiyah-Bott
Teorema lui Lefschetz
Teorema Earle-Hamilton
Teorema punctului fix al zilei : considerăm un grup G compact local și agreabil și o medie invariantă.

Teoria comenzii

Geometrie algebrică

Teorema lui Borel

Topologie simplectică

Teorema Poincaré-Birkhoff

Teoria categoriilor

Teorema lui Lawvere

Bibliografie

( EN ) Klaus Deimling, " Analiza funcțională neliniară ", Springer-Verlag (1985)
( EN ) JT Schwartz, " Analiză funcțională neliniară (Note despre matematică și aplicațiile sale) ", Routledge (1969)
( EN ) DR Smart, „ Teoreme cu punct fix ”, Cambridge University Press
( EN ) Michael E. Taylor, „ Ecuații diferențiale parțiale III: ecuații neliniare ”, Springer (1979, 1996)
( EN ) Eberhard Zeidler, „ Analiza funcțională neliniară și aplicațiile sale: partea 1: teoreme cu punct fix ”, Springer (1998)

Elemente conexe

Punct fix

linkuri externe

( EN )Teoreme cu punct fix , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 26675 · LCCN (EN) sh85048934 · BNF (FR) cb12266972t (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică